Граніца функцыі
Грані́ца фу́нкцыі, або лімі́т фу́нкцыі[1] — значэнне, да якога прыбліжаецца (імкнецца) значэнне функцыі, калі яе аргумент імкнецца да некаторага пункта (магчыма, бесканечна аддаленага). Гэта адно з першасных паняццяў матэматычнага аналізу, на якім грунтуюцца асноўныя паняцці матэматычнага аналізу: непарыўнасць, вытворная, дыферэнцыял.
Аперацыя знаходжання граніцы функцыі называецца грані́чным перахо́дам.
Калі функцыя f(x) мае граніцу A ў пункце a, гэта абазначаецца наступным чынам:
Азначэнне граніцыПравіць
(ε, δ)-азначэнне (паводле Кашы)Правіць
Лік A называецца граніцаю функцыі f(x) пры імкненні x да a, калі для любога ліку ε > 0 існуе такі лік δ > 0, што для ўсіх x, якія задавальняюць умову
справядлівая няроўнасць
Або, кажучы словамі, функцыя мае граніцу A ў некаторым пункце, калі і толькі калі для любога ε > 0 можна знайсці такое наваколле гэтага пункта, у межах якога функцыя не адхіляецца ад A больш чым на ε > 0.
Азначэнне праз граніцу паслядоўнасці (паводле Гейнэ)Правіць
Функцыя f мае ў пункце a канечную граніцу A, калі і толькі калі для любой паслядоўнасці , якая збягаецца да пункта a:
адпаведная паслядоўнасць значэнняў функцыі збягаецца да A:
Крытэрыі і прыкметы існавання канечнай граніцыПравіць
Крытэрый Кашы існавання канечнай граніцыПравіць
Функцыя f(x) мае ў пункце a канечную граніцу, калі і толькі калі для адвольнага ε > 0 існуе такое δ > 0, што для любых x1 і x2, узятых з δ-наваколля пункта a, спраўджваецца няроўнасць
Заўвага: Крытэрый Кашы адрозніваецца ад азначэння паводле Кашы тым, што ў крытэрыі ніяк не ўдзельнічае значэнне граніцы. Крытэрый толькі сцвярджае існаванне граніцы, але нічога не кажа пра само гранічнае значэнне.
УласцівасціПравіць
Калі існуюць канечныя граніцы і , тады справядлівыя сцвярджэнні:
1) Гранічны пераход з'яўляецца лінейнай аперацыяй. Гэта значыць для адвольных лікаў λ і μ існуе граніца лінейнай камбінацыі
Заўвага: з гэтай уласцівасці непасрэдна вынікаюць наступныя роўнасці:
2) Існуе граніца здабытку гэтых функцый, прычым:
3) Калі , то існуе граніца дзелі, прычым:
4) Калі f(x) > 0 і , то існуе граніца ступені, прычым:
Гл. таксамаПравіць
ЗноскіПравіць
- ↑ Матэматычная энцыклапедыя / Гал. рэд. В. Бернік. — Мінск: Тэхналогія, 2001.