Умоўная імавернасць

Умоўная імавернасць — імавернасць здзяйснення пэўнай выпадковай падзеі пры ўмове таго, што некаторая іншая падзея здзейснілася.

Азначэнне правіць

 
Ілюстрацыя ўмоўнай імавернасці праз дыяграму Эйлера[en]. Імавернасць P(A) = 0.30 + 0.10 + 0.12 = 0.52. Пры гэтым умоўная імавернасць P(A|B1) = 1, P(A|B2) = 0.12 ÷ (0.12 + 0.04) = 0.75 і P(A|B3) = 0.

Няхай для некаторай падзеі   выконваецца  . Умоўнай імавернасцю   падзеі   пры ўмове, што адбылася падзея   (карацей «пры ўмове  »), называецца дзель[1]:33

 

Часам умоўную імавернасць   пазначаюць як  .

Адпаведнасць аксіёмам Калмагорава правіць

Няхай   — імавернасная прастора, а   — падзея з дадатнай імавернасцю. Умоўная імавернасць   вызначае новую імавернасную прастору  , дзе σ-алгебра   Такая імавернасная прастора адпавядае аксіёмам тэорыі імавернасцей[1]:33-34.

Доказ адпаведнасці правіць

Пакажам што выконваюцца аксіёмы неадмоўнасці і нармаванасці:

 
 

Дакажам выкананне аксіёмы адытыўнасці. Няхай   і  . Існуюць   такія, што  . Маем

 
 

Возьмем паслядоўнасць  , для якой  , дзе ўсе  , г.зн. існуюць  , такія, што  . Адсюль маем

 

Асноўныя палажэнні з умоўнай імавернасцю правіць

Умоўная імавернасць выкарыстоўваецца ў шэрагу важных для тэорыі імавернасцей палажэнняў.

Тэарэма множання імавернасцей правіць

Дамнажаючы абодва бакі ў азначэнні ўмоўнай імавернасці атрымліваем формулу для здабытку падзей

 
Гэтую роўнасць называюць тэарэмай множання імавернасцей[1]:34-36. Існуе таксама яе версія для канечнага мноства падзей  , для якіх выконваецца няроўнасць  :

 

Формула поўнай імавернасці правіць

Калі   — поўная група падзей і   для ўсіх  , то для кожнай падзеі   справядліва роўнасць

 

У формуле поўнай імавернасці падзеі   завуцца гіпотэзамі. Імавернасць   завецца ўмоўнай імавернасцю і чытаецца: «імавернасць   пры выкананні гіпотэзы  »[1]:37.

Тэарэма Баеса правіць

Калі   — поўная група падзей і ўсе  , а   — падзея, якая таксама адбываецца з дадатнай імавернасцю, то[1]:39

 

Гл. таксама правіць

Зноскі

  1. а б в г д Звяровіч Э. І., Радына А. Я. Элементы тэорыі імавернасцей. — Мінск: Беларусь, 2013. — ISBN 978-985-01-1043-5.