Умоўная імавернасць

Умоўная імавернасць — імавернасць здзяйснення пэўнай выпадковай падзеі пры ўмове таго, што некаторая іншая падзея здзейснілася.

Азначэнне

Ілюстрацыя ўмоўнай імавернасці праз дыяграму Эйлера. Імавернасць P(A) = 0.30 + 0.10 + 0.12 = 0.52. Пры гэтым умоўная імавернасць P(A|B₁) = 1, P(A|B₂) = 0.12 ÷ (0.12 + 0.04) = 0.75 і P(A|B₃) = 0.

Няхай для некаторай падзеі $B$ выконваецца $P(B)>0$. Умоўнай імавернасцю $P(A|B)$ падзеі $B$ пры ўмове, што адбылася падзея $B$ (карацей «пры ўмове $B$»), называецца дзель^:33

$$P(A|B):={\frac {P(AB)}{P(B)}}.$$

Часам умоўную імавернасць $P(A|B)$ пазначаюць як $P_{B}(A)$.

Адпаведнасць аксіёмам Калмагорава

Няхай $(\Omega ,{\mathcal {A}},P)$ — імавернасная прастора, а $B\in {\mathcal {A}}$ — падзея з дадатнай імавернасцю. Умоўная імавернасць $P(A|B)$ вызначае новую імавернасную прастору $(B,{\mathcal {A}}_{B},P_{B})$, дзе σ-алгебра ${\mathcal {A}}_{B}:=\{C|\exists A\in {\mathcal {A}}:C=AB\}.$ Такая імавернасная прастора адпавядае аксіёмам тэорыі імавернасцей^:33-34.

Доказ адпаведнасці

Пакажам што выконваюцца аксіёмы неадмоўнасці і нармаванасці:

$$P(C|B)=P(AB|B)={\frac {P(ABB)}{P(B)}}={\frac {P(AB)}{P(B)}}\geq 0;$$ $$P_{B}(B)={\frac {P(BB)}{P(B)}}=1.$$

Дакажам выкананне аксіёмы адытыўнасці. Няхай $C_{1},C_{2}\in {\mathcal {A}}_{B}$ і $C_{1}C_{2}=\varnothing$. Існуюць $A_{1},A_{2}$ такія, што $C_{1}=A_{1}B,C_{2}=A_{2}B$. Маем

$$P(C_{1}+C_{2}|B)={\frac {P((C_{1}+C_{2})B)}{P(B)}}={\frac {P(A_{1}BB+A_{2}BB)}{P(B)}}=$$ $$={\frac {P(A_{1}B+A_{2}B)}{P(B)}}=P(C_{1}|B)+P(C_{2}|B).$$

Возьмем паслядоўнасць $C_{1}\supset C_{2}\supset \dots$, для якой $\bigcap _{n=1}^{\infty }C_{n}=\varnothing$, дзе ўсе $C_{n}\in {\mathcal {A}}_{B}$, г.зн. існуюць $A_{n}\in {\mathcal {A}}$, такія, што $C_{n}=A_{n}B$. Адсюль маем

$$\lim _{n\to \infty }P(C_{n}|B)=\lim _{n\to \infty }{\frac {P(A_{n}B)}{P(B)}}={\frac {1}{P(B)}}\lim _{n\to \infty }P(A_{n}B)=0.$$

Асноўныя палажэнні з умоўнай імавернасцю

Умоўная імавернасць выкарыстоўваецца ў шэрагу важных для тэорыі імавернасцей палажэнняў.

Тэарэма множання імавернасцей

Асноўны артыкул: Тэарэма множання імавернасцей

Дамнажаючы абодва бакі ў азначэнні ўмоўнай імавернасці атрымліваем формулу для здабытку падзей $$P(AB)=P(A|B)P(B).$$ Гэтую роўнасць называюць тэарэмай множання імавернасцей^:34-36. Існуе таксама яе версія для канечнага мноства падзей $A_{1},A_{2},\dots ,A_{n}$, для якіх выконваецца няроўнасць $P(A_{1}A_{2}\dots A_{n-1})>0$:

$$P(A_{1}A_{2}\dots A_{n})=P(A_{1})P(A_{2}|A_{1})P(A_{3}|A_{1}A_{2})P(A_{n}|A_{1}A_{2}\dots A_{n-1}).$$

Формула поўнай імавернасці

Асноўны артыкул: Формула поўнай імавернасці

Калі $\{A_{1},A_{2},\dots ,A_{n}\}$ — поўная група падзей і $P(A_{j})>0$ для ўсіх $j=1,2,\dots ,n$, то для кожнай падзеі $B$ справядліва роўнасць

$$P(B)=\sum _{k=1}^{n}P(A_{k})P(B|A_{k}).$$

У формуле поўнай імавернасці падзеі $A_{1},A_{2},\dots ,A_{n}$ завуцца гіпотэзамі. Імавернасць $P(B|A_{k})$ завецца ўмоўнай імавернасцю і чытаецца: «імавернасць $B$ пры выкананні гіпотэзы $A_{k}$»^:37.

Тэарэма Баеса

Асноўны артыкул: Тэарэма Баеса

Калі $\{A_{1},A_{2},\dots ,A_{n}\}$ — поўная група падзей і ўсе $P(A_{k})>0$, а $B$ — падзея, якая таксама адбываецца з дадатнай імавернасцю, то^:39 $$P(A_{k}|B)={\frac {P(A_{k})P(B|A_{k})}{\sum _{i=1}^{n}P(A_{i})P(B|A_{i})}}.$$

Гл. таксама

• Умоўнае размеркаванне імавернасцей