Ліміт функцыі
Лімі́т фу́нкцыі[1] — значэнне, да якога прыбліжаецца (імкнецца) значэнне функцыі, калі яе аргумент імкнецца да некаторага пункта (магчыма, бесканечна аддаленага). Гэта адно з першасных паняццяў матэматычнага аналізу, на якім грунтуюцца асноўныя паняцці матэматычнага аналізу: непарыўнасць, вытворная, дыферэнцыял.
Аперацыя знаходжання ліміту функцыі называецца лімітавым пераходам.
Калі функцыя f(x) мае ліміт A ў пункце a, гэта абазначаецца наступным чынам:
Азначэнне ліміту
правіцьЛік A называецца лімітам функцыі f(x) пры імкненні x да a, калі для любога ліку ε > 0 існуе такі лік δ > 0, што для ўсіх x, якія задавальняюць умову
справядлівая няроўнасць
Або, кажучы словамі, функцыя мае ліміт A ў некаторым пункце, калі і толькі калі для любога ε > 0 можна знайсці такое наваколле гэтага пункта, у межах якога функцыя не адхіляецца ад A больш чым на ε > 0.
Функцыя f мае ў пункце a канечны ліміт A, калі і толькі калі для любой паслядоўнасці , якая збягаецца да пункта a:
адпаведная паслядоўнасць значэнняў функцыі збягаецца да A:
Крытэрыі і прыкметы існавання канечнага ліміту
правіцьКрытэрый Кашы існавання канечнага ліміту
правіцьФункцыя f(x) мае ў пункце a канечны ліміт, калі і толькі калі для адвольнага ε > 0 існуе такое δ > 0, што для любых x1 і x2, узятых з δ-наваколля пункта a, спраўджваецца няроўнасць
Заўвага: Крытэрый Кашы адрозніваецца ад азначэння паводле Кашы тым, што ў крытэрыі ніяк не ўдзельнічае значэнне ліміту. Крытэрый толькі сцвярджае існаванне ліміту, але нічога не кажа пра само лімітнае значэнне.
Уласцівасці
правіцьКалі існуюць канечныя ліміты і , тады справядлівыя сцвярджэнні:
1) Лімітавы пераход з’яўляецца лінейнай аперацыяй. Гэта значыць для адвольных лікаў λ і μ існуе ліміт лінейнай камбінацыі
Заўвага: з гэтай уласцівасці непасрэдна вынікаюць наступныя роўнасці:
2) Існуе ліміт здабытку гэтых функцый, прычым:
3) Калі , то існуе ліміт дзелі, прычым:
4) Калі f(x) > 0 і , то існуе ліміт ступені, прычым:
Гл. таксама
правіцьЗноскі
правіць- ↑ Матэматычная энцыклапедыя / Гал. рэд. В. Бернік. — Мінск: Тэхналогія, 2001.