Матэматычнае спадзяванне
Матэматы́чнае спадзява́нне, таксама матэматычнае чаканне, сярэдняе значэнне, матспадзяванне выпадковай велічыні — лікавая характарыстыка выпадковай велічыні X. Абазначаецца або . Характарызуе размяшчэнне значэнняў велічыні і роўнае сярэдняму значэнню яе размеркавання. З закона вялікіх лікаў вынікае, што сярэдняе арыфметычнае значэнне велічыні пры павелічэнні колькасці выпрабаванняў набліжаецца да .
Паняцце матэматычнага спадзявання ўзнікла ў XVIII стагоддзі ў сувязі з тэорыяй азартных гульняў: калі выйгрышы гульца прымаюць значэнні , з імавернасцямі , дзе , то ў сярэднім ён можа спадзявацца на выйгрыш (адсюль назва).
Матэматычнае спадзяванне — тое самае, што і першы пачатковы момант выпадковай велічыні.
Азначэнне
правіцьАгульнае азначэнне праз інтэграл Лебега
правіцьНяхай зададзена прастора імавернасцей і азначаная на ёй выпадковая велічыня . То бок, паводле азначэння, — вымерная функцыя. Калі існуе інтэграл Лебега ад па прасторы , то ён завецца матэматычным спадзяваннем, або сярэднім значэннем і абазначаецца або :
Калі гэты інтэграл не існуе ці роўны , кажуць, што ў выпадковай велічыні не існуе матэматычнага спадзявання[1] .
Азначэнне праз функцыю размеркавання выпадковай велічыні
правіцьКалі — функцыя размеркавання выпадковай велічыні, то яе матэматычнае спадзяванне вызначаецца інтэгралам Лебега — Стыльт’еса[1] :
- , .
Азначэнне для абсалютна непарыўнай выпадковай велічыні (праз шчыльнасць размеркавання)
правіцьМатэматычнае спадзяванне абсалютна непарыўнай выпадковай велічыні, размеркаванне якой вызначаецца шчыльнасцю , роўнае[1]
- .
Азначэнне для дыскрэтнай выпадковай велічыні
правіцьКалі — дыскрэтная выпадковая велічыня, з размеркаваннем
- , ,
тады непасрэдна з азначэння інтэграла Лебега вынікае, што[1]
- .
Матэматычнае спадзяванне цэлалікавай выпадковай велічыні
правіць- Калі — дадатная цэлалікавая выпадковая велічыня, якая мае размеркаванне імавернасцей
- , , ,
то яе матэматычнае спадзяванне можа быць выражана праз утваральную функцыю паслядоўнасці
Уласцівасці матэматычнага спадзявання
правіць- Матэматычнае спадзяванне канстанты ёсць сама канстанта.
- — канстанта;
- Матэматычнае спадзяванне лінейнае, то бок
- ,
- дзе — выпадковыя велічыні з канечным матспадзяваннем, а — любыя канстанты;
- У прыватнасці, матспадзяванне сумы (рознасці) выпадковых велічынь роўнае суме (рознасці) матспадзяванняў гэтых выпадковых велічынь.
- Матэматычнае спадзяванне захоўвае няроўнасці, гэта значыць калі амаль напэўна, і — выпадковая велічыня з канечным матспадзяваннем, то матспадзяванне выпадковай велічыні таксама канечнае, і больш за тое:
- .
- Матспадзяванне не залежыць ад паводзін выпадковай велічыні на падзеі імавернасці нуль, то бок калі амаль напэўна, то
- .
- Матспадзяванне здабытку двух незалежных або некарэляваных выпадковых велічынь роўнае здабытку іх матспадзяванняў
- .
- Для ўсякай барэлеўскай і інтэгравальнай па меры функцыі[заўв 1] матэматычнае спадзяванне існуе і роўнае[1]
Няроўнасці, звязаныя з матспадзяваннем
правіцьНяроўнасць Маркава — для неадмоўнай выпадковай велічыні , азначанай на прасторы імавернасцей з канечным матспадзяваннем , справядліва няроўнасць:
- , дзе .
Няроўнасць Енсена для матспадзявання выпуклай функцыі ад выпадковай велічыні. Няхай — прастора імавернасцей, — азначаная на ёй выпадковая велічыня, — выпуклая барэлеўская функцыя, такія што , тады
- .
Тэарэмы, звязаныя з матспадзяваннем
правіцьЗноскі
Заўвагі
правіць- ↑ На практыцы гэтыя ўмовы часта выконваюцца.
Літаратура
правіць- Матэматычнае спадзяванне і дысперсія // Звяровіч Э. І., Радына А. Я. Элементы тэорыі імавернасцей. — Мінск: Беларусь, 2013. — С. 111. — 206 с. — ISBN 978-985-01-1043-5.
- Матэматычнае спадзяванне // Матэматычная энцыклапедыя / Гал. рэд. В. Бернік. — Мн.: Тэхналогія, 2001. — С. 212. — 496 с.: іл. — 1 000 экз. — ISBN 985-458-059-8.
- Матэматычнае чаканне // Беларуская энцыклапедыя: У 18 т. Т. 10: Малайзія — Мугаджары / Рэдкал.: Г. П. Пашкоў і інш. — Мн. : БелЭн, 2000. — Т. 10. — С. 212. — 10 000 экз. — ISBN 985-11-0035-8. — ISBN 985-11-0169-9 (т. 10).