Матэматычнае спадзяванне

Матэматы́чнае спадзява́нне, таксама матэматычнае чаканне, сярэдняе значэнне, матспадзяванне выпадковай велічыні — лікавая характарыстыка выпадковай велічыні X. Абазначаецца або . Характарызуе размяшчэнне значэнняў велічыні і роўнае сярэдняму значэнню яе размеркавання. З закона вялікіх лікаў вынікае, што сярэдняе арыфметычнае значэнне велічыні пры павелічэнні колькасці выпрабаванняў набліжаецца да .

Паняцце матэматычнага спадзявання ўзнікла ў XVIII стагоддзі ў сувязі з тэорыяй азартных гульняў: калі выйгрышы гульца прымаюць значэнні , з імавернасцямі , дзе , то ў сярэднім ён можа спадзявацца на выйгрыш (адсюль назва).

Матэматычнае спадзяванне — тое самае, што і першы пачатковы момант выпадковай велічыні.

Азначэнне

правіць

Агульнае азначэнне праз інтэграл Лебега

правіць

Няхай зададзена прастора імавернасцей   і азначаная на ёй выпадковая велічыня  . То бок, паводле азначэння,   — вымерная функцыя. Калі існуе інтэграл Лебега ад   па прасторы  , то ён завецца матэматычным спадзяваннем, або сярэднім значэннем і абазначаецца   або  :

 

Калі гэты інтэграл не існуе ці роўны  , кажуць, што ў выпадковай велічыні не існуе матэматычнага спадзявання[1]:111.

Азначэнне праз функцыю размеркавання выпадковай велічыні

правіць

Калі   — функцыя размеркавання выпадковай велічыні, то яе матэматычнае спадзяванне вызначаецца інтэгралам Лебега — Стыльт’еса[1]:112:

 ,  .

Азначэнне для абсалютна непарыўнай выпадковай велічыні (праз шчыльнасць размеркавання)

правіць

Матэматычнае спадзяванне абсалютна непарыўнай выпадковай велічыні, размеркаванне якой вызначаецца шчыльнасцю  , роўнае[1]:112

 .

Азначэнне для дыскрэтнай выпадковай велічыні

правіць

Калі   — дыскрэтная выпадковая велічыня, з размеркаваннем

  ,  ,

тады непасрэдна з азначэння інтэграла Лебега вынікае, што[1]:112

 .

Матэматычнае спадзяванне цэлалікавай выпадковай велічыні

правіць
  • Калі   — дадатная цэлалікавая выпадковая велічыня, якая мае размеркаванне імавернасцей
  ,  ,  ,

то яе матэматычнае спадзяванне можа быць выражана праз утваральную функцыю паслядоўнасці  

 

Уласцівасці матэматычнага спадзявання

правіць
  • Матэматычнае спадзяванне канстанты ёсць сама канстанта.
 
  — канстанта;
 ,
дзе   — выпадковыя велічыні з канечным матспадзяваннем, а   — любыя канстанты;
У прыватнасці, матспадзяванне сумы (рознасці) выпадковых велічынь роўнае суме (рознасці) матспадзяванняў гэтых выпадковых велічынь.
  • Матэматычнае спадзяванне захоўвае няроўнасці, гэта значыць калі   амаль напэўна, і   — выпадковая велічыня з канечным матспадзяваннем, то матспадзяванне выпадковай велічыні   таксама канечнае, і больш за тое:
 .
  • Матспадзяванне не залежыць ад паводзін выпадковай велічыні на падзеі імавернасці нуль, то бок калі   амаль напэўна, то
 .
  • Матспадзяванне здабытку двух незалежных або некарэляваных выпадковых велічынь   роўнае здабытку іх матспадзяванняў
 .
 

Няроўнасці, звязаныя з матспадзяваннем

правіць

Няроўнасць Маркава — для неадмоўнай выпадковай велічыні  , азначанай на прасторы імавернасцей   з канечным матспадзяваннем  , справядліва няроўнасць:

 , дзе  .

Няроўнасць Енсена для матспадзявання выпуклай функцыі ад выпадковай велічыні. Няхай   — прастора імавернасцей,   — азначаная на ёй выпадковая велічыня,   — выпуклая барэлеўская функцыя, такія што  , тады

 .

Тэарэмы, звязаныя з матспадзяваннем

правіць

Зноскі

  1. а б в г д Звяровіч Э. І., Радына А. Я. Элементы тэорыі імавернасцей. — Мінск: Беларусь, 2013. — ISBN 978-985-01-1043-5.

Заўвагі

правіць
  1. На практыцы гэтыя ўмовы часта выконваюцца.

Літаратура

правіць