Адкрыць галоўнае меню

Грані́ца фу́нкцыі, або лімі́т фу́нкцыі[1] — значэнне, да якога прыбліжаецца (імкнецца) значэнне функцыі, калі яе аргумент імкнецца да некаторага пункта (магчыма, бесканечна аддаленага). Гэта адно з першасных паняццяў матэматычнага аналізу, на якім грунтуюцца асноўныя паняцці матэматычнага аналізу: непарыўнасць, вытворная, дыферэнцыял.

Аперацыя знаходжання граніцы функцыі называецца грані́чным перахо́дам.

Калі функцыя f(x) мае граніцу A ў пункце a, гэта абазначаецца наступным чынам:

Змест

Азначэнне граніцыПравіць

(ε, δ)-азначэнне (паводле Кашы)Правіць

 
Калі пункт x знаходзіцца ў δ-наваколлі пункта c, значэнне f(x) знаходзіцца ў ε-наваколлі L

Лік A называецца граніцаю функцыі f(x) пры імкненні x да a, калі для любога ліку ε > 0 існуе такі лік δ > 0, што для ўсіх x, якія задавальняюць умову

 

справядлівая няроўнасць

 

Або, кажучы словамі, функцыя мае граніцу A ў некаторым пункце, калі і толькі калі для любога ε > 0 можна знайсці такое наваколле гэтага пункта, у межах якога функцыя не адхіляецца ад A больш чым на ε > 0.

Азначэнне праз граніцу паслядоўнасці (паводле Гейнэ)Правіць

Функцыя f мае ў пункце a канечную граніцу A, калі і толькі калі для любой паслядоўнасці  , якая збягаецца да пункта a:

 

адпаведная паслядоўнасць   значэнняў функцыі збягаецца да A:

 

Крытэрыі і прыкметы існавання канечнай граніцыПравіць

Крытэрый Кашы існавання канечнай граніцыПравіць

Функцыя f(x) мае ў пункце a канечную граніцу, калі і толькі калі для адвольнага ε > 0 існуе такое δ > 0, што для любых x1 і x2, узятых з δ-наваколля пункта a, спраўджваецца няроўнасць

 

Заўвага: Крытэрый Кашы адрозніваецца ад азначэння паводле Кашы тым, што ў крытэрыі ніяк не ўдзельнічае значэнне граніцы. Крытэрый толькі сцвярджае існаванне граніцы, але нічога не кажа пра само гранічнае значэнне.

УласцівасціПравіць

Калі існуюць канечныя граніцы   і  , тады справядлівыя сцвярджэнні:

1) Гранічны пераход з'яўляецца лінейнай аперацыяй. Гэта значыць для адвольных лікаў λ і μ існуе граніца лінейнай камбінацыі

 

Заўвага: з гэтай уласцівасці непасрэдна вынікаюць наступныя роўнасці:

 

2) Існуе граніца здабытку гэтых функцый, прычым:

 

3) Калі  , то існуе граніца дзелі, прычым:

 

4) Калі f(x) > 0 і  , то існуе граніца ступені, прычым:

 

Гл. таксамаПравіць

ЗноскіПравіць

  1. Матэматычная энцыклапедыя / Гал. рэд. В. Бернік. — Мінск: Тэхналогія, 2001.