Гіпо́тэза Пуанкарэ́ — адна з самых вядомых задач тапалогіі. Яна дае дастатковую ўмову таго, што прастора з'яўляецца трохмернаю сфераю з дакладнасцю да дэфармацыі.

Задачы тысячагоддзя
Роўнасць класаў P і NP
Гіпотэза Ходжа
Гіпотэза Пуанкарэ
Гіпотэза Рымана
Квантавая тэорыя
Янга — Мілса
Існаванне і гладкасць 
рашэнняў ураўненняў
Наўе — Стокса
Гіпотэза
Бёрча — Свінертан-Даера

ФармулёўкаПравіць

Гіпотэза ПуанкарэПравіць

У зыходнай форме гіпотэза Пуанкарэ сцвярджае:

Усякая адназвязная(руск.) бел. кампактная(руск.) бел. трохмерная мнагастайнасць(руск.) бел. без краю гомеаморфная трохмернай сферы.

Абагульненая гіпотэза ПуанкарэПравіць

Абагульненая гіпотэза Пуанкарэ сцвярджае:

Для любога натуральнага ліку n усякая мнагастайнасць размернасці n гоматапічна эквівалентная(руск.) бел. сферы размернасці n тады і толькі тады, калі яна гомеаморфная ёй.

Зыходная гіпотэза Пуанкарэ з'яўляецца асобным выпадкам абагульненай гіпотэзы пры n = 3.

Схема доказуПравіць

Паток Рычы(руск.) бел. — гэта пэўнае ўраўненне ў частковых вытворных(руск.) бел., падобнае на ўраўненне цеплаправоднасці(руск.) бел.. Ён дазваляе дэфармаваць рыманаву метрыку на мнагастайнасці, але ў працэсе дэфармацыі могуць утварацца «сінгулярнасці» — пункты, у якіх крывізна імкнецца да бесканечнасці, і дэфармацыю немагчыма працягнуць. Асноўны крок у доказе заключаецца ў класіфікацыі такіх сінгулярнасцей у трохмерным арыентаваным выпадку. Пры падыходзе да сінгулярнасці паток спыняюць і ажыццяўляюць «хірургію»(руск.) бел. — выкідваюць малую звязную кампаненту ці выразаюць «шыю» (г. зн. адкрытую вобласць дыфеаморфную(руск.) бел. прамому здабытку  ), а атрыманыя дзве дзіркі заклейваюць двума шарамі так, што метрыка(руск.) бел. атрыманай мнагастайнасці становіцца дастаткова гладкаю — пасля чаго працягваюць дэфармацыю ўздоўж патоку Рычы.

Працэс, апісаны вышэй, называецца «паток Рычы з хірургіяй». Класіфікацыя сінгулярнасцей дазваляе заключыць, што кожны «выкінуты кавалак» дыфеаморфны(руск.) бел. сферычнай прасторавай форме(руск.) бел..

Пры доказе гіпотэзы Пуанкарэ пачынаюць з адвольнай рыманавай метрыкі на адназвязнай трохмернай мнагастайнасці   і прымяняюць да яе паток Рычы з хірургіяй. Важным крокам з'яўляецца доказ таго, што ў выніку такога працэсу «выкідваецца» ўсё. Гэта значыць, што зыходную мнагастайнасць   можна прадставіць як набор сферычных прасторавых форм  , злучаных адна з адною трубкамі  . Падлік фундаментальнае групы(руск.) бел. паказвае, што   дыфеаморфная звязнай суме(руск.) бел. набору прасторавых форм  , і больш таго, усе   трывіяльныя. Такім чынам,   з'яўляецца звязнаю сумаю набору сфер, г.зн. сфераю.

ГісторыяПравіць

У 1900 годзе Пуанкарэ выказаў здагадку, што трохмерная мнагастайнасць са ўсімі групамі гамалогій як у сферы гомеаморфнае сферы. У 1904 годзе ён жа знайшоў контрпрыклад, які цяпер называецца сфераю Пуанкарэ(руск.) бел., і сфармуляваў канчатковы варыянт сваёй гіпотэзы. Спробы даказаць гіпотэзу Пуанкарэ прывялі да шматлікіх новых вынікаў у тапалогіі мнагастайнасцей.

Доказы абагульненай гіпотэзы Пуанкарэ для n ⩾ 5 атрыманы ў пачатку 1960—1970-х амаль адначасова Смейлам, незалежна і іншымі метадамі Столінгсам(англ.) бел. (для n ⩾ 7, яго доказ быў пашыраны на выпадкі n = 5 і 6 Зееманам(англ.) бел.). Доказ значна цяжэйшага выпадку n = 4 быў атрыман толькі ў 1982 годзе Фрыдманам. З тэарэмы Новікава аб тапалагічнай інварыянтнасці характарыстычных класаў Пантрагіна вынікае, што існуюць гоматапічна эквівалентныя, але не гомеаморфныя мнагастайнасці ў высокіх размернасцях.

Доказ зыходнай гіпотэзы Пуанкарэ (і больш агульнай гіпотэзы Цёрстана) быў знойдзены толькі ў 2002 годзе Рыгорам Перэльманам. Пазней доказ Перэльмана быў правераны і прадстаўлены ў разгорнутым выглядзе сама меней трыма групамі навукоўцаў[1]. Доказ выкарыстоўвае паток Рычы з хірургіяй і ў многім прытрымліваецца плана, намечанага Хамільтанам(руск.) бел., які таксама першым прымяніў паток Рычы.

Прызнанне і ацэнкіПравіць

Гл. таксамаПравіць

ЗноскіПравіць

ЛітаратураПравіць