Задача Кашы

Зада́ча Кашы́ — адна з асноўных задач тэорыі дыферэнцыяльных ураўненняў (звычайных і з частковымі вытворнымі); заключаецца ў знаходжанні рашэння (інтэграла) дыферэнцыяльнага ўраўнення, якое задавальняе так званым пачатковым умовам (пачатковым дадзеных).

Задача Кашы звычайна ўзнікае пры аналізе працэсаў, якія вызначаюцца дыферэнцыяльным законам эвалюцыі і пачатковым станам (матэматычным выразам якіх і з’яўляюцца ўраўненне і пачатковая ўмова). Гэтым матывуецца тэрміналогія і выбар абазначэнняў: пачатковыя дадзеныя задаюцца пры $t=0$, а рашэнне адшукваецца пры $t>0$.

Ад краявых задач задача Кашы адрозніваецца тым, што вобласць, у якой павінна быць вызначана шуканае рашэнне, тут не ўказваецца. Тым не менш, задачу Кашы можна разглядаць як адну з краявых задач.

Асноўныя пытанні, якія звязаны з задачай Кашы, такія:

1. Ці існуе (хоць бы лакальна) рашэнне задачы Кашы?
2. Калі рашэнне існуе, то якая вобласць яго існавання?
3. Ці з’яўляецца рашэнне адзіным?
4. Калі рашэнне адзінае, то ці будзе яно карэктным, гэта значыць неперарыўным (у якім-небудзь сэнсе) адносна пачатковых дадзеных?

Кажуць, што задача Кашы мае адзінае рашэнне, калі яна мае рашэнне $y=f(x)$, і ніякае іншае рашэнне не адпавядае інтэгральнай крывой, якая ў адвольна малым выкалатым наваколлі кропкі $(x_{0},y_{0})$ мае поле напрамкаў, якое супадае з полем напрамкаў $y=f(x)$. Кропка $(x_{0},y_{0})$ задае пачатковыя ўмовы.

Розныя пастаноўкі задачы Кашы

• ЗДУ першага парадку, вырашанае адносна вытворнай

$\left\{{\begin{array}{lcl}y'&=&f(x,y)\\y(x_{0})&=&y_{0}\end{array}}\right.$

• Сістэма $n$ ЗДУ першага парадку, вырашаная адносна вытворных (нармальная сістэма $n$-га парадку)

$\left\{{\begin{array}{lcl}y'_{1}&=&f_{1}(x,y_{1},\ldots ,y_{n})\\&\ldots &\\y'_{n}&=&f_{n}(x,y_{1},\ldots ,y_{n})\\y_{1}(x_{0})&=&y_{01}\\&\ldots &\\y_{n}(x_{0})&=&y_{0n}\end{array}}\right\}\iff \left\{{\begin{array}{lcl}\mathbf {y} '&=&\mathbf {f} (x,\mathbf {y} )\\\mathbf {y} (x_{0})&=&\mathbf {y_{0}} \end{array}}\right.$

• ЗДУ $n$-га парадку, вырашанае адносна старэйшай вытворнай

$\left\{{\begin{array}{lcl}y^{(n)}&=&f(x,y,\ldots ,y^{(n-1)})\\y(x_{0})&=&y_{01}\\&\ldots &\\y^{(n-1)}(x_{0})&=&y_{0n}\end{array}}\right\}\iff \left\{{\begin{array}{lcl}y'_{1}&=&y_{2}\quad (=y')\\&\ldots &\\y'_{n-1}&=&y_{n}\quad (=y^{(n-1)})\\y'_{n}&=&f(x,y_{1},\ldots ,y_{n})\\y_{1}(x_{0})&=&y_{01}\quad (=y(x_{0}))\\&\ldots &\\y_{n}(x_{0})&=&y_{0n}\quad (=y^{(n-1)}(x_{0}))\end{array}}\right.$

Літаратура

• Беларуская энцыклапедыя: У 18 т. Т. 8: Канто — Кулі / Рэдкал.: Г. П. Пашкоў і інш. — Мн. : БелЭн, 1999. — Т. 8. — С. 202. — 10 000 экз. — ISBN 985-11-0035-8. — ISBN 985-11-0144-3 (т. 8).