Тапалагічная прастора

Тапалагі́чная прасто́ра — мноства з дадатковай структурай пэўнага тыпу (так званай тапалогіяй); з’яўляецца адным з асноўных аб’ектаў (разам с непарыўнымі адлюстраваннямі) вывучэння раздзела матэматыкі пад назвай тапалогія.

Тапалагічная прастора
Вывучаецца ў	агульная тапалогія[d]
Медыяфайлы на Вікісховішчы

Гістарычна, паняцце тапалагічнага прасторы з’явілася як абагульненне метрычнай прасторы, якая у сваю чаргу абагульняе паняцці геаметрычнай прасторы і фігур.

Заданне тапалагічнай структуры, або тапалогіі, на мностве дае выразны матэматычны сэнс блізкасці, аддаленасці, аддзялення яго элементаў без выкарыстання лікавай велічыні адлегласці паміж імі.

У сучаснае вызначэнне структуры тапалагічнай прасторы увайшоў мінімальны набор уласцівасцяў сістэмы метрычных наваколляў, дастатковы для вызначэння такіх паняццяў, як непарыўнасць, звязнасць і, ў большасці выпадкаў, сыходнасць ў самых агульных сітуацыях, калі метрычныя паняцці могуць быць ўжо непрыдатнымі.

Акрамя агульных выпадкаў, калі задаць адлегласць паміж пунктамі немагчыма, выкарыстанне тапалагічнай мовы часта спрашчае разважанні і аб метрычных прасторах, у тых выпадках, калі яны не залежаць ад канкрэтных лікавых значэнняў адлегласці.

Уласцівасці, якія залежаць толькі ад тапалагічнай структуры на мностве, называюцца тапалагічнымі уласцівасцямі і вывучаюцца ў раздзеле агульная тапалогія. Спалучэнне тапалагічнай структуры з іншымі структурамі, ці спецыфікацыя яе дадатковымі абмежаваннямі, прыводзіць да вылучэння розных другіх відаў уласцівасцяў, якія вывучаюцца ў іншых раздзелах тапалогіі ці сумежных дысцыплін.

Вызначэнне

Няхай дадзена мноства $X$ . Сістэма ${\mathcal {T}}$ яго падмноств называецца тапалогіяй на $X$, калі выкананы наступныя ўмовы:

1. Аб’яднанне адвольнага сямейства мностваў, якія належаць ${\mathcal {T}}$, належыць ${\mathcal {T}}$. Гэта значыць, што калі $U_{\alpha }\in {\mathcal {T}}\quad \forall \alpha \in A$, то $\bigcup \limits _{\alpha \in A}U_{\alpha }\in {\mathcal {T}}$.
2. Перасячэнне канечнага сямейства мностваў, якія належаць ${\mathcal {T}}$ , належыць ${\mathcal {T}}$. Гэта значыць, што калі $U_{i}\in {\mathcal {T}}\quad i=1,\;\ldots ,\;n$, то $\bigcap \limits _{i=1}^{n}U_{i}\in {\mathcal {T}}$.
3. $X,\;\varnothing \in {\mathcal {T}}$.

Пара $(X,\;{\mathcal {T}})$ называецца тапалагічнай прасторай. Мноства, якія належаць ${\mathcal {T}}$, называюцца адкрытымі мноствамі. Элементы мноства $X$, на якім зададзена тапалогія, называюцца, як ў геаметрыі, пунктамі.

Літаратура

• Тапалагі́чная прасто́ра // Беларуская энцыклапедыя: У 18 т. Т. 15: Следавікі — Трыо / Рэдкал.: Г. П. Пашкоў і інш. — Мн. : БелЭн, 2002. — Т. 15. — С. 429. — 10 000 экз. — ISBN 985-11-0035-8. — ISBN 985-11-0251-2 (т. 15).
• Тапалагі́чная прасто́ра // Матэматычная энцыклапедыя / Гал. рэд. В. Бернік. — Мн.: Тэхналогія, 2001. — С. 338. — 496 с.: іл. — 1 000 экз. — ISBN 985-458-059-8.
• Александров П. С., Архангельский А. В. Топологи́ческая простра́нство // Математический энциклопедический словарь (руск.) / Гл. ред. Ю. В. Прохоров; Ред. Кол.: С. И. Адян, Н. С. Бахвалов, В. И. Битюцков, А. П. Ершов, Л. Д. Кудрявцев, А. Л. Онищик, А. П. Юшкевич. — М.: «Советская энциклопедия», 1988. — С. 582. — 847 с. — 150 000 экз.
• Киселев А. Д., Мирошниченко Г. П., Трифанов А. И., Трифанова Е. С. Топология многообразий. Конспект лекций — СПб.: Университет ИТМО, 2019. — 51 с. (руск.)