Матрыцы Паўлі — гэта набор з трох эрмітавых 2×2 матрыц, які складаюць базіс ў прасторы ўсіх эрмітавых 2×2 матрыц з нулявым следам. Былі прапанаваны Вольфгангам Паўлі для апісання спіна электрона ў квантавай механіцы. Матрыцы маюць выгляд

Замест часам выкарыстоўваюць пазначэнне

Часта таксама ўжываюць матрыцу

якая супадае з адзінкавай матрыцай.

Матрыцы Паўлі разам з матрыцай ўтвараюць базіс ў прасторы ўсіх эрмітавых матрыц 2×2 (а не толькі матрыц з нулявым следам).

Уласцівасці правіць

Асноўныя суадносіны правіць

  • Эрмітавасць:  
  • Роўнасць нулю следу:  
  •   дзе   — адзінкавая матрыца размернасці 2×2.
  • Вызначнік матрыц Паўлі роўны −1.
  • алгебра, народжаная элементамі  , ізаморфныя алгебры кватерніёнаў  .

Правілы множання матрыц Паўлі

 
 
 
  для  

Гэтыя правілы множання можна перапісаць у кампактнай форме

 ,

дзе   — сімвал Кронекера, а εijk — сімвал Леві-Чывіты.

З гэтых правілаў множання вынікаюць камутацыйныя суадносіны

 

Квадратныя дужкі азначаюць камутатар, фігурныя — антыкамутатар.

Сувязь з алгебрай Лі правіць

Камутацыйныя суадносіны матрыц   супадаюць з камутацыйнымі суадносінамі генератараў алгебры Лі su(2). І сапраўды, уся гэтая алгебра, якая складаецца з антыэрмітавых матрыц 2×2, можа быць пабудавана з адвольных лінейных камбінацый матрыц   Група SU(2) з алгебрай su(2) лакальна ізаморфныя групе SO(3) кручэнняў трохмернай прасторы; у прыватнасці гэтым тлумачыцца важнасць матрыц Паўлі для фізікі.

Зноскі

Літаратура правіць

  • Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. Квантовая механика (нерелятивистская теория). — Издание 4-е. — М.: Наука, 1989. — 768 с. — («Теоретическая физика», том III). — ISBN 5-02-014421-5.