Ме́ра Жарда́на (або Ме́ра Пеа́на-Жарда́на) — адзін са спосабаў фармалізацыі паняцця памеру (даўжыні, плошчы і n-мернага аб’ёму) у n-мернай еўклідавай прасторы.

Пабудова

правіць
 
Мноства вымернае па Жардану, калі ўнутраная мера Жардана раўняецца вонкавай меры Жардана.

Мера Жардана   паралелепіпеда   у   вызначаецца як здабытак

 

Для абмежаванага мноства   вызначаюцца:

  • вонкавая (знешняя) мера Жардана
     
  • унутраная мера Жардана
      калі  

дзе   — паралелепіпеды апісанага вышэй выгляду.

Мноства   называецца вымерным па Жардану (квадравальным пры n = 2, кубавальным пры n ≥ 3), калі   У гэтым выпадку мера Жардана роўная  

Уласцівасці

правіць
  • Мера Жардана застаецца нязменнаю адносна рухаў еўклідавай прасторы.
  • Абмежаванае мноства   вымернае па Жардану тады і толькі тады, калі яго мяжа мае нулявую меру Жардана .
    • У прыватнасці, усе мноствы, чыя мяжа складаецца з канечнага ліку гладкіх крывых і пунктаў, вымерныя па Жардану. Тым не менш, існуюць мноствы, абмежаваныя простай замкнутай крывой Жардана, не вымерныя па Жардану.
  • Вонкавая мера Жардана адна і тая ж для   і   (замыкання мноства  ) і раўняецца меры Барэля  .
  • Вымерныя па Жардану мноствы ўтвараюць колца, на яком мера Жардана канечная адытыўная функцыя.

Гісторыя

правіць

Такое паняцце меры ўвялі Пеана (1887) і Жардан (1892). Пазней паняцце было абагульнена Лебегам на шырэйшы клас мностваў.

Прыклад мноства, невымернага па Жардану

правіць

Разглядзім меру Жардана   вызначаную на   і няхай   — мноства пунктаў адзінкавага квадрата. Няхай   — мноства ўсіх пунктаў мноства   з рацыянальнымі каардынатамі, тады   — невымернае па Жардану мноства, бо

 

г. зн. вонкавая і ўнутраная мера Жардана не супадаюць.

Гл. таксама

правіць

Літаратура

правіць
  • Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. — изд. четвёртое, переработанное. — М.: Наука, 1976. — 544 с.
  • Кудрявцев Л. Д., Кутасов А. Д. Сборник задач по математическому анализу, глава 2;
  • Peano, G. Applicazioni geometriche del calcolo infinitesimale. — Torino, 1887;
  • Jordan, C. Journal de Mathématiques Pures et Appliquées. — 1892. — t. 8. — p. 69—99;