Функцыянал

Функцыяна́л — гэта функцыя, якая зададзена на адвольным мностве і мае лікавую вобласць значэнняў: звычайна мноства рэчаісных лікаў $\mathbb {R}$ або комплексных лікаў $\mathbb {C}$.

Азначэнні

Вобласць вызначэння функцыянала можа быць любым мноствам. Калі вобласць вызначэння з’яўляецца тапалагічнай прасторай, можна вызначыць неперарыўны функцыянал; калі вобласць вызначэння з’яўляецца лінейнай прасторай над $\mathbb {R}$ або над $\mathbb {C}$, можна вызначыць лінейны функцыянал; калі вобласць вызначэння з’яўляецца ўпарадкаваным мноствам, можна вызначыць манатонны функцыянал.

Функцыянал, зададзены на тапалагічнай прасторы $X$, называецца неперарыўным, калі ён неперарыўны як адвображанне ў тапалагічную прастору $\mathbb {R}$ або $\mathbb {C}$.

Функцыянал, зададзены на тапалагічнай прасторы $X$, называецца неперарыўным у кропцы $x\in X$, калі ён непарыўны ў гэтай кропцы як адвображанне ў тапалагічную прастору $\mathbb {R}$ або $\mathbb {C}$.

У больш шырокім сэнсе функцыяналам называецца любое адвображанне з адвольнага мноства ў адвольнае (не абавязкова лікавае) кальцо.

Зададзены на лінейнай прасторы функцыянал, які захоўвае складанне і множанне на канстанту, называецца лінейным функцыяналам. (Адвображанне плоскасці і ў прасторы ў лінейную прастору называюць аператарам) .

Мабыць, самы просты функцыянал — праекцыя — (супастаўленне вектару адной з яго кампанент або каардынат).

Даволі часта ў ролі плоскасці і ў прасторы выступае тая ці іншая прастора функцый (неперарыўныя функцыі на адрэзку, інтэгравальныя функцыі на плоскасці і г.д.). Таму ў прыкладных галінах пад функцыяналам часта разумеюць функцыю ад функцый, адвображанне, якое пераводзіць функцыю ў лік (рэчаісны або комплексны).

Функцыянал на лінейнай прасторы называецца дадатна вызначаным, калі яго значэнне неадмоўнае і роўна нулю толькі ў нулі.

Адвображанне, якое пераводзіць вектар у яго норму, з’яўляецца выпуклым дадатна вызначаным функцыяналам, гэта адзін з самых распаўсюджаных функцыяналаў. У фізіцы часта выкарыстоўваецца дзеянне — таксама функцыянал.

Задачы аптымізацыі фармулююцца на мове функцыяналаў: знайсці рашэнне (ураўнення, сістэмы ўраўненняў, сістэмы абмежаванняў, сістэмы няроўнасцей, сістэмы ўключэнняў і т. п.), якое дастаўляе экстрэмум (мінімум або максімум) зададзенаму функцыяналу. Функцыяналы таксама разглядаюцца ў варыяцыйным аналізе.

Функцыянал у лінейнай прасторы

Пазней ад паняцця традыцыйнага функцыянала аддзялілася паняцце функцыянала ў лінейнай прасторы, як функцыі, якая адвображвае элементы лінейнай прасторы ў яе прастору скаляраў. Часта (напрыклад, калі прастора функцый з’яўляецца лінейнай прасторай) гэтыя дзве разнавіднасці паняцця «функцыянал» супадаюць, у той жа час яны не тоесныя і не паглынаюць адна адну.

Асабліва важнай разнавіднасцю функцыяналаў з’яўляюцца лінейныя функцыяналы.

Прыклады

• норма функцыі
• значэнне функцыі ў фіксаванай кропцы
• максімум або мінімум функцыі на адрэзку
• велічыня інтэграла ад функцыі
• даўжыня графіка рэчаіснай функцыі рэчаіснай зменнай
• даўжыня крывой, параметрычна зададзенай вектарнай функцыяй рэчаіснага аргумента (даўжыня шляху)
• плошча паверхні, параметрычна зададзенай вектарнай функцыяй двух рэчаісных аргументаў
• скалярны здабытак на фіксаваны вектар
• дзеянне ў механіцы
• функцыянал энергіі

Гл. таксама

• Аператар (матэматыка)

Літаратура

• Математическая Энциклопедия. — М.: Советская Энциклопедия, 1984. — Т. 5.
• Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — изд. четвертое, переработанное. — М.: Наука, 1976. — 544 с. — 35 000 экз.
• У.Рудин. Функциональный анализ. — М.: Мир, 1975.
• Математическая Энциклопедия. Функционал
• Конев В. В., Элементы Функционального Анализа