Матрыцы Паўлі — гэта набор з трох эрмітавых 2×2 матрыц , які складаюць базіс ў прасторы ўсіх эрмітавых 2×2 матрыц з нулявым следам . Былі прапанаваны Вольфгангам Паўлі для апісання спіна электрона ў квантавай механіцы . Матрыцы маюць выгляд
σ
1
=
(
0
1
1
0
)
,
{\displaystyle \sigma _{1}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}},}
σ
2
=
(
0
−
i
i
0
)
,
{\displaystyle \sigma _{2}={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}},}
σ
3
=
(
1
0
0
−
1
)
.
{\displaystyle \sigma _{3}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}.}
Замест
σ
1
,
σ
2
,
σ
3
{\displaystyle \sigma _{1},\sigma _{2},\sigma _{3}}
σ
x
,
σ
y
,
σ
z
.
{\displaystyle \sigma _{x},\sigma _{y},\sigma _{z}.}
Часта таксама ўжываюць матрыцу
σ
0
=
(
1
0
0
1
)
,
{\displaystyle \sigma _{0}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}},}
якая супадае з адзінкавай матрыцай .
Матрыцы Паўлі разам з матрыцай
σ
0
{\displaystyle \sigma _{0}}
Эрмітавасць :
σ
i
†
=
σ
i
;
{\displaystyle \sigma _{i}^{\dagger }=\sigma _{i};}
Роўнасць нулю следу :
Tr
(
σ
i
)
=
0
,
i
=
1
,
2
,
3
{\displaystyle \operatorname {Tr} (\sigma _{i})=0,\quad \ i=1,2,3}
σ
1
2
=
σ
2
2
=
σ
3
2
=
σ
0
=
I
,
{\displaystyle \sigma _{1}^{2}=\sigma _{2}^{2}=\sigma _{3}^{2}=\sigma _{0}=I,}
I
=
σ
0
{\displaystyle I=\sigma _{0}}
адзінкавая матрыца размернасці 2×2.Вызначнік матрыц Паўлі роўны −1.алгебра , народжаная элементамі
σ
0
,
−
i
σ
x
,
−
i
σ
y
,
−
i
σ
z
{\displaystyle \sigma _{0},-i\sigma _{x},-i\sigma _{y},-i\sigma _{z}}
ізаморфныя алгебры кватерніёнаў
⟨
1
,
i
,
j
,
k
⟩
{\displaystyle \langle 1,i,j,k\rangle }
Правілы множання матрыц Паўлі
σ
1
σ
2
=
i
σ
3
,
{\displaystyle \sigma _{1}\sigma _{2}=i\sigma _{3},\,\!}
σ
3
σ
1
=
i
σ
2
,
{\displaystyle \sigma _{3}\sigma _{1}=i\sigma _{2},\,\!}
σ
2
σ
3
=
i
σ
1
,
{\displaystyle \sigma _{2}\sigma _{3}=i\sigma _{1},\,\!}
σ
i
σ
j
=
−
σ
j
σ
i
{\displaystyle \sigma _{i}\sigma _{j}=-\sigma _{j}\sigma _{i}\!}
i
≠
j
.
{\displaystyle i\neq j.\,\!}
Гэтыя правілы множання можна перапісаць у кампактнай форме
σ
i
σ
j
=
i
ε
i
j
k
σ
k
+
δ
i
j
⋅
σ
0
,
i
,
j
,
k
=
1
,
2
,
3
{\displaystyle \sigma _{i}\sigma _{j}=i\varepsilon _{ijk}\sigma _{k}+\delta _{ij}\cdot \sigma _{0},\quad i,j,k=1,2,3}
дзе
δ
i
j
{\displaystyle \delta _{ij}}
сімвал Кронекера , а εijk — сімвал Леві-Чывіты .
З гэтых правілаў множання вынікаюць камутацыйныя суадносіны
[
σ
i
,
σ
j
]
=
2
i
ε
i
j
k
σ
k
,
{
σ
i
,
σ
j
}
=
2
δ
i
j
⋅
σ
0
.
{\displaystyle {\begin{matrix}[\sigma _{i},\sigma _{j}]&=&2i\,\varepsilon _{ijk}\,\sigma _{k},\\\{\sigma _{i},\sigma _{j}\}&=&2\delta _{ij}\cdot \sigma _{0}.\end{matrix}}}
Квадратныя дужкі азначаюць камутатар , фігурныя — антыкамутатар .
Камутацыйныя суадносіны матрыц
i
σ
k
{\displaystyle i\sigma _{k}\!}
генератараў алгебры Лі su(2). І сапраўды, уся гэтая алгебра, якая складаецца з антыэрмітавых матрыц 2×2, можа быць пабудавана з адвольных лінейных камбінацый матрыц
i
σ
k
.
{\displaystyle i\sigma _{k}\;.}
SU(2) з алгебрай su(2) лакальна ізаморфныя групе SO(3) кручэнняў трохмернай прасторы; у прыватнасці гэтым тлумачыцца важнасць матрыц Паўлі для фізікі.
Ландау, Л. Д. , Лифшиц, Е. М.М .: Наука, 1989. — 768 с. — («Теоретическая физика», том III). — ISBN 5-02-014421-5 .
![{\displaystyle {\begin{matrix}[\sigma _{i},\sigma _{j}]&=&2i\,\varepsilon _{ijk}\,\sigma _{k},\\\{\sigma _{i},\sigma _{j}\}&=&2\delta _{ij}\cdot \sigma _{0}.\end{matrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e92b97f10a6c37ba6f88e8886e09a9831de2f15)
