Табліца вытворных

спіс атыкулаў у адным з праектаў Вікімедыя

Знайсці вытворную функцыі можна некалькімі шляхамі: па азначэнні, па табліцы (папярэдне вылічаных вытворных) і з дапамогай правіл дыферэнцавання. Звычайна гэтыя спосабы ўжываюцца ў спалучэнні.

Раздзелы ў матэматычным аналізе
Фундаментальная тэарэма
Граніца функцыі
Непарыўнасць
Тэарэма Лагранжа

Гэты артыкул змяшчае спіс вытворных найпрасцейшых элементарных функцый, а таксама спіс правіл дыферэнцавання функцый.

Вытворныя найпрасцейшых функцыйПравіць

Вытворныя ступенных функцый і мнагачленаўПравіць

  • Ступеневае правіла: няхай  , тады для любога рэчаіснага паказніка n праўдзіцца роўнасць
     
  • Адмысловым выпадкам ступеневага правіла ёсць так званае правіла сталай:
    калі функцыя f ёсць ста́лаю функцыяй (г. зн. для любых x значэнне функцыі аднолькавае і роўнае f(x) = c, дзе c некаторы нязменны лік), то яе вытворная f ёсць тоесным нулём:
     
  • Дзякуючы лінейнасці дыферэнцавання, карыстаючыся ступеневым правілам і правілам сталай можна знайсці вытворную любога мнагасклада:
     
  • Вытворная модуля
     

Вытворныя паказнікавых і лагарыфмічных функцыйПравіць

  • Вытворная лагарыфма з асноваю b:
     

Табліца вытворныхПравіць

Вытворныя трыганаметрычных функцыйПравіць

   
   
   
   
   
   

Вытворныя гіпербалічных функцыйПравіць

   
   
   
   
   
   

Правілы дыферэнцаванняПравіць

Вытворная сумы і рознасці (лінейнасць дыферэнцавання)Правіць

Для любых дыферэнцавальных функцый f і g і любых сталых a і b вытворная функцыі h(x) = af(x) + bg(x) па зменнай x раўняецца

 

У Ляйбніцавых абазначэннях гэта можна запісаць як:

 

Адмысловыя выпадкі:

 
  • Вытворная суммы:
 
  • Вытворная рознасці:
 

Вытворная здабытку (правіла Ляйбніца)Правіць

  Асноўны артыкул: Правіла Ляйбніца

Вытворную здабытку дыферэнцавальных функцый f і g можна вылічыць па формуле

 

У Ляйбніцавых абазначэннях гэта правіла выглядае як:

 

Вытворная дзеліПравіць

  • Вытворная функцыі h(x) = 1/f(x) для любой (ненулявой) дыферэнцавальнай функцыі f раўняецца
     
    Пры дапамозе Ляйбніцавых абазначэнняў гэта запісваюць у выглядзе:
     
  • Вытворная дзелі дзвюх функцый. Калі f і g ёсць дыферэнцавальнымі функцыямі, і акрамя таго g ≠ 0, тады:
     

Вытворная складанай функцыі (ланцуговае правіла)Правіць

  Асноўны артыкул: Дыферэнцаванне складанай функцыі

Вытворная складанай функцыі h(x) = f(g(x)) па зменнай x раўняецца

 

У Ляйбніцавых абазначэннях ланцуговае правіла запісваюць як:

 

Аднак, часта пішуць прасцей, разглядаючы h як функцыю ад фармальнага аргумента g:

 

Вытворная адваротнай функцыіПравіць

  Асноўны артыкул: Вытворная адваротнай функцыі

Калі дыферэнцавальная функцыя f ма́е адваротную функцыю g (г.зн. праўдзяцца тоеснасці g(f(x)) = x і f(g(y)) = y), тады

 

У Ляйбніцавых абазначэннях гэтае правіла мае выгляд

 

Заўвага: нельга блытаць паняцці функцыйна адваротнай функцыі і лікава адваротнай функцыі. Правіла з гэтага раздзела прыдатнае да функцыйна адваротнай функцыі. Для дыферэнцавання лікава адваротнай функцыі трэба карыстацца першым правілам з раздзела #Вытворная дзелі.

Вытворная складана-ступеневай функцыіПравіць

Няхай f і g ёсць дыферэнцавальнымі функцыямі, і акрамя таго f > 0, тады

 

Адмысловыя выпадкі:

  • Калі f(x) = xa, атрымліваем f′(x) = axa − 1 для любых рэчаісных паказнікаў a і любога дадатнага значэння зменнай x.
  • Калі g(x) = −1, формула для вытворнай складана-ступеневай функцыі ператвараецца ў формулу для вытворнай лікава адваротнай функцыі.

Гл. таксамаПравіць

КрыніцыПравіць

  • Воднев В.Т., Наумович А.Ф., Наумович Н.Ф. Основные математические формулы / Под ред. Богданова Ю.С.. — Минск: Вышэйшая школа, 1980.