Рад (матэматыка)

Простымі словамі, рад — гэта ўпарадкаваная сума ўсіх элементаў некаторай бесканечнай паслядоўнасці. Упарадкаванасць сумы тут азначае, што складнікі ў суме ідуць у тым жа парадку, што і ў паслядоўнасці.

Няхай $(a_{n})_{n=1}^{\infty }$ — лікавая паслядоўнасць. Фармальна злучыўшы ўсе яе паслядоўныя члены знакам плюс (+), атрымаем выраз выгляду:

$\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}=a_{1}+a_{2}+\dots +a_{n}+\dots ,$

які і называецца лікавым радам з членамі $c_{1},c_{2},\dots ,c_{n},\dots .$

Будзем казаць, што рад

$\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$

мае суму, калі існуе граніца паслядоўнасці $(s_{n})_{n=1}^{\infty }$ яго частковых сум

$s_{n}=a_{1}+a_{2}+\dots +a_{n}.$

Гэта граніца

$s=\lim _{n\to \infty }s_{n}$

і называецца сумай рада.

Калі сума рада ёсць лік, то такі рад называецца збежным, а ва ўсіх астатніх выпадках — разбежным.

Варта адзначыць, што ў гэтых азначэннях замест лікаў можна ўзяць элементы адвольнай прасторы, у якой вызначаны аперацыі сумы і гранічнага пераходу.

У матэматычным аналізе часцей за ўсё разглядаюцца:

• лікавыя рады, элементамі (складнікамі) ў якіх з'яўляюцца лікі (рэчаісныя і камплексныя);
• функцыянальныя рады, складнікамі ў якіх з'яўляюцца розныя функцыі;

Найважнейшае пытанне даследавання радоў — гэта іх збежнасць.

Адно з галоўных прымяненняў лікавых радоў — прыбліжэнне пэўных лікаў з адвольнай дакладнасцю. Так, напрыклад, прыбліжаныя значэнні такіх ірацыянальных лікаў, як e і π, можна вылічыць з дапамогай адмысловых лікавых радоў.

Азначэнне

Няхай $\{a_{i}\}_{i=1}^{\infty }$ — лікавая паслядоўнасць; разгледзім нароўні з дадзенай паслядоўнасцю паслядоўнасць

$\{s_{k}\}_{k=1}^{\infty },$

кожны элемент якой прадстаўляе сабой суму некаторых членаў зыходнай паслядоўнасці. У найбольш простым выпадку выкарыстоўваюцца звычайныя частковыя сумы выгляду

$s_{k}=\sum _{i=1}^{k}a_{i}.$

Наогул, для абазначэння рада выкарыстоўваецца знак

$\sum _{i=1}^{\infty }a_{i},$

бо тут паказана зыходная паслядоўнасць элементаў рада, а таксама правіла сумавання.

У адпаведнасці з гэтым кажуць аб збежнасці лікавага рада:

• лікавы рад сыходзіцца, калі сыходзіцца паслядоўнасць яго частковых сум;
• лікавы рад разыходзіцца, калі разыходзіцца паслядоўнасць яго частковых сум:
• лікавы рад сыходзіцца абсалютна, калі сыходзіцца рад з модуляў яго членаў.

Калі лікавы рад сыходзіцца, то граніца $S$ паслядоўнасці яго частковых сум носіць назву сумы рада:

$S=\sum _{i=1}^{\infty }a_{i}.$

Аперацыі над радамі

Няхай зададзены збежныя рады $\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}$ і $\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}$. Тады:

• іх сумай называецца рад $\sum (a_{n}+b_{n});$
• іх здабыткам па Кашы называецца рад $\sum c_{n}$, дзе $c_{n}=\sum _{k=0}^{n}a_{k}b_{n-k}.$

Калі абодва рады сыходзяцца, то іх сума сыходзіцца, калі абодва рады сыходзяцца абсалютна, то іх сума сыходзіцца абсалютна. Калі хоць адзін з радоў сыходзіцца абсалютна, то здабытак радоў сыходзіцца.

Крытэрый абсалютнай збежнасці

Лікавы (рэчаісны ці камплексны) рад $\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}$ называецца абсалютна збежным, калі сыходзіцца рад $\sum _{k=1}^{\infty }|a_{k}|$.

Рад $a_{k}$ сыходзіцца абсалютна тады і толькі тады, калі сыходзяцца абодва дадатныя рады $b_{k}$ і $c_{k}$, дзе $a_{k}=b_{k}-c_{k},\left|a_{k}\right|=b_{k}+c_{k},b_{k}\geqslant 0,c_{k}\geqslant 0,\forall k.$

Доказ.

Калі сыходзіцца $\sum \left|a_{k}\right|,$, то па прызнаку параўнання тым больш сыходзяцца $b_{k}$ і $\,c_{k}.$ Наадварот, калі сыходзяцца $b_{k}$ і $c_{k},$ то сыходзіцца і іх сума $\sum \left|a_{k}\right|.$

Гл. таксама

• Функцыянальны рад
• Ступенны рад
• Рад Фур'е

Літаратура

• Зверович Э. И. Вещественный и комплексный анализ. В 6 ч. Ч. 1. — Минск: Выш. шк., 2006.
• В. А. Зорич. Глава III. Предел. § 1. Предел последовательности // Математический анализ, часть I. — М.: Наука, 1981. — 544 с.
• Ю. С. Богданов — «Лекции по математическому анализу» — Часть 2 — Минск — Издательство БГУ им. В. И. Ленина — 1978.
• Математическая энциклопедия. Т. 4 / Гл. ред. И. М. Виноградов. — М.: Советская энциклопедия, 1984. — стлб. 1063 — 1070.

Спасылкі

• Weisstein, Eric W. Series(англ.)  на старонцы Wolfram MathWorld.
• Hazewinkel, Michiel, ed (2001). "Series". Encyclopedia of Mathematics. Springer. ISBN 978-1-55608-010-4.