Геаметры́чная прагрэ́сія — паслядоўнасць лікаў b 1 , b 2 , b 3 , ... (членаў прагрэсіі), кожны з якіх атрымліваецца з папярэдняга дамнажэннем на пастаянны лік q ≠ 0 (назо́ўнік прагрэсіі)[1] [2] .
Кожны наступны фіялетавы квадрат атрыманы змяншэннем у 2 разы старон папярэдняга квадрата (пры гэтым ягоная плошча змяншаецца ў 4 разы). Сума плошчаў усіх фіялетавых квадратаў раўняецца траціне плошчы вялікага квадрата.
b n = b n − 1 q , n = 2 , 3 , … . {\displaystyle b_{n}=b_{n-1}q,\qquad n=2,3,\dots .} Сума ўсіх членаў геаметрычнай прагрэсіі (су́ма бяско́нцай геаметры́чнай прагрэ́сіі ) называецца геаметры́чным ра́дам . Часта геаметрычным радам называюць і канечную суму некалькіх першых членаў геаметрычнай прагрэсіі.
Такім чынам, любая геаметрычная паслядоўнасць выглядае на ўзор
a , a q , a q 2 , a q 3 , a q 4 , … , {\displaystyle a,\ aq,\ aq^{2},\ aq^{3},\ aq^{4},\ \dots ,} дзе a — першы член геаметрычнай прагрэсіі, q ≠ 0 - назоўнік геаметрычнай прагрэсіі.
У такіх абазначэннях геаметрычны рад мае выгляд:
a + a q + a q 2 + a q 3 + a q 4 + … . {\displaystyle a+aq+aq^{2}+aq^{3}+aq^{4}+\dots .}
n -ы член геаметрычнай прагрэсіі можна вылічыць па формуле:
b n = b 1 q n − 1 {\displaystyle b_{n}=b_{1}q^{n-1}\quad } Калі b 1 > 0 {\displaystyle b_{1}>0} і q > 1 {\displaystyle q>1} , прагрэсія з'яўляецца нарастаючай паслядоўнасцю , калі 0 < q < 1 {\displaystyle 0<q<1} , — спадаючай паслядоўнасцю, а пры q < 0 {\displaystyle q<0} — знакачаргавальнай [2] .
Сваю назву прагрэсія атрымала дзякуючы сваёй адме́тнай уласці́васці :
| b n | = b n − 1 b n + 1 , {\displaystyle |b_{n}|={\sqrt {b_{n-1}b_{n+1}}},} гэта значыць, кожны член роўны сярэдняму геаметрычнаму сваіх суседзяў.
Доказ
Няхай w n = log p b n {\displaystyle w_{n}=\log _{p}b_{n}\ } . Тады для любога n > 1
w n − 1 + w n + 1 2 = log p b n − 1 + log p b n + 1 2 = log p b 1 q n − 2 + log p b 1 q n 2 = log p ( b 1 2 q 2 n − 2 ) 2 = 2 ⋅ log p b 1 q n − 1 2 = log p b n = w n {\displaystyle {\frac {w_{n-1}+w_{n+1}}{2}}={\frac {\log _{p}b_{n-1}+\log _{p}b_{n+1}}{2}}={\frac {\log _{p}b_{1}q^{n-2}+\log _{p}b_{1}q^{n}}{2}}={\frac {\log _{p}(b_{1}^{2}q^{2n-2})}{2}}={\frac {2\cdot \log _{p}b_{1}q^{n-1}}{2}}=\log _{p}b_{n}=w_{n}}
Атрыманая роўнасць ёсць адметнай уласцівасцю арыфметычнай прагрэсіі.
Пашыраная адметная ўласцівасць геаметрычнай прагрэсіі: b n 2 = b n − i b n + i , 0 ≤ i < n {\displaystyle b_{n}^{2}=b_{n-i}b_{n+i},\qquad 0\leq i<n}
Доказ
b n 2 = b n b n = b 1 q n − 1 b 1 q n − 1 = b 1 q n − 1 − i b 1 q n − 1 + i = b n − i b n + i {\displaystyle b_{n}^{2}=b_{n}b_{n}=b_{1}q^{n-1}b_{1}q^{n-1}=b_{1}q^{n-1-i}b_{1}q^{n-1+i}=b_{n-i}b_{n+i}}
Здабытак першых n элементаў геаметрычнай прагрэсіі можна вылічыць па формуле: P n = ( b 1 ⋅ b n ) n 2 {\displaystyle P_{n}=(b_{1}\cdot b_{n})^{\frac {n}{2}}}
Доказ
P n = ∏ i = 1 n b i = ∏ i = 1 n b 1 q i − 1 = b 1 n ∏ i = 1 n q i − 1 = b 1 n 2 b 1 n 2 q n ( 0 + ( n − 1 ) ) 2 = ( b 1 b 1 q n − 1 ) n 2 = ( b 1 b n ) n 2 {\displaystyle P_{n}=\prod _{i=1}^{n}b_{i}=\prod _{i=1}^{n}b_{1}q^{i-1}=b_{1}^{n}\prod _{i=1}^{n}q^{i-1}=b_{1}^{\frac {n}{2}}b_{1}^{\frac {n}{2}}q^{\frac {n(0+(n-1))}{2}}=(b_{1}b_{1}q^{n-1})^{\frac {n}{2}}=(b_{1}b_{n})^{\frac {n}{2}}}
Здабытак членаў геаметрычнай прагрэсіі з нумарамі ад k да n можна вылічыць па формуле: P k , n = P n P k − 1 {\displaystyle P_{k,n}={\frac {P_{n}}{P_{k-1}}}}
Доказ
P k , n = ∏ i = k n b i = ∏ i = 1 n b i ∏ j = 1 k − 1 b j = P n P k − 1 {\displaystyle P_{k,n}=\prod _{i=k}^{n}b_{i}={\frac {\prod _{i=1}^{n}b_{i}}{\prod _{j=1}^{k-1}b_{j}}}={\frac {P_{n}}{P_{k-1}}}}
Сума n першых членаў геаметрычнай прагрэсіі: S n = ∑ i = 1 n b i = { b 1 1 − q n 1 − q , q ≠ 1 , n b 1 , q = 1. {\displaystyle S_{n}=\sum _{i=1}^{n}b_{i}={\begin{cases}b_{1}{\frac {1-q^{n}}{1-q}},&q\neq 1,\\nb_{1},&q=1.\end{cases}}}
Геаметрычны рад
правіць
На рысунку паказаны тры геаметрычныя рады ўзору r n -1 (з назоўнікамі 1/2, 1/3 і 1/4) на 6 крокаў углыб. Першая "цагліна" адлюстроўвае адзінку. Штрыхавая лінія паказвае бясконцую суму паслядоўнасці — лік, да якога канечная сума набліжаецца пры павелічэнні колькасці складнікаў, але ніколі не дасягае (у дадзеным выпадку гэты лік роўны 2, 3/2, і 4/3, адпаведна). Геаметры́чны ра́д — такі бясконцы рад , дзель паслядоўных членаў якога ёсць сталая велічыня . Часам геаметрычны рад яшчэ называюць сумай бясконцай геаметрычнай прагрэсіі .
У агульным выпадку, геаметрычны рад можна прадставіць у выглядзе:
a + a q + a q 2 + a q 3 + a q 4 + … {\displaystyle a+aq+aq^{2}+aq^{3}+aq^{4}+\dots } або
∑ k = 0 ∞ a q k . {\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }aq^{k}.} Геаметрычны рад збягаецца , калі і толькі калі |q | < 1 .
Суму рада азначаюць як граніцу паслядоўнасці яго частковых сум S n :
∑ k = 0 ∞ a q k = lim n → ∞ ∑ k = 0 n a q k = lim n → ∞ a 1 − q n 1 − q . {\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }aq^{k}=\lim _{n\to \infty }\sum _{k=0}^{n}aq^{k}=\lim _{n\to \infty }a{\frac {1-q^{n}}{1-q}}.} А раз |q | < 1 , то велічыня q n імкнецца да нуля пры неабмежаваным нарастанні n . Адсюль атрымліваем, што сума геаметрычнага рада раўняецца:
a + a q + a q 2 + a q 3 + a q 4 + ⋯ = a 1 − q . {\displaystyle a+aq+aq^{2}+aq^{3}+aq^{4}+\dots ={\frac {a}{1-q}}.} Калі ж |q | ≥ 1 , геаметрычны рад разбягаецца .
Рысунак паказвае геаметрычны рад 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ..., які збягаецца да значэння 2 Перыядычныя дзесятковыя дробы
правіць
Геаметрычныя рады маюць адно цікавае дастасаванне.
Так, любы перыядычны дзесятковы дроб , па сутнасці, ёсць запіс пэўнага геаметрычнага рада.
Справядліва наступная тэарэма:
Бясконцы дзесятковы дроб з'яўляецца перыядычным, калі і толькі калі гэта запіс пэўнага рацыянальнага ліку (г.зн. нейкага звычайнага дробу ).
Такім чынам, узнікае задача пераводу перыядычнага дзесятковага дробу ў звычайны .
Прыклады:
0 , ( 7 ) = 0,777 77 ⋯ = 0 , 7 + 0 , 07 + 0,007 + ⋯ = 7 1 10 + 7 ( 1 10 ) 2 + 7 ( 1 10 ) 3 + ⋯ = 7 10 1 − 1 10 = 7 9 {\displaystyle 0{,}(7)=0{,}77777\dots =0{,}7+0{,}07+0{,}007+\dots =7{\frac {1}{10}}+7\left({\frac {1}{10}}\right)^{2}+7\left({\frac {1}{10}}\right)^{3}+\dots ={\frac {\frac {7}{10}}{1-{\frac {1}{10}}}}={\frac {7}{9}}} 0 , ( 9 ) = 0,999 99 ⋯ = 0 , 9 + 0 , 09 + 0,009 + ⋯ = 9 1 10 + 9 ( 1 10 ) 2 + 9 ( 1 10 ) 3 + ⋯ = 9 10 1 − 1 10 = 9 9 = 1 {\displaystyle 0{,}(9)=0{,}99999\dots =0{,}9+0{,}09+0{,}009+\dots =9{\frac {1}{10}}+9\left({\frac {1}{10}}\right)^{2}+9\left({\frac {1}{10}}\right)^{3}+\dots ={\frac {\frac {9}{10}}{1-{\frac {1}{10}}}}={\frac {9}{9}}=1} 0 , ( 143 ) = 0,143 143 ⋯ = 0,143 + 0,000 143 + 0,000 000143 + ⋯ = 143 1 1000 + 143 ( 1 1000 ) 2 + 143 ( 1 1000 ) 3 + ⋯ = 143 1000 1 − 1 1000 = 143 999 {\displaystyle 0{,}(143)=0{,}143143\dots =0{,}143+0{,}000143+0{,}000000143+\dots =143{\frac {1}{1000}}+143\left({\frac {1}{1000}}\right)^{2}+143\left({\frac {1}{1000}}\right)^{3}+\dots ={\frac {\frac {143}{1000}}{1-{\frac {1}{1000}}}}={\frac {143}{999}}} 0 , 85 ( 3 ) = 0,853 33 ⋯ = 0 , 85 + 0,003 + 0,000 3 + ⋯ = 85 100 + 3 1000 + 3 1000 ⋅ 1 10 + 3 1000 ( 1 10 ) 2 + ⋯ = 17 20 + 3 1000 1 − 1 10 = 17 20 + 1 300 = 64 75 {\displaystyle 0{,}85(3)=0{,}85333\dots =0{,}85+0{,}003+0{,}0003+\dots ={\frac {85}{100}}+{\frac {3}{1000}}+{\frac {3}{1000}}\cdot {\frac {1}{10}}+{\frac {3}{1000}}\left({\frac {1}{10}}\right)^{2}+\dots ={\frac {17}{20}}+{\frac {\frac {3}{1000}}{1-{\frac {1}{10}}}}={\frac {17}{20}}+{\frac {1}{300}}={\frac {64}{75}}} Прыклады геаметрычных прагрэсій
правіць
Паслядоўнасць плошчаў квадратаў , дзе кожны наступны квадрат атрымліваецца злучэннем сярэдзін старон папярэдняга — бясконцая геаметрычная прагрэсія з назоўнікам 1/2. Плошчы трохвугольнікаў, якія атрыліваюцца на кожным кроку, таксама ўтвараюць бясконцую геаметрычную прагрэсію з назоўнікам 1/2, сума якой роўная плошчы пачатковага квадрата[3] .
2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, 2048, 4096, 8192 — трынаццаць паслядоўных элементаў геаметрычнай прагрэсіі з назоўнікам 2.
50; −25; 12,5; −6,25; 3,125; … — бясконцая спадаючая геаметрычная прагрэсія з назоўнікам -½.
π , π , π , π {\displaystyle \pi ,\pi ,\pi ,\pi } — геаметрычная прагрэсія з назоўнікам 1. Зноскі