Табліца вытворных
Знайсці вытворную функцыі можна некалькімі шляхамі: па азначэнні, па табліцы (папярэдне вылічаных вытворных) і з дапамогай правіл дыферэнцавання. Звычайна гэтыя спосабы ўжываюцца ў спалучэнні.
Гэты артыкул змяшчае спіс вытворных найпрасцейшых элементарных функцый, а таксама спіс правіл дыферэнцавання функцый.
Вытворныя найпрасцейшых функцыйПравіць
Вытворныя ступенных функцый і мнагачленаўПравіць
- Ступеневае правіла: няхай , тады для любога рэчаіснага паказніка n праўдзіцца роўнасць
- Адмысловым выпадкам ступеневага правіла ёсць так званае правіла сталай:
- калі функцыя f ёсць ста́лаю функцыяй (г. зн. для любых x значэнне функцыі аднолькавае і роўнае f(x) = c, дзе c некаторы нязменны лік), то яе вытворная f′ ёсць тоесным нулём:
- Дзякуючы лінейнасці дыферэнцавання, карыстаючыся ступеневым правілам і правілам сталай можна знайсці вытворную любога мнагасклада:
- Вытворная модуля
Вытворныя паказнікавых і лагарыфмічных функцыйПравіць
- Вытворная паказнікавай функцыі:
- Вытворная паказнікавай функцыі з асновай b:
- Вытворная натуральнага лагарыфма:
- Вытворная лагарыфма з асноваю b:
Табліца вытворныхПравіць
Вытворныя трыганаметрычных функцыйПравіць
Вытворныя гіпербалічных функцыйПравіць
Правілы дыферэнцаванняПравіць
Вытворная сумы і рознасці (лінейнасць дыферэнцавання)Правіць
Для любых дыферэнцавальных функцый f і g і любых сталых a і b вытворная функцыі h(x) = af(x) + bg(x) па зменнай x раўняецца
У Ляйбніцавых абазначэннях гэта можна запісаць як:
Адмысловыя выпадкі:
- Вытворная здабытку функцыі і сталай велічыні:
- Вытворная суммы:
- Вытворная рознасці:
Вытворная здабытку (правіла Ляйбніца)Правіць
Асноўны артыкул: Правіла Ляйбніца |
Вытворную здабытку дыферэнцавальных функцый f і g можна вылічыць па формуле
У Ляйбніцавых абазначэннях гэта правіла выглядае як:
Вытворная дзеліПравіць
- Вытворная функцыі h(x) = 1/f(x) для любой (ненулявой) дыферэнцавальнай функцыі f раўняецца
- Пры дапамозе Ляйбніцавых абазначэнняў гэта запісваюць у выглядзе:
- Вытворная дзелі дзвюх функцый. Калі f і g ёсць дыферэнцавальнымі функцыямі, і акрамя таго g ≠ 0, тады:
Вытворная складанай функцыі (ланцуговае правіла)Правіць
Асноўны артыкул: Дыферэнцаванне складанай функцыі |
Вытворная складанай функцыі h(x) = f(g(x)) па зменнай x раўняецца
У Ляйбніцавых абазначэннях ланцуговае правіла запісваюць як:
Аднак, часта пішуць прасцей, разглядаючы h як функцыю ад фармальнага аргумента g:
Вытворная адваротнай функцыіПравіць
Асноўны артыкул: Вытворная адваротнай функцыі |
Калі дыферэнцавальная функцыя f ма́е адваротную функцыю g (г.зн. праўдзяцца тоеснасці g(f(x)) = x і f(g(y)) = y), тады
У Ляйбніцавых абазначэннях гэтае правіла мае выгляд
Заўвага: нельга блытаць паняцці функцыйна адваротнай функцыі і лікава адваротнай функцыі. Правіла з гэтага раздзела прыдатнае да функцыйна адваротнай функцыі. Для дыферэнцавання лікава адваротнай функцыі трэба карыстацца першым правілам з раздзела #Вытворная дзелі.
Вытворная складана-ступеневай функцыіПравіць
Няхай f і g ёсць дыферэнцавальнымі функцыямі, і акрамя таго f > 0, тады
Адмысловыя выпадкі:
- Калі f(x) = xa, атрымліваем f′(x) = axa − 1 для любых рэчаісных паказнікаў a і любога дадатнага значэння зменнай x.
- Калі g(x) = −1, формула для вытворнай складана-ступеневай функцыі ператвараецца ў формулу для вытворнай лікава адваротнай функцыі.
Гл. таксамаПравіць
КрыніцыПравіць
- Воднев В.Т., Наумович А.Ф., Наумович Н.Ф. Основные математические формулы / Под ред. Богданова Ю.С.. — Минск: Вышэйшая школа, 1980.