Тапалагічная прастора

Тапалагічная прастора — мноства з дадатковай структурай пэўнага тыпу (так званай тапалогіяй); з'яўляецца адным з асноўных аб'ектаў (разам с непрарыўнымі адлюстраваннямі) вывучэння раздзела матэматыкі пад назвай тапалогія.

Гістарычна, паняцце тапалагічнага прасторы з'явілася як абагульненне метрычнай прасторы, якая у сваю чаргу абагульняе паняцці геаметрычнай прасторы і фігур.

Заданне тапалагічнай структуры, або тапалогіі, на мностве дае выразны матэматычны сэнс блізкасці, аддаленасці, аддзялення яго элементаў без выкарыстання лікавай велічыні адлегласці паміж імі.

У сучаснае вызначэнне структуры тапалагічнай прасторы увайшоў мінімальны набор уласцівасцяў сістэмы метрычных наваколляў, дастатковы для вызначэння такіх паняццяў, як непрарыўнасць, звязнасць і, ў большасці выпадкаў, сыходнасць ў самых агульных сітуацыях, калі метрычныя паняцці могуць быць ўжо непрыдатнымі.

Акрамя агульных выпадкаў, калі задаць адлегласць паміж пунктамі немагчыма, выкарыстанне тапалагічнай мовы часта спрашчае разважанні і аб метрычных прасторах, у тых выпадках, калі яны не залежаць ад канкрэтных лікавых значэнняў адлегласці.

Уласцівасці, якія залежаць толькі ад тапалагічнай структуры на мностве, называюцца тапалагічнымі уласцівасцямі і вывучаюцца ў раздзеле агульная тапалогія. Спалучэнне тапалагічнай структуры з іншымі структурамі, ці спецыфікацыя яе дадатковымі абмежаваннямі, прыводзіць да вылучэння розных другіх відаў уласцівасцяў, якія вывучаюцца ў іншых раздзелах тапалогіі ці сумежных дысцыплін.

Вызначэнне

Няхай дадзена мноства $X$ . Сістэма ${\mathcal {T}}$ яго падмноств называецца тапалогіяй на $X$, калі выкананы наступныя ўмовы:

1. Аб’яднанне адвольнага сямейства мностваў, якія належаць ${\mathcal {T}}$, належыць ${\mathcal {T}}$. Гэта значыць, што калі $U_{\alpha }\in {\mathcal {T}}\quad \forall \alpha \in A$, то $\bigcup \limits _{\alpha \in A}U_{\alpha }\in {\mathcal {T}}$.
2. Перасячэнне канечнага сямейства мностваў, якія належаць ${\mathcal {T}}$ , належыць ${\mathcal {T}}$. Гэта значыць, што калі $U_{i}\in {\mathcal {T}}\quad i=1,\;\ldots ,\;n$, то $\bigcap \limits _{i=1}^{n}U_{i}\in {\mathcal {T}}$.
3. $X,\;\varnothing \in {\mathcal {T}}$.

Пара $(X,\;{\mathcal {T}})$ называецца тапалагічнай прасторай. Мноства, якія належаць ${\mathcal {T}}$, называюцца адкрытымі мноствамі. Элементы мноства $X$, на якім дана тапалогія, называюцца, як ў геаметрыі, пунктамі.