Рэзульта́нт − лікавая велічыня, якая дазваляе праверыць два мнагачлены на наяўнасць агульных каранёў .
З дапамогай рэзультанта можна звесці развязанне сістэмы алгебраічных ураўненняў да развязання аднаго ўраўнення з адным невядомым.
Рэзультант вызначаюць або праз вызначнік матрыцы Сільвестра , або праз карані мнагачленаў . Абодва гэтыя азначэнні раўназначныя, і калі адно з іх прыняць за зыходнае, то другое атрымліваецца як вынік.
Праз вызначнік матрыцы Сільвестра
правіць
Для двух мнагачленаў
f ( x ) = a n x n + a n − 1 x n − 1 + ⋯ + a 1 x + a 0 , {\displaystyle f(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\dots +a_{1}x+a_{0},}
g ( x ) = b m x m + b m − 1 x m − 1 + ⋯ + b 1 x + b 0 {\displaystyle g(x)=b_{m}x^{m}+b_{m-1}x^{m-1}+\dots +b_{1}x+b_{0}} рэзультант азначаюць як вызначнік матрыцы (так званай матрыцы Сільвестра ) парадку m + n :[1]
R ( f , g ) = | a n a n − 1 … a 1 a 0 a n a n − 1 … a 1 a 0 ⋱ ⋱ … ⋱ ⋱ a n a n − 1 … a 1 a 0 b m b m − 1 … b 1 b 0 b m b m − 1 … b 1 b 0 ⋱ ⋱ … ⋱ ⋱ b m b m − 1 … b 1 b 0 | , {\displaystyle R(f,g)=\left|{\begin{array}{cccccccc}a_{n}&a_{n-1}&\dots &a_{1}&a_{0}\\&a_{n}&a_{n-1}&\dots &a_{1}&a_{0}\\&&\ddots &\ddots &\dots &\ddots &\ddots \\&&&a_{n}&a_{n-1}&\dots &a_{1}&a_{0}\\b_{m}&b_{m-1}&\dots &b_{1}&b_{0}\\&b_{m}&b_{m-1}&\dots &b_{1}&b_{0}\\&&\ddots &\ddots &\dots &\ddots &\ddots \\&&&b_{m}&b_{m-1}&\dots &b_{1}&b_{0}\end{array}}\right|,} дзе на свабодных месцах стаяць нулі.
Праз карані мнагачленаў
правіць
Няхай
f ( x ) = a n x n + a n − 1 x n − 1 + ⋯ + a 1 x + a 0 , {\displaystyle f(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\dots +a_{1}x+a_{0},}
g ( x ) = b m x m + b m − 1 x m − 1 + ⋯ + b 1 x + b 0 . {\displaystyle g(x)=b_{m}x^{m}+b_{m-1}x^{m-1}+\dots +b_{1}x+b_{0}.} Калі α 1 , α 2 , … , α n {\displaystyle \alpha _{1},\alpha _{2},\dots ,\alpha _{n}} − карані мнагачлена f (x ) , а β 1 , β 2 , … , β m {\displaystyle \beta _{1},\beta _{2},\dots ,\beta _{m}} − карані g (x ) , то рэзультант вызначаюць як[2]
R ( f , g ) = a n m b m n ∏ 1 ≤ i ≤ n 1 ≤ k ≤ m ( α i − β k ) . {\displaystyle R(f,g)=a_{n}^{m}b_{m}^{n}\prod _{1\leq i\leq n \atop 1\leq k\leq m}(\alpha _{i}-\beta _{k}).}
Рэзультант пары мнагачленаў роўны нулю, калі і толькі калі яны маюць агульны корань.
Няхай f і g − мнагачлены, і deg f = n , deg g = m .
R ( f , g ) = a n m ∏ i = 1 n g ( α i ) = ( − 1 ) m ⋅ n b m n ∏ k = 1 m f ( β k ) {\displaystyle R(f,g)=a_{n}^{m}\prod _{i=1}^{n}g(\alpha _{i})=(-1)^{m\cdot n}b_{m}^{n}\prod _{k=1}^{m}f(\beta _{k})} R ( g , f ) = ( − 1 ) m ⋅ n R ( f , g ) {\displaystyle R(g,f)=(-1)^{m\cdot n}R(f,g)} R ( f h , g ) = R ( f , g ) R ( h , g ) {\displaystyle R(fh,g)=R(f,g)R(h,g)} Калі p = f + g h і deg p = deg f , то
R ( p , g ) = R ( f , g ) {\displaystyle R(p,g)=R(f,g)} Сувязь з дыскрымінантам (адрознікам)
правіць
Няхай поле K мае нулявую характарыстыку . Тады для любога мнагачлена f ( x ) = a n x n + ⋯ + a 1 x + a 0 ∈ K [ x ] {\displaystyle f(x)=a_{n}x^{n}+\dots +a_{1}x+a_{0}\in K[x]} праўдзіцца тоеснасць[2]
a n D ( f ) = ( − 1 ) n ( n − 1 ) / 2 R ( f , f ′ ) . {\displaystyle a_{n}D(f)=(-1)^{n(n-1)/2}R(f,f').} Зноскі
↑
Матэматычная энцыклапедыя / Гал. рэд. В.Бернік. — Мінск: Тэхналогія, 2001.
↑ а б
Курош А.Г. Курс высшей алгебры. — Москва: Наука, 1968.
Крыніцы і спасылкі
правіць
Weisstein, Eric W. . Resultant (нявызн.) . MathWorld .