Цотнасць функцыі

(Пасля перасылкі з Няцотная функцыя)
— прыклад найпрасцейшай няцотнай функцыі.

Цотнымі ці няцотнымі называюцца функцыі, чые графікі маюць пэўны тып сіметрыю адносна змянення знака аргумента. Гэта паняцце важнае ў многіх галінах матэматычнага аналізу, такіх як тэорыя ступенных радоў і радоў Фур'е.

— прыклад цотнай функцыі.
няцотная
ні цотная, ні няцотная.
  • Няцотная функцыя — функцыя, якая мяняе значэнне на процілеглае пры змене знака незалежнай зменнай (сіметрычная адносна цэнтра каардынат).
  • Цотная функцыя — функцыя, якая не мяняе свайго значэння пры змене знака незалежнай зменнай (сіметрычная адносна восі ардынат).
  • Ні цотная, ні няцотная функцыя (функцыя агульнага віду) — функцыя, якая не мае сіметрыі. Сюды адносяцца функцыі, якія не падыходзяць ні пад адно з папярэдніх двух азначэнняў.

Строгае азначэннеПравіць

Азначэнні ўводзяцца для любой сіметрычнай адносна нуля вобласці вызначэння  , напрыклад, адрэзка ці прамежка.

  • Функцыя   называецца цотнаю, калі справядліва роўнасць
 
  • Функцыя   называецца няцотнаю, калі справядліва роўнасць
 
  • Функцыі, якія не належаць ні адной з вышэйназваных катэгорый, называюцца ні цотнымі ні няцотнымі (ці функцыямі агульнага віду).

УласцівасціПравіць

  • Графік няцотнае функцыі сіметрычны адносна пачатку каардынат  .
  • Графік цотнае функцыі сіметрычны адносна восі ардынат  .
  • Адвольную функцыю   можна адназначна прадставіць як суму цотнай і няцотнай функцый:
 
дзе
 
  • Функцыя   — адзіная функцыі, цотная і няцотная адначасова.
  • Сума, рознасць і ўвогуле любая лінейная камбінацыя цотных функцый цотная, а няцотных — няцотная.
  • Здабытак дзвюх функцый аднолькавае цотнасці цотны.
  • Здабытак дзвюх функцый рознае цотнасці няцотны.
  • Кампазіцыя дзвюх няцотных функцый няцотная.
  • Кампазіцыя цотнае функцыі з цотнаю ці няцотнаю функцыяй цотная.
  • Кампазіцыя любое функцыі з цотнаю цотная (але не наадварот!).
  • Вытворная цотнае функцыі няцотная, а няцотнай — цотная.
  • Інтэграл ад цотнае функцыі па сіметрычным адносна нуля прамежку роўны падвоенаму інтэгралу па палавіне прамежка:
 
  • Інтэграл ад няцотнае функцыі па сіметрычным адносна нуля прамежку роўны нулю:
 

ПрыкладыПравіць

Няцотныя функцыіПравіць

  • Няцотная ступень   дзе   — адвольны цэлы лік.
  • Сінус  .
  • Тангенс  .

Цотныя функцыіПравіць

СпасылкіПравіць