Незалежнасць (тэорыя імавернасцей)

Незалежнасць  — фундаментальнае паняцце тэорыі імавернасцей і статыстыкі. Дзве падзеі завуцца незалежнымі, калі здзяйсненне адной падзеі ніяк не ўплывае на імавернасць здзяйснення іншай.

Азначэнне

правіць

Для дзвюх падзей

правіць

Дзве падзеі   і   завуцца незалежнымі, калі справядліва роўнасць[1]:41

 

Калі гэтая роўнасць не выконваецца, то адпаведныя падзеі будзем называць залежнымі.

З такога азначэння вынікае роўнасць умоўнай імавернасці   і імавернасці  , калі ўмоўная імавернасць існуе ( )[1]:42. Інтуітыўна гэта тлумачыць, чаму выкананне вышэйпрыведзенай роўнасці азначае незалежнасць:

 

Для канечнай колькасці падзей

правіць

Падзеі   называюцца незалежнымі, калі для любога падмноства падзей  , дзе  ,  , праўдзіцца роўнасць

 

У процілеглым выпадку падзеі   называюцца залежнымі[1]:43-44.

У выпадку незалежнасці падзей  , для кожных двух дыз’юнктных падмностваў[en]   і   выконваецца роўнасць умоўнай імавернасці і звычайнай, як і ў выпадку дзвюх падзей:

 

Незалежнасць у сукупнасці і парамі

правіць

Незалежнасць канечнай колькасці падзей завецца яшчэ незалежнасцю ў сукупнасці. Як вынікае з азначэння, кожнае падмноства мноства незалежных падзей — у сваю чаргу мноства незалежных падзей. У прыватнасці ўсе пары такіх падзей незалежныя. Такім чынам, з незалежнасці ў сукупнасці вынікае незалежнасць парамі. Аднак адваротнае сцверджанне не мае месца, бо існуюць выпадкі, калі незалежныя парамі падзеі залежныя ў сукупнасці[1]:44.

Прыклад

правіць
 
Падзеі незалежныя парамі, але залежныя ў сукупнасці
 
Падзеі незалежныя ў сукупнасці

Разгледзім дзве імавернасныя прасторы. У абодвух выпадках,   and  . Падзеі з першай прасторы незалежныя парамі, бо  ,   і  ; але гэтыя ж тры падзеі залежныя ў сукупнасці. Падзеі ў другой прасторы незалежныя як парамі, так і ў сукупнасці. Каб праілюстраваць розніцу, знойдзем умоўныя імавернасці калі выконваюцца дзве падзеі. У першым выпадку, хоць кожная падзея і незалежная ад кожнай іншай асобна, яна не незалежная ад іх здабытку:

 
 
 

У другім выпадку захоўваецца незалежнасць у сукупнасці:

 
 
 

Зноскі

  1. а б в г Звяровіч Э. І., Радына А. Я. Элементы тэорыі імавернасцей. — Мінск: Беларусь, 2013. — ISBN 978-985-01-1043-5.