Адкрыць галоўнае меню

p-адычны лік[1] (дзе p — нейкі выбраны просты лік) — элемент пашырэння поля рацыянальных лікаў, якое з'яўляецца папаўненнем поля рацыянальных лікаў адносна p-адычнай нормы, вызначанай на аснове ўласцівасцей дзялімасці цэлых лікаў на р.

p-адычныя лікі ўвёў Курт Хензэль[de] у 1897 годзе[2].

Поле p-адычных лікаў звычайна абазначаецца ці .

Алгебраічная пабудоваПравіць

Цэлыя p-адычныя лікіПравіць

Стандартнае азначэннеПравіць

Няхай p — некаторы просты лік. Цэлым p-адычным лікам называецца бесканечная паслядоўнасць   цэлых лікаў  , якія задавальняюць умову:

 

Дзве паслядоўнасці   і   вызначаюць адзін і той жа цэлы p-адычным лік тады і толькі тады, калі

 

для ўсіх n ≥ 1.

Складанне і множанне цэлых p-адычных лікаў вызначаецца як пачленнае складанне і множанне такіх паслядоўнасцей. Для іх непасрэдна правяраюцца ўсе аксіёмы кальца.

Азначэнне праз праектыўны лімітПравіць

У тэрмінах праектыўных лімітаў[ru] кальцо цэлых p-адычных лікаў вызначаецца як ліміт

 

кольцаў   вылікаў па модулю   адносна натуральных праекцый  .

Такія пабудовы можна правесці ў выпадку не толькі простага ліку  , але і любога састаўнога ліку   — атрымаецца т. зв. кальцо  -адычных лікаў, але гэтае кальцо ў адрозненне ад   утрымлівае дзельнікі нуля, таму далейшыя пабудовы, якія разглядаюцца ніжэй, для яго непрыдатныя.

УласцівасціПравіць

Кальцо цэлых p-адычных лікаў звычайна абазначаецца  . Звычайныя цэлыя лікі ўкладваюцца ў   відавочным чынам:   і з'яўляюцца падкальцом.

Беручы ў якасці элемента класа вылікаў лік   (такім чынам,  ), мы можам запісаць кожны цэлы p-адычны лік у выглядзе   адназначным чынам. Такое прадстаўленне называецца кананічным.

Запісваючы кожнае an у p-ічнай сістэме злічэння   і, улічваючы, што

 

мы можам усякі p-адычны лік у кананічным выглядзе прадставіць як

 

ці запісаць у выглядзе бесканечнай паслядоўнасці лічбаў у p-ічнай сістэме злічэння

 

Дзеянні над такімі паслядоўнасцямі ажыццяўляюцца па звычайных правілах складання, адымання і множання «слупком» у p-ічнай сістэме злічэння.

У такой форме запісу натуральным лікам і нулю адпавядаюць p-адычныя лікі з канечнаю колькасцю ненулявых лічбаў, якія супадаюць з лічбамі зыходнага ліку. Адмоўным лікам адпавядаюць p-адычныя лікі з бесканечнаю колькасцю ненулявых лічбаў, напрыклад у пяцярковай сістэме −1=…4444=(4).

p-адычныя лікіПравіць

Азначэнне як поля дзелейПравіць

p-адычным лікам называецца элемент поля дзелей   кальца   цэлых p-адычных лікаў. Гэтае поле называецца полем p-адычных лікаў.

УласцівасціПравіць

Поле p-адычных лікаў утрымлівае ў сабе поле рацыянальных лікаў.

Няцяжка даказаць, што любы цэлы p-адычны лік, някратны p, будзе абарачальным у колцы  , а кратнае p адназначна запісваецца ў выглядзе  , дзе лік x не дзеліцца на p і таму абарачальны, а n > 0.

Таму любы ненулявы элемент поля   можна запісаць у выглядзе  , дзе x не кратнае p, а n любое.

Калі n адмоўнае, то, зыходзячы з прадстаўлення цэлых p-адычных лікаў у выглядзе паслядоўнасці лічбаў у p-ічнай сістэме злічэння, мы можам запісаць такі p-адычны лік у выглядзе паслядоўнасці

 

г.зн. фармальна прадставіць у выглядзе p-ічнага дробу з канечным лікам лічбаў пасля коскі і, магчыма, бесканечнаю колькасцю ненулявых лічбаў да коскі.

Дзяліць такія лікі можна аналагічна «школьнаму» правілу, але пачынаючы з малодшых, а не старшых разрадаў ліку.

Метрычная пабудоваПравіць

Любы ненулявы рацыянальны лік x можна запісаць як

 

дзе a і b — цэлыя лікі, якія не дзеляцца на p, а n — цэлы лік, які ў такім прадстаўленні вызначаецца адназначна.

Тады p-адычная норма ліку x вызначаецца як

 

Для нуля p-адычная норма паводле азначэння роўная нулю:

 

Поле p-адычных лікаў ёсць папаўненне поля рацыянальных лікаў з метрыкаю  , вызначанаю p-адычнай нормай:

 

Гэтая пабудова аналагічная пабудове поля рэчаісных лікаў як папаўнення поля рацыянальных лікаў пры дапамозе нормы, якая з'яўляецца звычайнаю абсалютнаю велічынёю.

Норма   працягваецца па непарыўнасці да нормы на  .

УласцівасціПравіць

  • Кожны элемент x поля p-адычных лікаў можна прадставіць у выглядзе збежнага рада
 
дзе   — некаторы цэлы лік, а   — цэлыя неадмоўныя лікі, не большыя чым  . А іменна, у якасці   тут выступаюць лічбы з запісу x у сістэме злічэння з асноваю p. Такая сума заўсёды збягаецца ў метрыцы   да самога  .
 
  • Лікі   з умоваю   утвараюць кальцо   цэлых p-адычных лікаў, якое з'яўляецца папаўненнем кальца цэлых лікаў   у норме  .
  • Лікі   з умоваю   утвараюць мультыплікатыўную групу і называюцца p-адычнымі адзінкамі.
  • Сукупнасць лікаў   з умоваю   з'яўляецца галоўным ідэалам у   з утваральным элементам p.
  • Метрычная прастора   гомеаморфная Кантараву мноству, а прастора   гомеаморфная Кантараву мноству з выразаным пунктам.
  • Для розных p нормы   незалежныя, а палі   неізаморфныя.
  • Для любых элементаў  ,  ,  ,  ,  , … такіх, што   і  , можна знайсці паслядоўнасць рацыянальных лікаў   такіх, што для любога p   і  .

ВыкарыстаннеПравіць

  • Калі   — мнагачлен з цэлымі каэфіцыентамі, то вырашальнасць пры ўсіх k параўнання
 
раўназначная вырашальнасці ўраўнення
 
у цэлых p-адычных ліках. Неабходнаю ўмоваю вырашальнасці гэтага ўраўнення ў цэлых ці рацыянальных ліках з'яўляецца яго вырашальнасць у кольцах ці, адпаведна, палях p-адычных лікаў пры ўсіх p, а таксама ў полі рэчаісных лікаў. Для некаторых класаў мнагачленаў (напрыклад, для квадратычных форм) гэтая ўмова з'яўляецца таксама дастатковаю.
На практыцы для праверкі вырашальнасці ўраўнення ў цэлых p-адычных ліках дастаткова праверыць вырашальнасць названага параўнання для пэўнага канечнага ліку значэнняў k. Напрыклад, згодна з лемаю Хензеля[en], пры   дастатковаю ўмоваю для вырашальнасці параўнання пры ўсіх натуральных k будзе наяўнасць простага рашэння ў параўнання па модулю p (г.зн. простага кораня ў адпаведнага ўраўнення ў полі вылікаў па модулю p). Інакш кажучы, пры   для праверкі наяўнасці кораня ў ураўнення у цэлых p-адычных ліках, як правіла, дастаткова рашыць адпаведнае параўнанне пры  .

ЗноскіПравіць

  1. чытаецца: пэ-адычны; адпаведна: два-адычны, тры-адычны і г.д.
  2. Kurt Hensel. Über eine neue Begründung der Theorie der algebraischen Zahlen // Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung. — 1897. — Т. 6. — № 3. — С. 83—88.(ням.) 

ЛітаратураПравіць

  • Боревич З. И., Шафаревич И. Р. Теория чисел, — М.: Наука, 1985.
  • Коблиц Н. р-адические числа, р-адический анализ и дзета-функции, — М.: Мир, 1982.
  • Серр Ж.-П. Курс арифметики, — М.: Мир, 1972.
  • Б. Беккер, С. Востоков, Ю. Ионин. 2-адические числа // Квант. — 1979. — Т. 2. — С. 26—31.
  • Robert, Alain M. (2000). A Course in p-adic Analysis. Springer. ISBN 0-387-98669-3. 

СпасылкіПравіць