Кальцо (алгебра)

(Пасля перасылкі з Колца, алгебра)

Кальцо́, ці ко́лца[1] — мноства R з дзвюма аперацыямі, якія ўмоўна называюцца «складаннем» (" ") і «множаннем» (" "), прычым адносна складання R ёсць абелева група, а «множанне» ўзгоднена са «складаннем» паводле размеркавальнага закона.

Прыкладам кальца з'яўляецца мноства цэлых лікаў разам са звычайнымі складаннем і множаннем.

Адмысловым выпадкам кальца з'яўляецца поле, якое адметна найперш тым, што для любога ненулявога элемента існуе адваротны (адносна множання), у выніку чаго становіцца магчымым вызначыць аперацыю дзялення. А вось у кальцы, у агульным выпадку, гэта не так.

Строгае азначэннеПравіць

Азначэнне кальцаПравіць

Кальцо́м называецца мноства R з аперацыямі складання ("   ") і множання ("   "), якія задавальняюць наступныя ўмовы:

  1.   ёсць абелеваю групайнейтральным элементам 0)
  2. Складанне і множанне падпарадкоўваюцца размеркавальнаму закону: для любых   справядліва:
      (левы размеркавальны закон)
      (правы размеркавальны закон)

Заўвага 1: у азначэнні кальца на аперацыю «множання» накладваецца толькі адна ўмова — размеркавальны закон (правы і левы). І таму, ўвогуле кажучы, у кальцы можа не існаваць адзінкі (адносна «множання»), «множанне» можа быць неперамяшчальным (некамутатыўным), могуць існаваць дзельнікі нуля і г.д.

Заўвага 2: наяўнасць двух размеркавальных законаў неабходна, таму што «множанне» можа быць неперамяшчальным (г.зн. значэнне «здабытку» залежыць ад парадку множнікаў).

Аксіёмы кальцаПравіць

Мноства R з аперацыямі складання ("   ") і множання ("   ") з'яўляецца кальцом, калі і толькі калі яно разам з аперацыямі задавальняе сістэму аксіём, якія называюцца аксіёмамі кальца:

  1. Уласцівасці складання:
    1.   (спалучальны закон)
    2.   (перамяшчальны закон)
    3. Існуе элемент   такі, што   (нейтральны элемент)
    4. Для кожнага   існуе адваротны адносна складання элемент  , такі што   (процілеглы элемент)
  2. Узгодненасць (або дапасаванасць) складання і множання:
      (левы размеркавальны закон)
      (правы размеркавальны закон)

Заўвага: дзеля зручнасці, у фармулёўках аксіём прапушчаны словы ўзору "для любых   ".

КрыніцыПравіць

  • Винберг Э.Б. Курс алгебры. — Москва: Факториал Пресс, 2002.

Зноскі

  1. Матэматычная энцыклапедыя / Гал. рэд. В.Бернік. — Мінск: Тэхналогія, 2001.