p-адычны лік

p-адычны лік (дзе p — нейкі выбраны просты лік) — элемент пашырэння поля рацыянальных лікаў, якое з’яўляецца папаўненнем поля рацыянальных лікаў адносна p-адычнай нормы, вызначанай на аснове ўласцівасцей дзялімасці цэлых лікаў на р.

p-адычныя лікі ўвёў Курт Хензэль у 1897 годзе.

Поле p-адычных лікаў звычайна абазначаецца $\mathbb {Q} _{p}$ ці $\mathbf {Q} _{p}$.

Алгебраічная пабудова

Цэлыя p-адычныя лікі

Стандартнае азначэнне

Няхай p — некаторы просты лік. Цэлым p-адычным лікам называецца бесканечная паслядоўнасць $x=\{x_{1},x_{2},\ldots \}$ цэлых лікаў $x_{n}$, якія задавальняюць умову:

$x_{n}\equiv x_{n+1}{\pmod {p^{n}}}.$

Дзве паслядоўнасці ${x_{n}}$ і ${y_{n}}$ вызначаюць адзін і той жа цэлы p-адычным лік тады і толькі тады, калі

$x_{n}\equiv y_{n}{\pmod {p^{n}}}$

для ўсіх n ≥ 1.

Складанне і множанне цэлых p-адычных лікаў вызначаецца як пачленнае складанне і множанне такіх паслядоўнасцей. Для іх непасрэдна правяраюцца ўсе аксіёмы кальца.

Азначэнне праз праектыўны ліміт

У тэрмінах праектыўных лімітаў кальцо цэлых p-адычных лікаў вызначаецца як ліміт

$\lim _{\leftarrow }\mathbb {Z} /{p^{n}}\mathbb {Z}$

кольцаў $\mathbb {Z} /{p^{n}}\mathbb {Z}$ вылікаў па модулю $p^{n}$ адносна натуральных праекцый $\mathbb {Z} /{p^{n+1}}\mathbb {Z} \to \mathbb {Z} /{p^{n}}\mathbb {Z}$.

Такія пабудовы можна правесці ў выпадку не толькі простага ліку $p$, але і любога састаўнога ліку $m$ — атрымаецца т. зв. кальцо $m$-адычных лікаў, але гэтае кальцо ў адрозненне ад $\mathbb {Z} _{p}$ утрымлівае дзельнікі нуля, таму далейшыя пабудовы, якія разглядаюцца ніжэй, для яго непрыдатныя.

Уласцівасці

Кальцо цэлых p-адычных лікаў звычайна абазначаецца $\mathbb {Z} _{p}$. Звычайныя цэлыя лікі ўкладваюцца ў $\mathbb {Z} _{p}$ відавочным чынам: $x=\{x,x,\ldots \}$ і з’яўляюцца падкальцом.

Беручы ў якасці элемента класа вылікаў лік $a_{n}=x_{n}\,{\bmod {\,}}{p^{n}}$ (такім чынам, $0\leq a_{n}<p^{n}$), мы можам запісаць кожны цэлы p-адычны лік у выглядзе $x=\{a_{1},a_{2},\ldots \}$ адназначным чынам. Такое прадстаўленне называецца кананічным.

Запісваючы кожнае a_n у p-ічнай сістэме злічэння $a_{n}=b_{n-1}\ldots b_{1}b_{0}$ і, улічваючы, што

$a_{n}\equiv a_{n+1}\!\!{\pmod {p^{n}}},$

мы можам усякі p-адычны лік у кананічным выглядзе прадставіць як

$x=\{b_{0},b_{1}b_{0},b_{2}b_{1}b_{0},\ldots \}$

ці запісаць у выглядзе бесканечнай паслядоўнасці лічбаў у p-ічнай сістэме злічэння

$x=\{\ldots b_{k}\ldots b_{1}b_{0}\}.$

Дзеянні над такімі паслядоўнасцямі ажыццяўляюцца па звычайных правілах складання, адымання і множання «слупком» у p-ічнай сістэме злічэння.

У такой форме запісу натуральным лікам і нулю адпавядаюць p-адычныя лікі з канечнаю колькасцю ненулявых лічбаў, якія супадаюць з лічбамі зыходнага ліку. Адмоўным лікам адпавядаюць p-адычныя лікі з бесканечнаю колькасцю ненулявых лічбаў, напрыклад у пяцярковай сістэме −1=…4444=(4).

p-адычныя лікі

Азначэнне як поля дзелей

p-адычным лікам называецца элемент поля дзелей $\mathbb {Q} _{p}$ кальца $\mathbb {Z} _{p}$ цэлых p-адычных лікаў. Гэтае поле называецца полем p-адычных лікаў.

Уласцівасці

Поле p-адычных лікаў утрымлівае ў сабе поле рацыянальных лікаў.

Няцяжка даказаць, што любы цэлы p-адычны лік, някратны p, будзе абарачальным у колцы $\mathbb {Z} _{p}$, а кратнае p адназначна запісваецца ў выглядзе $xp^{n}$, дзе лік x не дзеліцца на p і таму абарачальны, а n > 0.

Таму любы ненулявы элемент поля $\mathbb {Q} _{p}$ можна запісаць у выглядзе $xp^{n}$, дзе x не кратнае p, а n любое.

Калі n адмоўнае, то, зыходзячы з прадстаўлення цэлых p-адычных лікаў у выглядзе паслядоўнасці лічбаў у p-ічнай сістэме злічэння, мы можам запісаць такі p-адычны лік у выглядзе паслядоўнасці

$x=\{\ldots b_{k}\ldots b_{2}b_{1}b_{0},b_{-1}\ldots b_{-n}\},$

г.зн. фармальна прадставіць у выглядзе p-ічнага дробу з канечным лікам лічбаў пасля коскі і, магчыма, бесканечнаю колькасцю ненулявых лічбаў да коскі.

Дзяліць такія лікі можна аналагічна «школьнаму» правілу, але пачынаючы з малодшых, а не старшых разрадаў ліку.

Метрычная пабудова

Любы ненулявы рацыянальны лік x можна запісаць як

$r=p^{n}\,{\frac {a}{b}},$

дзе a і b — цэлыя лікі, якія не дзеляцца на p, а n — цэлы лік, які ў такім прадстаўленні вызначаецца адназначна.

Тады p-адычная норма ліку x вызначаецца як

$|x|_{p}=p^{-n}.$

Для нуля p-адычная норма паводле азначэння роўная нулю:

$|0|_{p}=0.$

Поле p-адычных лікаў ёсць папаўненне поля рацыянальных лікаў з метрыкаю $d_{p}$, вызначанаю p-адычнай нормай:

$d_{p}(x,y)=|x-y|_{p}.$

Гэтая пабудова аналагічная пабудове поля рэчаісных лікаў як папаўнення поля рацыянальных лікаў пры дапамозе нормы, якая з’яўляецца звычайнаю абсалютнаю велічынёю.

Норма $|r|_{p}$ працягваецца па непарыўнасці да нормы на $\mathbb {Q} _{p}$.

Уласцівасці

• Кожны элемент x поля p-адычных лікаў можна прадставіць у выглядзе збежнага рада

$x=\sum _{i=n_{0}}^{\infty }a_{i}p^{i}$

дзе $n_{0}$ — некаторы цэлы лік, а $a_{i}$ — цэлыя неадмоўныя лікі, не большыя чым $p-1$. А іменна, у якасці $a_{i}$ тут выступаюць лічбы з запісу x у сістэме злічэння з асноваю p. Такая сума заўсёды збягаецца ў метрыцы $d_{p}$ да самога $x$.

• p-адычная норма $|x|_{p}$ задавальняе моцную няроўнасць трохвугольніка

$|x-z|_{p}\leq \max\{|x-y|_{p},|y-z|_{p}\}.$

• Лікі $x\in \mathbb {Q} _{p}$ з умоваю $|x|_{p}\leq 1$ утвараюць кальцо $\mathbb {Z} _{p}$ цэлых p-адычных лікаў, якое з’яўляецца папаўненнем кальца цэлых лікаў $\mathbb {Z} \subset \mathbb {Q}$ у норме $|x|_{p}$.
• Лікі $x\in \mathbb {Q} _{p}$ з умоваю $|x|_{p}=1$ утвараюць мультыплікатыўную групу і называюцца p-адычнымі адзінкамі.
• Сукупнасць лікаў $x\in \mathbb {Q} _{p}$ з умоваю $|x|_{p}<1$ з’яўляецца галоўным ідэалам у $\mathbb {Z} _{p}$ з утваральным элементам p.

• Метрычная прастора $(\mathbb {Z} _{p},d_{p})$ гомеаморфная Кантараву мноству, а прастора $(\mathbb {Q} _{p},d_{p})$ гомеаморфная Кантараву мноству з выразаным пунктам.
• Для розных p нормы $|x|_{p}$ незалежныя, а палі $\mathbb {Q} _{p}$ неізаморфныя.
• Для любых элементаў $r_{\infty }$, $r_{2}$, $r_{3}$, $r_{5}$, $r_{7}$, … такіх, што $r_{\infty }\in \mathbb {R}$ і $r_{p}\in \mathbb {Q} _{p}$, можна знайсці паслядоўнасць рацыянальных лікаў $x_{n}$ такіх, што для любога p $|x_{i}-r_{p}|_{p}\to 0$ і $|x_{i}-r_{\infty }|\to 0$.

Выкарыстанне

• Калі $F(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})$ — мнагачлен з цэлымі каэфіцыентамі, то вырашальнасць пры ўсіх k параўнання

$F(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n})\equiv 0{\pmod {p^{k}}}$

раўназначная вырашальнасці ўраўнення

$F(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n})=0$

у цэлых p-адычных ліках. Неабходнаю ўмоваю вырашальнасці гэтага ўраўнення ў цэлых ці рацыянальных ліках з’яўляецца яго вырашальнасць у кольцах ці, адпаведна, палях p-адычных лікаў пры ўсіх p, а таксама ў полі рэчаісных лікаў. Для некаторых класаў мнагачленаў (напрыклад, для квадратычных форм) гэтая ўмова з’яўляецца таксама дастатковаю.

На практыцы для праверкі вырашальнасці ўраўнення ў цэлых p-адычных ліках дастаткова праверыць вырашальнасць названага параўнання для пэўнага канечнага ліку значэнняў k. Напрыклад, згодна з лемаю Хензеля, пры $n=1$ дастатковаю ўмоваю для вырашальнасці параўнання пры ўсіх натуральных k будзе наяўнасць простага рашэння ў параўнання па модулю p (г.зн. простага кораня ў адпаведнага ўраўнення ў полі вылікаў па модулю p). Інакш кажучы, пры $n=1$ для праверкі наяўнасці кораня ў ураўнення у цэлых p-адычных ліках, як правіла, дастаткова рашыць адпаведнае параўнанне пры $k=1$.

Літаратура

• Robert, Alain M. (2000). A Course in p-adic Analysis. Springer. ISBN 0-387-98669-3.
• Беккер Б., Востоков С., Ионин Ю. 2-адические числа // Квант. — 1979. — Т. 2. — С. 26—31.
• Боревич З. И., Шафаревич И. Р. Теория чисел. — М.: Наука, 1985.
• Коблиц Н. р-адические числа, р-адический анализ и дзета-функции. — М.: Мир, 1982.
• Радына А. Я., Радына Я. В. Элементарныя ўводзіны ў р-адычны аналіз. — Мн.: БДПУ, 2006.
• Серр Ж.-П. Курс арифметики. — М.: Мир, 1972.

Спасылкі

• Weisstein, Eric W.. p-adic Number (нявызн.). MathWorld.

• p-adic integers (англ.) на сайце PlanetMath.
• p-adic number at Springer On-line Encyclopaedia of Mathematics
• Completion of Algebraic Closure — on-line lecture notes by Brian Conrad
• An Introduction to p-adic Numbers and p-adic Analysis Архівавана 13 снежня 2016. — on-line lecture notes by Andrew Baker, 2007
• Efficient p-adic arithmetic (slides)