Моманты выпадковай велічыні

Момант выпадковай велічыні — лікавая характарыстыка размеркавання выпадковай велічыні.

Азначэнне

Момантам парадку $k$ выпадковай велічыні $X$ адносна пункта $a\in \mathbb {R}$ завецца лік

$\nu _{k}(a):=\mathbb {E} [(X-a)^{k}],$

дзе $\mathbb {E}$ — матэматычнае спадзяванне. Кажуць, што момант існуе, калі існуе матэматычнае спадзяванне ў правай частцы роўнасці. Інакш кажуць, што момант не існуе.

Калі $a=0$ момант завецца пачатковым, а пры $a=\mathbb {E} [X]$ — цэнтральным.

Абсалютным момантам завецца

$m_{k}(a):=\mathbb {E} [|X-a|^{k}],$

$\displaystyle k$-м фактарыяльным момантам выпадковай велічыні $\displaystyle X$ называецца велічыня

$\mu _{k}=\mathbb {E} \left[X(X-1)...(X-k+1)\right],$

калі матэматычнае спадзяванне ў правай частцы гэтай роўнасці існуе.

Для выпадковых вектараў існуе таксама паняцце змяшанага моманта. Велічыня $\mathbb {E} [X_{1}^{k_{1}}X_{2}^{k_{2}}\dots X_{n}^{k_{n}}]$ завецца змяшаным пачатковым момантам, а $\mathbb {E} [(X_{1}-\mathbb {E} [X_{1}])^{k_{1}}(X_{2}-\mathbb {E} [X_{2}])^{k_{2}}\dots (X_{n}-\mathbb {E} [X_{n}])^{k_{n}}]$ — змяшаным цэнтральным момантам парадку $k=k_{1}+k_{2}+\dots k_{n}$.

Прыклады

Матэматычнае спадзяванне

Асноўны артыкул: Матэматычнае спадзяванне

Першы пачатковы момант $\nu _{1}(0)$ ёсць матэматычным спадзяваннем выпадковай велічыні.

Дысперсія

Асноўны артыкул: Дысперсія выпадковай велічыні

Другі цэнтральны момант $\nu _{2}(\mathbb {E} [X])$ завецца дысперсіяй выпадковай велічыні $X.$

Дысперсія — мінімальнае значэнне моманту другога парадку $\nu _{2}(a),$ якое дасягаецца ў пункце $a=\mathbb {E} [X]$.

Моманты другога парадку запісваюцца праз дысперсію як $\nu _{2}(a)=Var(X)+(E[X]-a)^{2}.$

Уласцівасці

• Калі існуе момант $\displaystyle k$-га парадку, то існуюць і ўсе моманты ніжэйшых парадкаў $1\leqslant k'<k$.
• У сілу лінейнасці матэматычнага спадзявання цэнтральныя моманты можна запісаць праз пачатковыя, і наадварот. Напрыклад:

$\displaystyle \mu _{1}=0,$

$\displaystyle \mu _{2}=\nu _{2}-\nu _{1}^{2},$

$\displaystyle \mu _{3}=\nu _{3}-3\nu _{1}\nu _{2}+2\nu _{1}^{3},$

$\displaystyle \mu _{4}=\nu _{4}-4\nu _{1}\nu _{3}+6\nu _{1}^{2}\nu _{2}-3\nu _{1}^{4},$

$\mu _{n}=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{n-k}C_{n}^{k}\nu _{k}\nu _{1}^{n-k},$

дзе $\mu _{n}$ — цэнтральны момант, а $\nu _{n}$ — пачатковы момант парадку $n$.

Літаратура

• Звяровіч Э. І., Радына А. Я. Элементы тэорыі імавернасцей. — Мінск: Беларусь, 2013. — ISBN 978-985-01-1043-5.
• Г. Крамер. Математические методы статистики. — 2-е изд. — М.: Мир, 1975. — С. 196-197, 284. — 648 с.