Мера Жардана
Ме́ра Жарда́на (або Ме́ра Пеа́на-Жарда́на) — адзін са спосабаў фармалізацыі паняцця памеру (даўжыні, плошчы і n-мернага аб’ёму) у n-мернай еўклідавай прасторы.
Пабудова
правіцьМера Жардана паралелепіпеда у вызначаецца як здабытак
Для абмежаванага мноства вызначаюцца:
- вонкавая (знешняя) мера Жардана
- унутраная мера Жардана
- калі
дзе — паралелепіпеды апісанага вышэй выгляду.
Мноства называецца вымерным па Жардану (квадравальным пры n = 2, кубавальным пры n ≥ 3), калі У гэтым выпадку мера Жардана роўная
Уласцівасці
правіць- Мера Жардана застаецца нязменнаю адносна рухаў еўклідавай прасторы.
- Абмежаванае мноства вымернае па Жардану тады і толькі тады, калі яго мяжа мае нулявую меру Жардана .
- У прыватнасці, усе мноствы, чыя мяжа складаецца з канечнага ліку гладкіх крывых і пунктаў, вымерныя па Жардану. Тым не менш, існуюць мноствы, абмежаваныя простай замкнутай крывой Жардана, не вымерныя па Жардану.
- Вонкавая мера Жардана адна і тая ж для і (замыкання мноства ) і раўняецца меры Барэля .
- Вымерныя па Жардану мноствы ўтвараюць колца, на яком мера Жардана канечная адытыўная функцыя.
Гісторыя
правіцьТакое паняцце меры ўвялі Пеана (1887) і Жардан (1892). Пазней паняцце было абагульнена Лебегам на шырэйшы клас мностваў.
Прыклад мноства, невымернага па Жардану
правіцьРазглядзім меру Жардана вызначаную на і няхай — мноства пунктаў адзінкавага квадрата. Няхай — мноства ўсіх пунктаў мноства з рацыянальнымі каардынатамі, тады — невымернае па Жардану мноства, бо
г. зн. вонкавая і ўнутраная мера Жардана не супадаюць.
Гл. таксама
правіцьЛітаратура
правіць- Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. — изд. четвёртое, переработанное. — М.: Наука, 1976. — 544 с.
- Кудрявцев Л. Д., Кутасов А. Д. Сборник задач по математическому анализу, глава 2;
- Peano, G. Applicazioni geometriche del calcolo infinitesimale. — Torino, 1887;
- Jordan, C. Journal de Mathématiques Pures et Appliquées. — 1892. — t. 8. — p. 69—99;