Праблема Варынга

Прабле́ма Ва́рынга — сцвярджэнне ў тэорыі лікаў, згодна з якім пры кожным цэлым $n>1$ існуе такі лік $k=k(n)$ , што ўсякі натуральны лік $N$ можна прадставіць у выглядзе:

x_{1}^{n}+x_{2}^{n}+\ldots +x_{k}^{n}=N\quad

з цэлымі неадмоўнымі $x_{1},\;x_{2},\;\ldots ,\;x_{k}$ .

Як гіпотэза прапанована ў 1770 годзе Эдвардам Уорынгам (руск.) (бел. (Варынгам)^[1], даказана Гільбертам у 1909 годзе. Ужо пасля доказу вакол пытанняў, як звязаных з доказам асноўнай праблемы, так і з рознымі варыянтамі і абагульненнямі, праведзена значная колькасць даследаванняў, у рамках якіх атрыманы цікавыя вынікі і развіты важныя метады. У Матэматычнай прадметнай класіфікацыі (англ.) (бел. (MSC) праблеме Варынга і звязаным з ёю даследаванням прысвечаны асобны раздзел трэцяга ўзроўню: 11P05, «Праблема Варынга і яе варыянты»^[2].

Асноўныя вынікі

Да ХХ стагоддзя праблему ўдавалася рашыць толькі ў асобных выпадках. Напрыклад, Тэарэма Лагранжа аб суме чатырох квадратаў (руск.) (бел. устанаўлівае k = 4 для праблемы ў выпадку n = 2.

Першы доказ справядлівасці гіпотэзы Варынга быў даны ў 1909 годзе Гільбертам^[3]. Доказ быў вельмі аб'ёмным і будаваўся на складаных аналітычных канструкцыях, уключаючы пяцікратныя інтэгралы.

У 1920 годзе новы доказ гэтай жа тэарэмы далі Хардзі (англ.) (бел. і Літлвуд (руск.) (бел., распрацаваўшы дзеля гэтага адмысловы кругавы метад^[4]. Яны ўвялі дзве функцыі $g(n)$ і $G(n)$ :

$g(n)$ — найменшае $k$ такое, што праблема Варынга вырашальная пры $N\geqslant 1$ ;
$G(n)$ — найменшае $k$ такое, што праблема Варынга мае рашэнне пры $N\geqslant N_{0}(n)$ .

Ясна, што $G(n)\leqslant g(n)$ . Хардзі і Літлвуд далі для $G(n)$ ацэнку знізу $n<G(n)$ , якая па парадку і па канстанце ў агульным выпадку не палепшана (па стане на 2010-я гг.), і ацэнку зверху, якая пасля была карэнным чынам палепшана. Гэта функцыя з тае пары называецца функцыяй Хардзі. Яны таксама атрымалі асімптатычную формулу для ліку рашэнняў праблемы Варынга.

Такім чынам, у выніку даследавання праблемы Варынга былі распрацаваны магутныя аналітычныя метады. Аднак Ю. У. Ліннік у 1942 годзе знайшоў доказ асноўнай тэарэмы на аснове элементарных метадаў^[5].

Функцыя $g(n)$ сёння вядома. Для больш фундаментальнай функцыі $G(n)$ атрыман шэраг ацэнак зверху і знізу, але яе канкрэтныя значэнні невядомыя нават для малых $n$ .

Функцыя g(n)

Іаган Эйлер (руск.) (бел., сын Леанарда Эйлера, выказаў здагадку каля 1772 года^[6], што

g(n)=2^{n}+[(3/2)^{n}]-2,

дзе $[x]$ абазначае цэлую частку (руск.) (бел. рэчаіснага ліку $x$ .

У 1940-я гады Дзіксан (англ.) (бел., Пілаі (англ.) (бел., Рубугундай (англ.) (бел., Нівэн (англ.) (бел.^[7] з улікам выніку Малера (англ.) (бел.^[8] даказалі, што гэта верна за выключэннем канечнага ліку значэнняў $n$ , большых за 471 600 000. Ёсць гіпотэза, што гэта формула верная для ўсіх натуральных лікаў.

Прывядзём некалькі першых значэнняў $g(n)$ :

1, 4, 9, 19, 37, 73, 143, 279, 548, 1 079, 2 132, 4 223, 8 384, 16 673, 33 203, 66 190, 132 055, … ^[9]

Цікава, што, напрыклад, для n = 3 толькі лікі 23 і 239 нельга прадставіць сумаю васьмі кубоў.

Функцыя G(n)

У 1924 годзе І. М. Вінаградаў прымяніў да праблемы Варынга свой метад трыганаметрычных сум^[10]. Гэта не толькі моцна спрасціла доказ, але і адкрыла шлях да прынцыповага паляпшэння ацэнкі для $G(n)$ . Пасля цэлага рада ўдакладненняў ён у 1959 годзе даказаў, што

G(n)<2n\log n+4n\log \log n+2n\log \log \log n+13n.

Прымяняючы сканструяваную ім p-адычную форму кругавога метаду Хардзі — Літлвуда — Рамануджана — Вінаградава да ацэнак трыганаметрычных сум, у якіх сума бярэцца па ліках з малымі простымі дзельнікамі, А. А. Карацуба (руск.) (бел. палепшыў^[11] гэту ацэнку. Пры $n\geqslant 400$ :

G(n)<2n\log n+2n\log \log n+12n.

Пазней ацэнку палепшыў Т. Вулі (руск.) (бел.. Спачатку ў працы 1992 года^[12], а потым — у 1995 годзе^[13]:

G(n)\leqslant n\log n+n\log \log n+2+O(\log \log n/\log n).

Воан (англ.) (бел. і Вулі напісалі аб праблеме Варынга аб'ёмны аглядны артыкул^[14], у якім вынік Карацубы адносяць да публікацыі Воана 1989 года^[15].

Межы
4 ≤ G(2) ≤ 4
4 ≤ G(3) ≤ 7
16 ≤ G(4) ≤ 16
6 ≤ G(5) ≤ 17
9 ≤ G(6) ≤ 24
8 ≤ G(7) ≤ 33
32 ≤ G(8) ≤ 42
13 ≤ G(9) ≤ 50
12 ≤ G(10) ≤ 59
12 ≤ G(11) ≤ 67
16 ≤ G(12) ≤ 76
14 ≤ G(13) ≤ 84
15 ≤ G(14) ≤ 92
16 ≤ G(15) ≤ 100
64 ≤ G(16) ≤ 109
18 ≤ G(17) ≤ 117
27 ≤ G(18) ≤ 125
20 ≤ G(19) ≤ 134
25 ≤ G(20) ≤ 142

Фактычна велічыня $G(n)$ вядома толькі для 2 значэнняў аргумента, а іменна $G(2)=4$ і $G(4)=16$ . Апошні вынік даказаў Х. Дэвенпорт (англ.) (бел. ^[16].

Верхнія межы ў табліцы справа для $n=5,\;\ldots ,\;20$ прыведзены ў працы Р. Ч. Воана (англ.) (бел. і Т. Вулі (руск.) (бел.^[14].

Верхнюю ацэнку $G(3)\leqslant 7$ даказаў^[5] Ю. У. Ліннік. Камп'ютарныя эксперыменты дазваляюць меркаваць, што гэту ацэнку можна палепшыць да 4^[17]. Найбольшы вядомы лік, які нельга прадставіць сумаю 4 кубоў, гэта 7 373 170 279 850^[18]. Таксама камп'ютарныя эксперыменты паказваюць, што магчыма $G(5)<G(4)$ .

Акрамя дакладных значэнняў $G(n)$ адкрытым застаецца пытанне і пра лік рашэнняў праблемы Варынга пры заданых параметрах і абмежаваннях.

Абагульненні

Праблема Варынга — Гольдбаха

Праблема Варынга — Гольдбаха ставіць пытанне^[19]: ці можна прадставіць любы цэлы лік сумаю n-ых ступеней простых лікаў, дзе колькасць складнікаў абмежавана некаторай сталай велічынёю (па аналогіі з праблемаю Варынга і праблемаю Гольдбаха (англ.) (бел.).

Хуа Ло-кен (англ.) (бел., з дапамогаю палепшаных метадаў Хардзі — Літлвуда і Вінаградава, атрымаў^[20] для ліку простых складнікаў ацэнку зверху O(n² log n).

Дакладнасць прадстаўлення цэлага ліку сумаю ступеней

Абагульненнем праблемы Варынга можна лічыць пытанне аб дакладнасці прадстаўлення цэлага ліку сумаю ступеней цэлых, не развязанае нават для другой ступені.

Усе натуральныя лікі, за выключэннем лікаў віду 4^m(8n+7), дзе m, n = 0, 1, 2, ..., можна прадставіць у выглядзе $x^{2}+y^{2}+z^{2}$ . Натуральна ўзнікае пытанне: як блізка да заданага ліку $N$ можна падысці сумаю двух квадратаў цэлых лікаў? Паколькі $(n+1)^{2}-n^{2}=2n+1$ і правая частка гэтай роўнасці мае парадак кораня квадратнага з $n^{2}$ , то адным квадратам можна падысці да $N$ на адлегласць парадку $N^{1/2}$ . Такім чынам, сумаю двух квадратаў можна падысці да $N$ на адлегласць парадку $N^{1/4}$ . А ці можна падысці бліжэй? З часоў Эйлера стаіць гэта задача «без руху», хоць ёсць гіпотэза, што

\min _{x,\;y\in Z}|N-x^{2}-y^{2}|\leqslant N^{\varepsilon },

дзе $\varepsilon >0,\;\varepsilon$ — любое, $N\geqslant N_{1}(\varepsilon )$ . Замяніць $1/4$ у папярэднім разважанні на $1/4-c$ з адвольна малым фіксаваным $c>0$ не ўдаецца, і гэта, на першы погляд, простая задача «стаіць на месцы» з сярэдзіны XVIII стагоддзя^[21].

Мнагамерны аналаг праблемы Варынга

У сваіх далейшых даследаваннях па праблеме Варынга А. А. Карацуба атрымаў^[22]^[23] наступнае двухмернае абагульненне праблемы:

Разгледзім сістэму ўраўненняў

x_{1}^{n-i}y_{1}^{i}+\ldots +x_{k}^{n-i}y_{k}^{i}=N_{i},\quad i=0,\;1,\;\ldots ,\;n,

дзе $N_{i}$ — зададзеныя натуральныя лікі з аднолькавым парадкам росту, $N_{0}\to +\infty$ , а $x_{\varkappa },\;y_{\varkappa }$ — невядомыя натуральныя лікі. Гэта сістэма вырашальная, калі $k>cn^{2}\log n$ , а калі $k<c_{1}n^{2}$ , то ёсць такія $N_{i}$ , што сістэма не мае рашэнняў.

Гл. таксама

Кругавы метад Хардзі — Літлвуда (англ.) (бел.

Зноскі

↑ Waring E. Meditationes algebraicae. — Cambridge, 1770.
↑ 11P05 Waring's problem and variants Архівавана 6 чэрвеня 2014. // Mathematical Subject Classification, 2010
↑ Hilbert, D. (1909). "Beweis für die Darstellbarkeit der ganzen Zahlen durch eine feste Anzahl n-ter Potenzen (Waringsches Problem)". Mathematische Annalen. 67: 281–300. doi:10.1007/bf01450405. ISSN 0025-5831. Архівавана з арыгінала 27 снежня 2013. Праверана 6 чэрвеня 2014.
↑ Hardy G. H., Littlwood J. E. // Nachr. Acad. Wiss. Gettingen Math.-Phys. Kl., 1920. p. 33—54. IV: Math. Z., 1922, № 12, p. 161—188.
↑ ^а ^б Линник Ю. В. Элементарное решение проблемы Waring'a по методу Шнирельмана // Мат. сб., 1943, т. 12, № 54, с. 218—230.
↑ Л. Эйлер Opera postuma (1), 203—204 (1862)
↑ Niven, Ivan M. (1944). "An unsolved case of the Waring problem". American Journal of Mathematics. 66 (1). The Johns Hopkins University Press: 137–143. doi:10.2307/2371901. JSTOR 2371901.
↑ Mahler, K. (1957). "On the fractional parts of the powers of a rational number II". Mathematika. 4: 122–124.
↑ паслядоўнасць A002804 у OEIS
↑ Виноградов И. М. К вопросу о верхней границе для G(n) // Изв. АН СССР. Сер. мат., 1959, т. 23, № 5, с. 637—642.
↑ Карацуба, А. А. (1985). "О функции G(n) в проблеме Варинга". Изв. РАН. Сер. матем. (49:5): 935–947.
↑ Wooley T. D. Large improvements in Waring's problem // Ann. of Math. 135 (1992), 131—164.
↑ Wooley T. D. New estimates for smooth Weyl sums // J. London Math. Soc. (2) 51 (1995), 1-13.
↑ ^а ^б Vaughan R. C., Wooley T. D. (2002). Waring's Problem: A Survey Number Theory for the Millennium. Vol. III. A. K. Peters. pp. 301–340. ISBN 978-1-56881-152-9. {{cite book}}: Праверце значэнне |url= (даведка)
↑ Vaughan R. C. A new iterative method in Waring's problem // Acta Math. 162 (1989), 1—71.
↑ Davenport H. On Waring's problem for fourth powers // Annals of Math., 1939, № 40, p. 731—747.
↑ Nathanson (1996), p. 71
↑ Deshouillers, Jean-Marc; Hennecart, François; Landreau, Bernard; I. Gusti Putu Purnaba, Appendix by (2000). "7373170279850". Mathematics of Computation. 69 (229): 421–439. doi:10.1090/S0025-5718-99-01116-3.
↑ Buttcane, Jack (January 2010). "A note on the Waring–Goldbach problem". Journal of Number Theory. 130 (1). Elsevier: 116–127. doi:10.1016/j.jnt.2009.07.006.
↑ Hua Lo Keng. Additive theory of prime numbers // Translations of Mathematical Monographs, 13, American Mathematical Society, Providence, R. I., 1965, xiii+190 pp.
↑ Совр. пробл. матем., 2008, выпуск 11
↑ Архипов Г. И., Карацуба А. А. (1987). "Многомерный аналог проблемы Варинга". Докл. АН СССР (295:3): 521–523.
↑ Karatsuba A. A. (1988). "Waring's problem in several dimension". Mathem. Forschungs, Oberwolfach, Tagungsbericht (42): 5–6.

Літаратура

Ва́ринга пробле́ма // Математический энциклопедический словарь (руск.) / Гл. ред. Ю. В. Прохоров; Ред. Кол.: С. И. Адян, Н. С. Бахвалов, В. И. Битюцков, А. П. Ершов, Л. Д. Кудрявцев, А. Л. Онищик, А. П. Юшкевич. — М.: «Советская энциклопедия», 1988. — С. 107. — 847 с. — 150 000 экз.
Davenport, H. (2005). Analytic Methods for Diophantine Equations and Diophantine Inequalities. Cambridge University Press. ISBN 9780521605830.
Nathanson, Melvyn B. (1996). Additive Number Theory: The Classical Bases. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 164. Springer-Verlag. ISBN 0-387-94656-X. Zbl 0859.11002.

[1] Waring E. Meditationes algebraicae. — Cambridge, 1770.

[2] 11P05 Waring's problem and variants Архівавана 6 чэрвеня 2014. // Mathematical Subject Classification, 2010

[3] Hilbert, D. (1909). "Beweis für die Darstellbarkeit der ganzen Zahlen durch eine feste Anzahl n-ter Potenzen (Waringsches Problem)". Mathematische Annalen. 67: 281–300. doi:10.1007/bf01450405. ISSN 0025-5831. Архівавана з арыгінала 27 снежня 2013. Праверана 6 чэрвеня 2014.

[4] Hardy G. H., Littlwood J. E. // Nachr. Acad. Wiss. Gettingen Math.-Phys. Kl., 1920. p. 33—54. IV: Math. Z., 1922, № 12, p. 161—188.

[autogenerated1-5] а ^б Линник Ю. В. Элементарное решение проблемы Waring'a по методу Шнирельмана // Мат. сб., 1943, т. 12, № 54, с. 218—230.

[6] Л. Эйлер Opera postuma (1), 203—204 (1862)

[7] Niven, Ivan M. (1944). "An unsolved case of the Waring problem". American Journal of Mathematics. 66 (1). The Johns Hopkins University Press: 137–143. doi:10.2307/2371901. JSTOR 2371901.

[8] Mahler, K. (1957). "On the fractional parts of the powers of a rational number II". Mathematika. 4: 122–124.

[9] паслядоўнасць A002804 у OEIS

[10] Виноградов И. М. К вопросу о верхней границе для G(n) // Изв. АН СССР. Сер. мат., 1959, т. 23, № 5, с. 637—642.

[11] Карацуба, А. А. (1985). "О функции G(n) в проблеме Варинга". Изв. РАН. Сер. матем. (49:5): 935–947.

[12] Wooley T. D. Large improvements in Waring's problem // Ann. of Math. 135 (1992), 131—164.

[13] Wooley T. D. New estimates for smooth Weyl sums // J. London Math. Soc. (2) 51 (1995), 1-13.

[Vaughan-Wooley-14] а ^б Vaughan R. C., Wooley T. D. (2002). Waring's Problem: A Survey Number Theory for the Millennium. Vol. III. A. K. Peters. pp. 301–340. ISBN 978-1-56881-152-9. {{cite book}}: Праверце значэнне |url= (даведка)

[15] Vaughan R. C. A new iterative method in Waring's problem // Acta Math. 162 (1989), 1—71.

[16] Davenport H. On Waring's problem for fourth powers // Annals of Math., 1939, № 40, p. 731—747.

[17] Nathanson (1996), p. 71

[x7373170279850-18] Deshouillers, Jean-Marc; Hennecart, François; Landreau, Bernard; I. Gusti Putu Purnaba, Appendix by (2000). "7373170279850". Mathematics of Computation. 69 (229): 421–439. doi:10.1090/S0025-5718-99-01116-3.

[19] Buttcane, Jack (January 2010). "A note on the Waring–Goldbach problem". Journal of Number Theory. 130 (1). Elsevier: 116–127. doi:10.1016/j.jnt.2009.07.006.

[20] Hua Lo Keng. Additive theory of prime numbers // Translations of Mathematical Monographs, 13, American Mathematical Society, Providence, R. I., 1965, xiii+190 pp.

[21] Совр. пробл. матем., 2008, выпуск 11

[22] Архипов Г. И., Карацуба А. А. (1987). "Многомерный аналог проблемы Варинга". Докл. АН СССР (295:3): 521–523.

[23] Karatsuba A. A. (1988). "Waring's problem in several dimension". Mathem. Forschungs, Oberwolfach, Tagungsbericht (42): 5–6.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]