Адпаведнасць аксіёмам Калмагорава
правіць
Няхай
(
Ω
,
A
,
P
)
{\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},P)}
— імавернасная прастора , а
B
∈
A
{\displaystyle B\in {\mathcal {A}}}
— падзея з дадатнай імавернасцю. Умоўная імавернасць
P
(
A
|
B
)
{\displaystyle P(A|B)}
вызначае новую імавернасную прастору
(
B
,
A
B
,
P
B
)
{\displaystyle (B,{\mathcal {A}}_{B},P_{B})}
, дзе σ-алгебра
A
B
:=
{
C
|
∃
A
∈
A
:
C
=
A
B
}
.
{\displaystyle {\mathcal {A}}_{B}:=\{C|\exists A\in {\mathcal {A}}:C=AB\}.}
Такая імавернасная прастора адпавядае аксіёмам тэорыі імавернасцей [ 1] :33-34 .
Пакажам што выконваюцца аксіёмы неадмоўнасці і нармаванасці:
P
(
C
|
B
)
=
P
(
A
B
|
B
)
=
P
(
A
B
B
)
P
(
B
)
=
P
(
A
B
)
P
(
B
)
≥
0
;
{\displaystyle P(C|B)=P(AB|B)={\frac {P(ABB)}{P(B)}}={\frac {P(AB)}{P(B)}}\geq 0;}
P
B
(
B
)
=
P
(
B
B
)
P
(
B
)
=
1.
{\displaystyle P_{B}(B)={\frac {P(BB)}{P(B)}}=1.}
Дакажам выкананне аксіёмы адытыўнасці. Няхай
C
1
,
C
2
∈
A
B
{\displaystyle C_{1},C_{2}\in {\mathcal {A}}_{B}}
і
C
1
C
2
=
∅
{\displaystyle C_{1}C_{2}=\varnothing }
. Існуюць
A
1
,
A
2
{\displaystyle A_{1},A_{2}}
такія, што
C
1
=
A
1
B
,
C
2
=
A
2
B
{\displaystyle C_{1}=A_{1}B,C_{2}=A_{2}B}
. Маем
P
(
C
1
+
C
2
|
B
)
=
P
(
(
C
1
+
C
2
)
B
)
P
(
B
)
=
P
(
A
1
B
B
+
A
2
B
B
)
P
(
B
)
=
{\displaystyle P(C_{1}+C_{2}|B)={\frac {P((C_{1}+C_{2})B)}{P(B)}}={\frac {P(A_{1}BB+A_{2}BB)}{P(B)}}=}
=
P
(
A
1
B
+
A
2
B
)
P
(
B
)
=
P
(
C
1
|
B
)
+
P
(
C
2
|
B
)
.
{\displaystyle ={\frac {P(A_{1}B+A_{2}B)}{P(B)}}=P(C_{1}|B)+P(C_{2}|B).}
Возьмем паслядоўнасць
C
1
⊃
C
2
⊃
…
{\displaystyle C_{1}\supset C_{2}\supset \dots }
, для якой
⋂
n
=
1
∞
C
n
=
∅
{\displaystyle \bigcap _{n=1}^{\infty }C_{n}=\varnothing }
, дзе ўсе
C
n
∈
A
B
{\displaystyle C_{n}\in {\mathcal {A}}_{B}}
, г.зн. існуюць
A
n
∈
A
{\displaystyle A_{n}\in {\mathcal {A}}}
, такія, што
C
n
=
A
n
B
{\displaystyle C_{n}=A_{n}B}
. Адсюль маем
lim
n
→
∞
P
(
C
n
|
B
)
=
lim
n
→
∞
P
(
A
n
B
)
P
(
B
)
=
1
P
(
B
)
lim
n
→
∞
P
(
A
n
B
)
=
0.
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }P(C_{n}|B)=\lim _{n\to \infty }{\frac {P(A_{n}B)}{P(B)}}={\frac {1}{P(B)}}\lim _{n\to \infty }P(A_{n}B)=0.}
Асноўныя палажэнні з умоўнай імавернасцю
правіць
Умоўная імавернасць выкарыстоўваецца ў шэрагу важных для тэорыі імавернасцей палажэнняў.
Тэарэма множання імавернасцей
правіць
Дамнажаючы абодва бакі ў азначэнні ўмоўнай імавернасці атрымліваем формулу для здабытку падзей
P
(
A
B
)
=
P
(
A
|
B
)
P
(
B
)
.
{\displaystyle P(AB)=P(A|B)P(B).}
Гэтую роўнасць называюць тэарэмай множання імавернасцей[ 1] :34-36 . Існуе таксама яе версія для канечнага мноства падзей
A
1
,
A
2
,
…
,
A
n
{\displaystyle A_{1},A_{2},\dots ,A_{n}}
, для якіх выконваецца няроўнасць
P
(
A
1
A
2
…
A
n
−
1
)
>
0
{\displaystyle P(A_{1}A_{2}\dots A_{n-1})>0}
:
P
(
A
1
A
2
…
A
n
)
=
P
(
A
1
)
P
(
A
2
|
A
1
)
P
(
A
3
|
A
1
A
2
)
P
(
A
n
|
A
1
A
2
…
A
n
−
1
)
.
{\displaystyle P(A_{1}A_{2}\dots A_{n})=P(A_{1})P(A_{2}|A_{1})P(A_{3}|A_{1}A_{2})P(A_{n}|A_{1}A_{2}\dots A_{n-1}).}
Калі
{
A
1
,
A
2
,
…
,
A
n
}
{\displaystyle \{A_{1},A_{2},\dots ,A_{n}\}}
— поўная група падзей і
P
(
A
j
)
>
0
{\displaystyle P(A_{j})>0}
для ўсіх
j
=
1
,
2
,
…
,
n
{\displaystyle j=1,2,\dots ,n}
, то для кожнай падзеі
B
{\displaystyle B}
справядліва роўнасць
P
(
B
)
=
∑
k
=
1
n
P
(
A
k
)
P
(
B
|
A
k
)
.
{\displaystyle P(B)=\sum _{k=1}^{n}P(A_{k})P(B|A_{k}).}
У формуле поўнай імавернасці падзеі
A
1
,
A
2
,
…
,
A
n
{\displaystyle A_{1},A_{2},\dots ,A_{n}}
завуцца гіпотэзамі. Імавернасць
P
(
B
|
A
k
)
{\displaystyle P(B|A_{k})}
завецца ўмоўнай імавернасцю і чытаецца: «імавернасць
B
{\displaystyle B}
пры выкананні гіпотэзы
A
k
{\displaystyle A_{k}}
»[ 1] :37 .
Калі
{
A
1
,
A
2
,
…
,
A
n
}
{\displaystyle \{A_{1},A_{2},\dots ,A_{n}\}}
— поўная група падзей і ўсе
P
(
A
k
)
>
0
{\displaystyle P(A_{k})>0}
, а
B
{\displaystyle B}
— падзея, якая таксама адбываецца з дадатнай імавернасцю, то[ 1] :39
P
(
A
k
|
B
)
=
P
(
A
k
)
P
(
B
|
A
k
)
∑
i
=
1
n
P
(
A
i
)
P
(
B
|
A
i
)
.
{\displaystyle P(A_{k}|B)={\frac {P(A_{k})P(B|A_{k})}{\sum _{i=1}^{n}P(A_{i})P(B|A_{i})}}.}
Зноскі