Геаметрычная прагрэсія

Геаметры́чная прагрэ́сія — паслядоўнасць лікаў b₁, b₂, b₃, ... (членаў прагрэсіі), кожны з якіх атрымліваецца з папярэдняга дамнажэннем на пастаянны лік q ≠ 0 (назо́ўнік прагрэсіі).

Кожны наступны фіялетавы квадрат атрыманы змяншэннем у 2 разы старон папярэдняга квадрата (пры гэтым ягоная плошча змяншаецца ў 4 разы). Сума плошчаў усіх фіялетавых квадратаў раўняецца траціне плошчы вялікага квадрата.

$b_{n}=b_{n-1}q,\qquad n=2,3,\dots .$

Сума ўсіх членаў геаметрычнай прагрэсіі (су́ма бяско́нцай геаметры́чнай прагрэ́сіі) называецца геаметры́чным ра́дам. Часта геаметрычным радам называюць і канечную суму некалькіх першых членаў геаметрычнай прагрэсіі.

Такім чынам, любая геаметрычная паслядоўнасць выглядае на ўзор

$a,\ aq,\ aq^{2},\ aq^{3},\ aq^{4},\ \dots ,$

дзе a — першы член геаметрычнай прагрэсіі, q ≠ 0 - назоўнік геаметрычнай прагрэсіі.

У такіх абазначэннях геаметрычны рад мае выгляд:

$a+aq+aq^{2}+aq^{3}+aq^{4}+\dots .$

Апісанне

n-ы член геаметрычнай прагрэсіі можна вылічыць па формуле:

$b_{n}=b_{1}q^{n-1}\quad$

Калі $b_{1}>0$ і $q>1$, прагрэсія з'яўляецца нарастаючай паслядоўнасцю, калі $0<q<1$, — спадаючай паслядоўнасцю, а пры $q<0$ — знакачаргавальнай.

Сваю назву прагрэсія атрымала дзякуючы сваёй адме́тнай уласці́васці:

$|b_{n}|={\sqrt {b_{n-1}b_{n+1}}},$

гэта значыць, кожны член роўны сярэдняму геаметрычнаму сваіх суседзяў.

Уласцівасці

• Лагарыфмы членаў геаметрычнай прагрэсіі (калі яны вызначаны) утвараюць арыфметычную прагрэсію

Доказ

Няхай $w_{n}=\log _{p}b_{n}\$. Тады для любога n > 1

${\frac {w_{n-1}+w_{n+1}}{2}}={\frac {\log _{p}b_{n-1}+\log _{p}b_{n+1}}{2}}={\frac {\log _{p}b_{1}q^{n-2}+\log _{p}b_{1}q^{n}}{2}}={\frac {\log _{p}(b_{1}^{2}q^{2n-2})}{2}}={\frac {2\cdot \log _{p}b_{1}q^{n-1}}{2}}=\log _{p}b_{n}=w_{n}$

Атрыманая роўнасць ёсць адметнай уласцівасцю арыфметычнай прагрэсіі.

• Пашыраная адметная ўласцівасць геаметрычнай прагрэсіі:

$b_{n}^{2}=b_{n-i}b_{n+i},\qquad 0\leq i<n$

Доказ

$b_{n}^{2}=b_{n}b_{n}=b_{1}q^{n-1}b_{1}q^{n-1}=b_{1}q^{n-1-i}b_{1}q^{n-1+i}=b_{n-i}b_{n+i}$

• Здабытак першых n элементаў геаметрычнай прагрэсіі можна вылічыць па формуле:

$P_{n}=(b_{1}\cdot b_{n})^{\frac {n}{2}}$

Доказ

$P_{n}=\prod _{i=1}^{n}b_{i}=\prod _{i=1}^{n}b_{1}q^{i-1}=b_{1}^{n}\prod _{i=1}^{n}q^{i-1}=b_{1}^{\frac {n}{2}}b_{1}^{\frac {n}{2}}q^{\frac {n(0+(n-1))}{2}}=(b_{1}b_{1}q^{n-1})^{\frac {n}{2}}=(b_{1}b_{n})^{\frac {n}{2}}$

• Здабытак членаў геаметрычнай прагрэсіі з нумарамі ад k да n можна вылічыць па формуле:

$P_{k,n}={\frac {P_{n}}{P_{k-1}}}$

Доказ

$P_{k,n}=\prod _{i=k}^{n}b_{i}={\frac {\prod _{i=1}^{n}b_{i}}{\prod _{j=1}^{k-1}b_{j}}}={\frac {P_{n}}{P_{k-1}}}$

• Сума n першых членаў геаметрычнай прагрэсіі:

$S_{n}=\sum _{i=1}^{n}b_{i}={\begin{cases}b_{1}{\frac {1-q^{n}}{1-q}},&q\neq 1,\\nb_{1},&q=1.\end{cases}}$

Доказ

• Праз пераўтварэнні сумы:

  $S_{n}=\sum _{i=1}^{n}b_{1}q^{i-1}=b_{1}+\sum _{i=2}^{n}b_{1}q^{i-1}=b_{1}+q\sum _{i=2}^{n}b_{1}q^{i-2}=b_{1}+q\sum _{i=1}^{n-1}b_{1}q^{i-1}=b_{1}+q\sum _{i=1}^{n}b_{1}q^{i-1}-b_{1}q^{n}=qS_{n}+b_{1}(1-q^{n})$

  Адсюль вынікае

  $(1-q)S_{n}=b_{1}(1-q^{n}).$

• індукцыяй па n:

  $n=1:S_{1}=\sum _{i=1}^{1}b_{i}=b_{1}=b_{1}{\frac {1-q^{1}}{1-q}}$

  $n\rightarrow n+1:S_{n+1}=\sum _{i=1}^{n+1}b_{i}=\sum _{i=1}^{n}b_{i}+b_{n+1}=b_{1}{\frac {1-q^{n}}{1-q}}+b_{1}q^{n}=b_{1}\left({\frac {1-q^{n}}{1-q}}+q^{n}\right)=b_{1}\left({\frac {1-q^{n}+q^{n}-q^{n+1}}{1-q}}\right)=b_{1}{\frac {1-q^{n+1}}{1-q}}$

Геаметрычны рад

На рысунку паказаны тры геаметрычныя рады ўзору r^n-1 (з назоўнікамі 1/2, 1/3 і 1/4) на 6 крокаў углыб. Першая "цагліна" адлюстроўвае адзінку. Штрыхавая лінія паказвае бясконцую суму паслядоўнасці — лік, да якога канечная сума набліжаецца пры павелічэнні колькасці складнікаў, але ніколі не дасягае (у дадзеным выпадку гэты лік роўны 2, 3/2, і 4/3, адпаведна).

Геаметры́чны ра́д — такі бясконцы рад, дзель паслядоўных членаў якога ёсць сталая велічыня. Часам геаметрычны рад яшчэ называюць сумай бясконцай геаметрычнай прагрэсіі. У агульным выпадку, геаметрычны рад можна прадставіць у выглядзе:

$a+aq+aq^{2}+aq^{3}+aq^{4}+\dots$

або

$\sum _{k=0}^{\infty }aq^{k}.$

Геаметрычны рад збягаецца, калі і толькі калі |q| < 1. Суму рада азначаюць як граніцу паслядоўнасці яго частковых сум S_n:

$\sum _{k=0}^{\infty }aq^{k}=\lim _{n\to \infty }\sum _{k=0}^{n}aq^{k}=\lim _{n\to \infty }a{\frac {1-q^{n}}{1-q}}.$

А раз |q| < 1, то велічыня qⁿ імкнецца да нуля пры неабмежаваным нарастанні n. Адсюль атрымліваем, што сума геаметрычнага рада раўняецца:

$a+aq+aq^{2}+aq^{3}+aq^{4}+\dots ={\frac {a}{1-q}}.$

Калі ж |q| ≥ 1, геаметрычны рад разбягаецца.

Рысунак паказвае геаметрычны рад 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ..., які збягаецца да значэння 2

Перыядычныя дзесятковыя дробы

Гл. таксама: Дзесятковы дроб

Геаметрычныя рады маюць адно цікавае дастасаванне. Так, любы перыядычны дзесятковы дроб, па сутнасці, ёсць запіс пэўнага геаметрычнага рада. Справядліва наступная тэарэма:

Бясконцы дзесятковы дроб з'яўляецца перыядычным, калі і толькі калі гэта запіс пэўнага рацыянальнага ліку (г.зн. нейкага звычайнага дробу).

Такім чынам, узнікае задача пераводу перыядычнага дзесятковага дробу ў звычайны.

Прыклады:

$0{,}(7)=0{,}77777\dots =0{,}7+0{,}07+0{,}007+\dots =7{\frac {1}{10}}+7\left({\frac {1}{10}}\right)^{2}+7\left({\frac {1}{10}}\right)^{3}+\dots ={\frac {\frac {7}{10}}{1-{\frac {1}{10}}}}={\frac {7}{9}}$

$0{,}(9)=0{,}99999\dots =0{,}9+0{,}09+0{,}009+\dots =9{\frac {1}{10}}+9\left({\frac {1}{10}}\right)^{2}+9\left({\frac {1}{10}}\right)^{3}+\dots ={\frac {\frac {9}{10}}{1-{\frac {1}{10}}}}={\frac {9}{9}}=1$

$0{,}(143)=0{,}143143\dots =0{,}143+0{,}000143+0{,}000000143+\dots =143{\frac {1}{1000}}+143\left({\frac {1}{1000}}\right)^{2}+143\left({\frac {1}{1000}}\right)^{3}+\dots ={\frac {\frac {143}{1000}}{1-{\frac {1}{1000}}}}={\frac {143}{999}}$

$0{,}85(3)=0{,}85333\dots =0{,}85+0{,}003+0{,}0003+\dots ={\frac {85}{100}}+{\frac {3}{1000}}+{\frac {3}{1000}}\cdot {\frac {1}{10}}+{\frac {3}{1000}}\left({\frac {1}{10}}\right)^{2}+\dots ={\frac {17}{20}}+{\frac {\frac {3}{1000}}{1-{\frac {1}{10}}}}={\frac {17}{20}}+{\frac {1}{300}}={\frac {64}{75}}$

Прыклады геаметрычных прагрэсій

• Паслядоўнасць плошчаў квадратаў, дзе кожны наступны квадрат атрымліваецца злучэннем сярэдзін старон папярэдняга — бясконцая геаметрычная прагрэсія з назоўнікам 1/2. Плошчы трохвугольнікаў, якія атрыліваюцца на кожным кроку, таксама ўтвараюць бясконцую геаметрычную прагрэсію з назоўнікам 1/2, сума якой роўная плошчы пачатковага квадрата.
• 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, 2048, 4096, 8192 — трынаццаць паслядоўных элементаў геаметрычнай прагрэсіі з назоўнікам 2.
• 50; −25; 12,5; −6,25; 3,125; … — бясконцая спадаючая геаметрычная прагрэсія з назоўнікам -½.
• $\pi ,\pi ,\pi ,\pi$ — геаметрычная прагрэсія з назоўнікам 1.

Гл. таксама

• Арыфметычная прагрэсія
• Паказнікавая функцыя