Лагарыфм

Лагары́фм ліку x па аснове b (ад грэч. λόγος — «слова», «дачыненне» і ἀριθμός — «лік») — такое значэнне ступені, у якую трэба ўзвесці лік b, т. зв. асно́ву, каб атрымаць значэнне x. Запіс $\log _{b}a$ чытаецца як «лагарыфм $a$ па аснове $b$».

Графік двайковага лагарыфма

З азначэння вынікае, што знаходжанне $x=\log _{b}a$ раўназначнае рашэнню ўраўнення

$b^{x}=a.$

Напрыклад, лагарыфм 1000 па аснове 10 роўны 3, бо 1000 ёсць 10 у ступені 3: 1000 = 10·10·10 = 10³.

Вылічэнне лагарыфма называецца лагарыфмава́ннем.

Лагарыфмы маюць цікавыя ўласцівасці, якія дазваляюць спрашчаць працаёмкія вылічэнні. Пры пераходзе «ў свет лагарыфмаў» множанне замяняецца на значна прасцейшае складанне, дзяленне — на адыманне, а ўзвядзенне ў ступень і здабыванне кораня ператвараюцца адпаведна ў множанне і дзяленне на паказчык ступені. Лаплас казаў, што вынаходніцтва лагарыфмаў, «скараціўшы працу астранома, падвоіла яго жыццё». У прыкладаннях аснова b лагарыфма і лагарыфмуемы лік (аргумент лагарыфма) звычайна рэчаісныя. Тым не менш, існуе шэраг праблем (у тым ліку і прыкладных), дзе карысным аказваецца так званы камплексны лагарыфм.

Азначэнне лагарыфмаў і табліцу іх значэнняў (для трыганаметрычных функцый) упершыню надрукаваў у 1614 годзе шатландскі матэматык Джон Непер. Лагарыфмічныя табліцы, пашыраныя і ўдакладненыя іншымі матэматыкамі, паўсюдна выкарыстоўваліся ў навуковых і інжынерных разліках больш за тры стагоддзі, пакуль не з’явіліся электронныя вылічальныя машыны.

З цягам часу высветлілася, што лагарыфмічная функцыя $y=\log _{b}x$ незаменная і ў шмат якіх іншых галінах чалавечай дзейнасці: развязанні дыферэнцыяльных ураўненняў, вымярэнні фізічных велічынь (напрыклад, частаты і магутнасці гуку), прыбліжэнні розных залежнасцей, тэорыі інфармацыі, тэорыі імавернасцей і г. д. Гэта функцыя ўваходзіць у лік элементарных, лагарыфм адваротны да паказчыкавай функцыі. Часцей за ўсё выкарыстоўваюцца рэчаісныя лагарыфмы па аснове e (натуральны), 10 (дзесятковы) і 2 (двайковы).

Рэчаісны лагарыфм

Лагарыфм $x=\log _{b}a$ па азначэнню ёсць рашэнне ўраўнення

$b^{x}=a.$

Выпадак $b=1$ не вельмі цікавы, бо пры $a\neq 1$ гэта ўраўненне не мае рашэння, а пры $a=1$ любы лік з’яўляецца рашэннем; у абодвух выпадках лагарыфм не вызначаны. Гэтак жа прыходзім да высновы, што лагарыфм не існуе пры нулявым і адмоўным $b$; акрамя таго, значэнне паказчыкавай функцыі $b^{x}$ заўсёды дадатнае, таму варта выключыць і выпадак адмоўнага $a$. Канчаткова атрымліваем:

Рэчаісны лагарыфм $\log _{b}a$ вызначаны пры $b>0,b\neq 1,a>0.$

Як вядома, паказчыкавая функцыя $y=b^{x}$ (пры выкананні вышэйзгаданых умоў на $b$) вызначана, манатонная і кожнае значэнне прымае толькі адзін раз, прычым абсяг яе значэнняў утрымлівае ўсе дадатныя рэчаісныя лікі. Адсюль вынікае, што значэнне рэчаіснага лагарыфма дадатнага ліку заўсёды вызначана і адзінае.

Найбольш шырокі ўжытак і шматлікія дастасаванні маюць наступныя віды лагарыфмаў:

• Натуральны: $\ln x$, аснова: лік Ойлера e.
• Дзесятковы: $\lg x$, аснова: лік 10.
• Двайковы: $\log _{2}x$ або $\operatorname {lb} x$, аснова: 2. Яны ўжываюцца, напрыклад, у тэорыі інфармацыі, інфарматыцы, у многіх раздзелах дыскрэтнай матэматыкі.

Уласцівасці

Асноўная лагарыфмічная тоеснасць

З азначэння лагарыфма вынікае асноўная лагарыфмічная тоеснасць:

• $a^{\log _{a}x}=x$
• $\log _{a}\left(a^{x}\right)=x$

Вывад: з роўнасці двух рэчаісных лагарыфмаў вынікае роўнасць лагарыфмаваных выразаў. Сапраўды, калі $\log _{a}b=\log _{a}c$, то $a^{\log _{a}b}=a^{\log _{a}c}$, адкуль, адпаведна асноўнай тоеснасці: $b=c.$

Лагарыфмы адзінкі і ліку, роўнага аснове

• $\log _{a}1=0,$
• $\log _{a}a=1.$

Арыфметычныя ўласцівасці лагарыфма

• Лагарыфм здабытку:

$\log _{a}(xy)=\log _{a}(x)+\log _{a}(y)$

• Лагарыфм дзелі:

$\log _{a}\left({\frac {x}{y}}\right)=\log _{a}(x)-\log _{a}(y)$

• Лагарыфм ступені:

$\log _{a}(x^{p})=p\log _{a}(x)$

• Лагарыфм кораня:

$\log _{a}{\sqrt[{p}]{x}}={\frac {\log _{a}(x)}{p}}$

• Калі аснова лагарыфма ёсць ступень некаторага выразу:

$\log _{a^{k}}b={\frac {1}{k}}\log _{a}b.$

Доказ: Гэта тоеснасць атрымліваецца адразу, калі ад лагарыфма па аснове $a^{k}$ перайсці да лагарыфма па аснове $a$.

Вынікі:

• $\log _{\sqrt[{n}]{a}}b=n\log _{a}b;$

  $\log _{a^{k}}{b^{p}}={\frac {p}{k}}\log _{a}{b};$

  $\log _{a^{k}}b^{k}=\log _{a}b.$

• Яшчэ адна карысная тоеснасць:

$c^{\log _{a}b}=b^{\log _{a}c}$

Доказ: Каб даказаць яе, заўважым, што лагарыфмы ў левай і правай частках супадаюць па аснове $a$, а тады, згодна з вынікам з асноўнай лагарыфмічнай тоеснасці, левая і правая часткі тоесна роўныя.

Існуе відавочнае абагульненне прыведзеных формул:

$\log _{a}|xy|=\log _{a}|x|+\log _{a}|y|$

$\log _{a}\left|{\frac {x}{y}}\right|=\log _{a}|x|-\log _{a}|y|$

Формула для лагарыфма здабытку без цяжкасцей абагульняецца на адвольную колькасць сумножнікаў:

$\log _{a}(x_{1}x_{2}\dots x_{n})=\log _{a}(x_{1})+\log _{a}(x_{2})+\dots +\log _{a}(x_{n})$

Апісанымі ўласцівасцямі і тлумачыцца, чаму выкарыстанне лагарыфмаў (да вынаходніцтва калькулятараў) істотна палягчала вылічэнні. Напрыклад, множанне шматзначных лікаў $x,y$ з дапамогай лагарыфмічных табліц адбывалася па наступнаму алгарытму:

1. Знайсці ў табліцах лагарыфмы лікаў $x,y$.
2. Скласці гэтыя лагарыфмы, атрымаўшы такім чынам (згодна з первай уласцівасцю) лагарыфм здабытку $x\cdot y$.
3. Па лагарыфму здабытку знайсці ў табліцах сам здабытак.

Дзяленне, якое без дапамогі лагарыфмаў істотна больш працаёмкае чым множанне, выконвалася па таму ж алгарытму, толькі з заменай складання лагарыфмаў на адыманне. Гэтак жа спрашчаліся ўзвядзенне ў ступень і здабыванне кораня.

Замена асновы лагарыфма

• Ад лагарыфма $\log _{a}b$ па аснове $a$ можна перайсці да лагарыфма па другой аснове $c$:

$\log _{a}b={\frac {\log _{c}b}{\log _{c}a}}$

• Вынік: перастаноўка асновы і лагарыфмуемага выразу:

$\log _{a}b={\frac {1}{\log _{b}a}}$

Лагарыфмічная функцыя

Лагарыфмічная функцыя адваротная да паказчыкавай

Графікі лагарыфмічных функцый з асновамі: 2 (жоўты), e (чырвоны), 0.5 (сіні)

Двайковы лагарыфм і паказчыкавая функцыя з асновай 2

Лагарыфм і паказчыкавая функцыя з асновай 1/2

Асноўныя уласцівасці

Калі разглядаць лагарыфмаваны лік як зменную, мы атрымаем лагарыфмічную функцыю $y=\log _{a}x$. Яна вызначана пры $a>0;\ a\neq 1;x>0$.

• Абсяг вызначэння: $x>0$.
• Абсяг значэнняў: $E(y)=(-\infty ;+\infty )$.

Гэта крывая часта называецца лагарыфмікай.

• З формулы замены асновы лагарыфма відаць, што графікі лагарыфмічных функцый з рознымі асновамі, большымі за адзінку, адрозніваюцца адзін ад аднаго толькі расцяжэннем уздоўж восі $y$:

$\log _{b}x={\frac {\log _{a}x}{\log _{a}b}}$

• Графікі для асноў $a$ і $1/a$ сіметрычныя адносна восі x.
• З азначэння вынікае, што лагарыфмічная функцыя $y=\log _{a}x$ адваротная да паказнікавай функцыі $y=a^{x}$, таму іх графікі сіметрычныя адносна бісектрысы першага і трэцяга квадрантаў (гл. рысунак). Як і паказнікавая, лагарыфмічная функцыя трансцэндэнтная.
• Лагарыфмічная функцыя строга нарастае пры $a>1$ (гл. графікі) і строга спадае пры $0<a<1$. Графік любой лагарыфмічнай функцыі праходзіць праз кропку $(1;0)$. Функцыя непарыўная і бесканечна дыферэнцавальная ўсюды на сваім абсягу вызначэння.
• Вось ардынат $(x=0)$ з’яўляецца вертыкальнаю асімптотай для лагарыфмічнай функцыі, бо:

$\lim _{x\to +0}\log _{a}x=-\infty$ пры $a>1;$

$\lim _{x\to +0}\log _{a}x=+\infty$ пры $0<a<1.$

• Вытворная лагарыфмічнай функцыі:

$(\log _{a}x)'={\frac {1}{x\ln a}}$

• Першаісная лагарыфмічнай функцыі:

$\int \log _{a}x\,dx=x\log _{a}x-{\frac {x}{\ln a}}+C,$

дзе C — адвольная сталая.

• З пункту гледжання алгебры, лагарыфмічная функцыя ажыццяўляе (адзіны магчымы) ізамарфізм групы адносна множання дадатных рэчаісных лікаў і групы адносна складання ўсіх рэчаісных лікаў. Іншымі словамі, лагарыфмічная функцыя з’яўляецца адзіным (вызначаным для ўсіх дадатных значэнняў аргумента) непарыўным рашэннем функцыянальнага ўраўнення:

$f(xy)=f(x)+f(y).$

Натуральны лагарыфм

Асноўны артыкул: Натуральны лагарыфм

Прыведзеная вышэй агульная формула вытворнай выглядае найпрасцей у выпадку натуральнага лагарыфма:

${\frac {d}{dx}}\ln x={\frac {1}{x}}.$

З гэтай прычыны ў матэматычных даследаваннях пераважна выкарыстоўваюць іменна натуральныя лагарыфмы. Яны нярэдка з’яўляюцца пры развязанні дыферэнцыяльных ураўненняў, даследаванні статыстычных залежнасцей (напрыклад, размеркавання простых лікаў) і пад.

Натуральны лагарыфм роўны плошчы пад гіпербалай

Праінтэграваўшы формулу для вытворнай у прамежку ад $x=1$ да $x=b$, атрымліваем:

$\ln b=\int \limits _{1}^{b}{\frac {dx}{x}}.$

Інакш кажучы, натуральны лагарыфм роўны плошчы пад гіпербалай $y={\frac {1}{x}}$ на названым прамежку x.

Нявызначаны інтэграл ад натуральнага лагарыфма лёгка знайсці інтэграваннем па частках:

$\int {\ln x\,\mathrm {d} x}=x\ln x-x+C.$

У матэматычным аналізе і тэорыі дыферэнцыяльных ураўненняў вялікую ролю адыгрывае паняцце лагарыфмічнай вытворнай функцыі $f(x)$:

${\frac {d}{dx}}\ln(f(x))={\frac {f'(x)}{f(x)}}.$

Раскладанне ў рад і вылічэнне натуральнага лагарыфма

Раскладзём натуральны лагарыфм у рад Тэйлара каля адзінкі:

$\ln(1+x)=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{4}}{4}}+\dots .$

Гэты рад збягаецца пры $-1<x\leq 1.$ У прыватнасці:

$\ln 2=1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+\dots .$

Формула непрыдатная для практычнага вылічэння лагарыфмаў з-за таго, што рад збягаецца вельмі павольна і толькі на вузкім прамежку. Аднак нескладана атрымаць з яе зручнейшую формулу:

$\ln \left({\frac {1+x}{1-x}}\right)=2\left(x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}+{\frac {x^{7}}{7}}+\dots \right).$

Гэты рад збягаецца хутчэй, і акрамя таго, цяпер левая частка формулы можа прадставіць лагарыфм любога дадатнага ліку.

Карыстацца апошняй формулай трэба так. Няхай $Z$ — лік, лагарыфм якога трэба вылічыць.

1) З ураўнення

$Z={\frac {1+x}{1-x}}$

знаходзім $x$:

$x={\frac {Z-1}{Z+1}}.$

2) Вылічанае значэнне $x$ падстаўляем у рад і атрымліваем значэнне $\ln Z$.

Дадзены алгарытм ужо прыдатны да выкарыстання на практыцы пры вылічэнні значэнняў лагарыфмаў, аднак ён не найлепшы з пункту гледжання працаёмкасці. Існуюць больш дзейсныя алгарытмы.

Лімітавыя суадносіны

Прывядзём некалькі карысных лімітаў, якія ўтрымліваюць лагарыфмы.

$\lim _{x\to 0}{\frac {\log _{a}(1+x)}{x}}=\log _{a}e={\frac {1}{\ln a}}$

$\lim _{x\to +0}x^{b}\log _{a}x=0\quad (b>0)$

$\lim _{x\to +\infty }{\frac {\log _{a}x}{x^{b}}}=0\quad (b>0)$

$\ln x=\lim _{n\to \infty }n\left({\sqrt[{n}]{x}}-1\right)=\lim _{n\to \infty }n\left(1-{\frac {1}{\sqrt[{n}]{x}}}\right)$

$\ln x=\lim _{h\to 0}{\frac {x^{h}-1}{h}}$

Іншыя ўласцівасці

• З тэарэмы Гельфонда вынікае, што калі $a,b$ — алгебраічныя лікі ($a\neq 1$), то $\log _{a}b$ або рацыянальны, або трансцэндэнтны. Пры гэтым лагарыфм рацыянальны і роўны ${\frac {p}{q}}$ толькі ў тым выпадку, калі лікі $a,b$ суадносяцца як $a^{p}=b^{q}$.

• Сума $\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}$ (частковая сума гарманічнага рада) пры вялікіх $n$ паводзіць сябе як $\ln n+C$, дзе $C\approx 0{,}577215664\dots$ — сталая Ойлера — Маскероні.

Камплексны лагарыфм

Асноўны артыкул: Камплексны лагарыфм

Вызначэнне і ўласцівасці

Для камплексных лікаў лагарыфм вызначаецца гэтак жа, як рэчаісны. На практыцы выкарыстоўваецца амаль выключна натуральны камплексны лагарыфм, які пазначаецца $\mathrm {Ln} \,z$ і вызначаецца як рашэнне $w$ ураўнення $e^{w}=z$ (іншыя, эквівалентныя дадзеным, варыянты вызначэння прыведзены ніжэй).

У полі камплексных лікаў рашэнне гэтага ўраўнення, у адрозненне ад рэчаіснага выпадку, не вызначана адназначна. Напрыклад, згодна з тоеснасцю Эйлера, $~e^{\pi i}=-1$; аднак таксама $~e^{-\pi i}=e^{3\pi i}=e^{5\pi i}\dots =-1$. Гэта звязана з тым, што паказальная функцыя ўздоўж ўяўнай восі з’яўляецца перыядычнай (з перыядам $~2\pi$), і адно і тое ж значэнне функцыя прымае бясконца шмат разоў. Такім чынам, комплексная лагарыфмічная функцыя $~w=\mathrm {Ln} \,z$ з’яўляецца шматзначнай.

Камплексны нуль не мае лагарыфма, паколькі камплексная экспанента не прыймае нулявога значэння. Ненулявое $z$ можна прадставіць у паказальнай форме:

$z=r\cdot e^{i\varphi }$

Тады $\mathrm {Ln} \,z$ знаходзіцца па формуле:

$\mathrm {Ln} \,z=\ln r+i\left(\varphi +2\pi k\right)$

Тут $\ln \,r=\ln \,|z|$ — рэчаісны лагарыфм, $k$ — адвольны цэлы лік. Адсюль выцякае:

Камплексны лагарыфм $\mathrm {Ln} \,z$ існуе для любога $z\neq 0$, і яго рэчаісная частка вызначаецца адназначна, у той час як уяўная частка мае бясконцае мноства значэнняў, якія адрозніваюцца на цэлае кратнае $2\pi .$.

Рэчаісная частка камплекснага лагарыфма

З формулы відаць, што ў аднаго і толькі аднаго са значэнняў уяўная частка знаходзіцца ў інтэрвале $~(-\pi ,\pi ]$. Гэта значэнне называецца галоўным значэннем комплекснага натуральнага лагарыфма. Адпаведная (ужо адназначная) функцыя называецца галоўнай галіной лагарыфма і пазначаецца $\ln \,z$. Часам праз $\ln \,z$ таксама пазначаюць значэнне лагарыфма, якое ляжыць не на галоўнай галіне. Калі $z$ — рэчаісны лік, то галоўнае значэнне яго лагарыфма супадае з звычайным рэчаісным лагарыфмам.

З прыведзенай формулы таксама вынікае, што рэчаісная частка лагарыфма вызначаецца наступным чынам праз кампаненты аргумента:

$\operatorname {Re} (\ln(x+iy))={\frac {1}{2}}\ln(x^{2}+y^{2})$

На малюнку паказана, што рэчаісная частка як функцыя кампанентаў цэнтральна-сіметрычна і залежыць толькі ад адлегласці да пачатку каардынатаў. Яна атрымліваецца кручэннем графіка рэчаіснага лагарыфма вакол вертыкальнай восі. З набліжэннем да нуля функцыя імкнецца да $-\infty .$

Прыклады значэнняў комплекснага лагарыфма

Прывядзем галоўнае значэнне лагарыфма ($\ln$) і агульны яго выраз ($\mathrm {Ln}$) для некаторых аргументаў:

$\ln(1)=0;\;\mathrm {Ln} (1)=2k\pi i$

$\ln(-1)=i\pi ;\;\mathrm {Ln} (-1)=(2k+1)i\pi$

$\ln(i)=i{\frac {\pi }{2}};\;\mathrm {Ln} (i)=i{\frac {4k+1}{2}}\pi$

Варта быць асцярожным пры пераўтварэннях комплексных лагарыфмаў, прымаючы пад увагу, што яны шматзначныя, і таму з роўнасці лагарыфмаў якіх-небудзь выразаў не варта роўнасць гэтых выразаў. Прыклад памылковай развагі:

$i\pi =\ln(-1)=\ln((-i)^{2})=2\ln(-i)=2(-i\pi /2)=-i\pi$ — відавочная памылка.

Адзначым, што злева варта галоўнае значэнне лагарыфма, а справа — значэнне з ніжэйшай галіны ($k=-1$). Прычына памылкі — неасцярожнае выкарыстанне ўласцівасці $\log _{a}{(b^{p})}=p~\log _{a}b$, якая, наогул кажучы, мае на ўвазе ў комплексным выпадку ўвесь бясконцы набор значэнняў лагарыфма, а не толькі галоўнае значэнне.

Камплексная лагарыфмічная функцыя і рыманавая паверхня

Камплексны лагарыфм (уяўная частка)

У камплексным аналізе замест разгляду мнагазначных функцый на камплекснай плоскасці прынята іншае рашэнне: разглядаць функцыю як адназначную, але вызначаную не на плоскасці, а на больш складанай разнастайнасці, якоая называецца рыманавай паверхняй. Камплексная лагарыфмічная функцыя таксама адносіцца да гэтай катэгорыі: яе вобраз складаецца з бясконцага ліку галін, закручаных ў выглядзе спіралі. Гэтая паверхню бесперапынная і аднасувязная. Адзіны нуль у функцыі (першага парадку) атрымліваецца пры $z=1$. Асаблівыя пункты: $z=0$ і $z=\infty$ (пункты разгалінавання бясконцага парадку).

У сілу аднасувязнасці рыманавая паверхня лагарыфма з’яўляецца універсальнай накрываючай для камплекснай плоскасці без пункту $0$.

Аналітычны працяг

Лагарыфм камплекснага ліку таксама можа быць вызначаны як аналітычны працяг рэчаіснага лагарыфма на ўсю камплексную плоскасць. Хай крывая $\Gamma$ пачынаецца ў адзінцы, не праходзіць праз нуль і не перасякае адмоўную частку рэчаіснай восі. Тады галоўнае значэнне лагарыфма ў канчатковым пункце $w$ крывой $\Gamma$ можна вызначыць па формуле:

$\ln z=\int \limits _{\Gamma }{du \over u}$

Калі $\Gamma$ — простая крывая (без самаперасячэнняў), то для лікаў, якія ляжаць на ёй, лагарыфмічныя тоеснасці можна ўжываць без боязі, напрыклад:

$\ln(wz)=\ln w+\ln z,~\forall z,w\in \Gamma \colon zw\in \Gamma$

Галоўная галіна лагарыфмічнай функцыі бесперапынная і дыферэнцыруема на ўсёй камплекснай плоскасці, акрамя адмоўнай часткі рэчаіснай восі, на якой уяўная частка скокам мяняецца на $2\pi$. Але гэты факт ёсць следства штучнага абмежавання ўяўнай часткі галоўнага значэння інтэрвалам $~(-\pi ,\pi ]$. Калі разгледзець усе галіны функцыі, то бесперапыннасць мае месца ва ўсіх пунктах, акрамя нуля, дзе функцыя не вызначана. Калі дазволіць крывой $\Gamma$ перасякаць адмоўную частка рэчаіснай восі, то першае такое скрыжаванне пераносіць вынік з галіны галоўнага значэння на суседнюю галіну, а кожнае наступнае скрыжаванне выклікае аналагічнае зрушэнне па галінах лагарыфмічнай функцыі.

З формулы аналітычнага працягу вынікае, што на любой галіне лагарыфма:

${\frac {d}{dz}}\ln z={1 \over z}$

Для любой акружнасці $S$, якая ахоплівае пункт $0$:

$\oint \limits _{S}{dz \over z}=2\pi i$

Інтэграл бярэцца ў станоўчым напрамку (супраць гадзіннікавай стрэлкі). Гэта тоеснасць ляжыць у аснове тэорыі вылікаў.

Можна таксама вызначыць аналітычнае працяг комплекснага лагарыфма з дапамогай вышэйпрыведзеных радоў: раду 1 або раду 2, — абагульненых на выпадак камплекснага аргументу. Аднак з выгляду гэтых радоў вынікае, што ў адзінцы сума раду роўная нулю, шэта значыць рад адносіцца толькі да галоўнай галіны шматзначнай функцыі камплекснага лагарыфма. Радыус збежнасці абодвух радоў роўны 1.

Сувязь са зваротнымі трыганаметрычнымі і гіпербалічнымі функцыямі

Паколькі камплексныя трыганаметрычныя функцыі звязаныя з экспанентай (формула Эйлера), то камплексны лагарыфм як зваротная да экспаненты функцыя звязаны са зваротнымі трыганаметрычнымі функцыямі:

$\operatorname {Arcsin} z=-i\operatorname {Ln} (iz+{\sqrt {1-z^{2}}})$

$\operatorname {Arccos} z=-i\operatorname {Ln} (z+i{\sqrt {1-z^{2}}})$

$\operatorname {Arctg} z=-{\frac {i}{2}}\ln {\frac {1+zi}{1-zi}}+k\pi \;(z\neq \pm i)$

$\operatorname {Arcctg} z=-{\frac {i}{2}}\ln {\frac {zi-1}{zi+1}}+k\pi \;(z\neq \pm i)$

Гіпербалічныя функцыі на камплекснай плоскасці можна разглядаць як трыганаметрычныя функцыі ўяўнага аргументу, таму і тут мае месца сувязь з лагарыфмам:

$\operatorname {Arsh} z=\operatorname {Ln} (z+{\sqrt {z^{2}+1}})$ — зваротны гіпербалічны сінус

$\operatorname {Arch} z=\operatorname {Ln} \left(z+{\sqrt {z^{2}-1}}\right)$ — зваротны гіпербалічны косінус

$\operatorname {Arth} z={\frac {1}{2}}\operatorname {Ln} \left({\frac {1+z}{1-z}}\right)$ — зваротны гіпербалічны тангенс

$\operatorname {Arcth} z={\frac {1}{2}}\operatorname {Ln} \left({\frac {z+1}{z-1}}\right)$ — зваротны гіпербалічны катангенс

Ужыванне на практыцы

Табліцы лагарыфмаў

Лагарыфмічныя табліцы

З уласцівасцей лагарыфма вынікае, што замест працаёмкага множання шматзначных лікаў дастаткова адшукаць (па табліцах) і скласці іхнія лагарыфмы, а потым па тых жа табліцах («Антылагарыфмы») выканаць ступеняванне, г.зн. знайсці значэнне па яго лагарыфму. Выкананне дзялення адрозніваецца толькі тым, што лагарыфмы адымаюцца.

Першыя табліцы лагарыфмаў выдаў Джон Непер (1614), і яны ўтрымівалі толькі лагарыфмы трыганаметрычных функцый, прычым з памылкамі. Незалежна ад яго свае табліцы надрукаваў Ёст Бюргі, друг Кеплера (1620). У 1617 годзе оксфардскі прафесар матэматыкі Генры Брыгс выдаў табліцы, якія ўжо ўключалі дзесятковыя лагарыфмы лікаў ад 1 да 1000, з 8 (пазней — з 14) знакамі. Але і ў табліцах Брыгса выявіліся памылкі. Першае безпамылковае выданне на аснове табліц Георга Вегі (1783) з’явілася толькі ў 1857 годзе ў Берліне (табліцы Брэмікера, Carl Bremiker).

У Расіі першыя табліцы лагарыфмаў былі выдадзены ў 1703 годзе пры ўдзеле Л. П. Магніцкага. У СССР было выдадзена некалькі зборнікаў табліц лагарыфмаў:

1. Брадис В. М. Четырехзначные математические таблицы. М.: Дрофа, 2010, ISBN 978-5-358-07433-0. Табліцы Брадзіса, выдаваныя з 1921 года, выкарыстоўваліся ў навучальных установах і ў інжынерных разліках, якія не патрабавалі вялікай дакладнасці. Яны ўтрымлівалі мантысы дзесятковых лагарыфмаў і трыганаметрычных функцый, натуральныя лагарыфмы і некаторыя іншыя карысныя разліковыя прылады.
2. Вега Г. Таблицы семизначных логарифмов, 4-е издание, М.: Недра, 1971. Адмысловы зборнік для дакладных вылічэнняў.
3. Бремикер К. Логарифмо-тригонометрические таблицы. М.: Наука, 1962. 664 с. Класічныя шасцізначныя табліцы, зручныя для разлікаў з трыганаметрычнымі функцыямі.
4. Пятизначные таблицы натуральных значений тригонометрических величин, их логарифмов и логарифмов чисел, 6-е издание, М.: Наука, 1972.
5. Таблицы натуральных логарифмов, 2-е издание, в 2 томах, М.: Наука, 1971.
6. Десятизначные таблицы логарифмов комплексных чисел. М., 1952.

Лагарыфмічная лінейка

Асноўны артыкул: Лагарыфмічная лінейка

У 1620-я гады Эдмунд Уінгейт і Уільям Оўтрэд вынайшлі першую лагарыфмічную лінейку, якая да з’яўлення кішэнных калькулятараў была незаменнай вылічальнай прыладай інжынера. З дапамогай гэтай невялічкай прылады можна было хутка выконваць усе алгебраічныя аперацыі, у тым ліку з трыганаметрычнымі функцыямі. Дакладнасць разлікаў — каля 3 значных лічб.

Лагарыфмічная лінейка

Гл. таксама

• Камплексны лік
• Паказнікавая функцыя
• Камплексны лагарыфм
• Ступеняванне
• Лагарыфмічная лінейка
• Сістэмы злічэння
• Спіс інтэгралаў ад лагарыфмічных функцый

Літаратура

• Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике (руск.). — М.: Наука, 1978.
• Корн Г., Корн Т. Справочник по математике (для научных работников и инженеров) (руск.). — М.: Наука, 1973. — 720 с.
• Свешников А. Г., Тихонов А. Н. Теория функций комплексной переменной (руск.). — М.: Наука, 1967. — 304 с.
• Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления (руск.). — изд. 6-е. — М.: Наука, 1966. — 680 с.
• Математика XVII столетия // История математики (руск.) / Под редакцией А. П. Юшкевича, в трёх томах. — М.: Наука, 1970. — Т. II. Архівавана 18 верасня 2011.

Спасылкі

• На Вікісховішчы ёсць медыяфайлы па тэме Лагарыфм
• Colin Byfleet, Educational video on logarithms.
• Edward Wright, Translation of Napier’s work on logarithms Архівавана 27 чэрвеня 2007..