Імавернасная прастора

У тэорыі імавернасцей імавернасная прастора або імавернасная тройка $(\Omega ,{\mathcal {A}},P)$ — матэматычнае паняцце, якое забяспечвае фармальную мадэль выпадковага працэсу або «выпрабавання».

Імавернасная прастора складаецца з трох элементаў^:12:

1. Прасторы элементарных падзей $\Omega$ — мноства ўсіх магчымых зыходаў выпрабавання.
2. Алгебры падзей ${\mathcal {A}}$, дзе падзеямі называюцца падмноствы $\Omega$.
3. Імавернаснай меры $P$, якая супастаўляе кожнай падзеі з ${\mathcal {A}}$ пэўную імавернасць (рэчаісны лік паміж 0 і 1).

Імавернасная прастора павінна адпавядаць аксіёмам тэорыі імавернасцей.

Пара $(\Omega ,{\mathcal {A}})$ называецца вымернай прасторай^:68.

Прыклад дыскрэтнай імавернаснай прасторы

Для прыкладу разгледзім выпрабаванне, якое палягае ў аднакратным падкіданні двух сіметрычных гульнявых кубікаў. У якасці элементарных падзей возьмем усе магчымыя сумы ачкоў, што выпалі на кубіках^:20-21. Тады прастора элементарных падзей мае выгляд

$$\Omega =\{2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12\}.$$

Значэнне імавернаснай меры для кожнай элементарнай падзеі $\omega$:

$\omega$	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
$P(\{\omega \})$	${\frac {1}{36}}$	${\frac {2}{36}}$	${\frac {3}{36}}$	${\frac {4}{36}}$	${\frac {5}{36}}$	${\frac {6}{36}}$	${\frac {5}{36}}$	${\frac {4}{36}}$	${\frac {3}{36}}$	${\frac {2}{36}}$	${\frac {1}{36}}$

Алгебрай падзей ${\mathcal {A}}$ будзе мноства ўсіх падмностваў $\Omega$. Імавернасць некаторай падзеі $A\in {\mathcal {A}}$ зададзім згодна з прынцыпам адытыўнасці як суму імавернасцей усіх элементарных падзей, што ўваходзяць у $A$:

$$P(A)=P\left(\bigcup _{\omega \in A}\{\omega \}\right)=\sum _{\omega \in A}P({w}).$$

Напрыклад падзею "сума ачкоў кратная 3" можна запісаць як $A=\{3,6,9,12\}$. Імавернасць такой падзеі роўная

$$P(A)=P(\{3,6,9,12\})=$$

$$=P(\{3\})+P(\{6\})+P(\{9\})+P(\{12\})=$$

$$={\frac {2}{36}}+{\frac {5}{36}}+{\frac {4}{36}}+{\frac {1}{36}}={\frac {1}{3}}.$$

Геаметрычная імавернасць

Асноўны артыкул: Геаметрычная імавернасць

Няхай $\Omega \subset \mathbb {R} ^{n}$ і $\Omega$ мае канечны дадатны $n$-мерны аб'ём, які пазначым праз $|\Omega |$. Праз ${\mathcal {A}}$ пазначым некаторую σ-алгебру вымерных па Лебегу падмностваў $\Omega$. За імавернасць падзеі $A\in {\mathcal {A}}$ прымаецца лік

$$P(A)={\frac {|A|}{|\Omega |}},$$

дзе праз $|A|$ пазначаны $n$-мерны аб'ём (мера Лебега) мноства $A$.

Такая мадэль імавернаснай прасторы называецца геаметрычнай імавернасцю^:24-25. Адпаведнасць геаметрычнай імавернасці аксіёмам неадмоўнасці, нармаванасці і злічонай адытыўнасці вынікае з прыведзенага вышэй азначэння імавернасці падзеі і ўласцівасцей меры Лебега. Геаметрычная імавернасць служыць мадэллю для задач, дзе часціца выпадкова кідаецца на мноства $\Omega$ і каардынаты падзення раўнамерна размеркаваныя па гэтым мностве.

Мадэль геаметрычнай імавернасці паказвае існаванне тэарэтычна магчымых падзей, імавернасць якіх роўна нулю. Такой падзеяй з'яўляецца напрыклад пападанне часціцы ў загадзя зададзены пункт, бо аб'ём аднапунктавага мноства роўны нулю.