Граніца функцыі

Грані́ца фу́нкцыі, або лімі́т фу́нкцыі — значэнне, да якога прыбліжаецца (імкнецца) значэнне функцыі, калі яе аргумент імкнецца да некаторага пункта (магчыма, бесканечна аддаленага). Гэта адно з першасных паняццяў матэматычнага аналізу, на якім грунтуюцца асноўныя паняцці матэматычнага аналізу: непарыўнасць, вытворная, дыферэнцыял.

Аперацыя знаходжання граніцы функцыі называецца грані́чным перахо́дам.

Калі функцыя f(x) мае граніцу A ў пункце a, гэта абазначаецца наступным чынам:

$\lim _{x\to a}f(x)=A.$

Азначэнне граніцы

(ε, δ)-азначэнне (паводле Кашы)

Калі пункт x знаходзіцца ў δ-наваколлі пункта c, значэнне f(x) знаходзіцца ў ε-наваколлі L

Лік A называецца граніцаю функцыі f(x) пры імкненні x да a, калі для любога ліку ε > 0 існуе такі лік δ > 0, што для ўсіх x, якія задавальняюць умову

$0<|x-a|<\delta ,$

справядлівая няроўнасць

$|f(x)-A|<\varepsilon .$

Або, кажучы словамі, функцыя мае граніцу A ў некаторым пункце, калі і толькі калі для любога ε > 0 можна знайсці такое наваколле гэтага пункта, у межах якога функцыя не адхіляецца ад A больш чым на ε > 0.

Азначэнне праз граніцу паслядоўнасці (паводле Гейнэ)

Функцыя f мае ў пункце a канечную граніцу A, калі і толькі калі для любой паслядоўнасці $\scriptstyle (x_{n})_{n=1}^{\infty }$, якая збягаецца да пункта a:

$\lim \limits _{n\to \infty }x_{n}=a,$

адпаведная паслядоўнасць $\scriptstyle \left(f(x_{n})\right)_{n=1}^{\infty }$ значэнняў функцыі збягаецца да A:

$\lim \limits _{n\to \infty }f(x_{n})=A.$

Крытэрыі і прыкметы існавання канечнай граніцы

Крытэрый Кашы існавання канечнай граніцы

Функцыя f(x) мае ў пункце a канечную граніцу, калі і толькі калі для адвольнага ε > 0 існуе такое δ > 0, што для любых x₁ і x₂, узятых з δ-наваколля пункта a, спраўджваецца няроўнасць

$|f(x_{1})-f(x_{2})|<\varepsilon .$

Заўвага: Крытэрый Кашы адрозніваецца ад азначэння паводле Кашы тым, што ў крытэрыі ніяк не ўдзельнічае значэнне граніцы. Крытэрый толькі сцвярджае існаванне граніцы, але нічога не кажа пра само гранічнае значэнне.

Уласцівасці

Калі існуюць канечныя граніцы $\scriptstyle \lim _{x\to a}f(x)$ і $\scriptstyle \lim _{x\to a}g(x)$, тады справядлівыя сцвярджэнні:

1) Гранічны пераход з'яўляецца лінейнай аперацыяй. Гэта значыць для адвольных лікаў λ і μ існуе граніца лінейнай камбінацыі

$\lim \limits _{x\to a}(\lambda f(x)+\mu g(x))=\lambda \lim \limits _{x\to a}f(x)+\mu \lim \limits _{x\to a}g(x).$

Заўвага: з гэтай уласцівасці непасрэдна вынікаюць наступныя роўнасці:

${\begin{matrix}\lim \limits _{x\to a}&(f(x)+g(x))&=&\lim \limits _{x\to a}f(x)+\lim \limits _{x\to a}g(x),\\\lim \limits _{x\to a}&(f(x)-g(x))&=&\lim \limits _{x\to a}f(x)-\lim \limits _{x\to a}g(x).\end{matrix}}$

2) Існуе граніца здабытку гэтых функцый, прычым:

$\lim \limits _{x\to a}(f(x)\cdot g(x))=\lim \limits _{x\to a}f(x)\cdot \lim \limits _{x\to a}g(x).$

3) Калі $\scriptstyle \lim _{x\to a}g(x)\neq 0$, то існуе граніца дзелі, прычым:

$\lim \limits _{x\to a}{\frac {f(x)}{g(x)}}={\frac {\lim \limits _{x\to a}f(x)}{\lim \limits _{x\to a}g(x)}}.$

4) Калі f(x) > 0 і $\scriptstyle \lim _{x\to a}f(x)\neq 0$, то існуе граніца ступені, прычым:

$\lim \limits _{x\to a}\left(f(x)^{g(x)}\right)=\left(\lim \limits _{x\to a}f(x)\right)^{\lim \limits _{x\to a}g(x)}.$

Гл. таксама

• Аднабаковая граніца функцыі
• Граніца ў матэматыцы
• Граніца паслядоўнасці