Гіпотэза Пуанкарэ

Задачы тысячагоддзя
	Роўнасць класаў P і NP
	Гіпотэза Ходжа
	Гіпотэза Пуанкарэ
	Гіпотэза Рымана
	Квантавая тэорыя ; Янга — Мілса
	Існаванне і гладкасць ; рашэнняў ураўненняў; Наўе — Стокса
	Гіпотэза ; Бёрча — Свінертан-Даера

Гіпо́тэза Пуанкарэ́ — адна з самых вядомых задач тапалогіі. Яна дае дастатковую ўмову таго, што прастора з'яўляецца трохмернаю сфераю з дакладнасцю да дэфармацыі.

ФармулёўкаПравіць

Гіпотэза ПуанкарэПравіць

У зыходнай форме гіпотэза Пуанкарэ сцвярджае:

Усякая адназвязная (руск.) (бел. кампактная (руск.) (бел. трохмерная мнагастайнасць (руск.) (бел. без краю гомеаморфная трохмернай сферы.

Абагульненая гіпотэза ПуанкарэПравіць

Абагульненая гіпотэза Пуанкарэ сцвярджае:

Для любога натуральнага ліку n усякая мнагастайнасць размернасці n гоматапічна эквівалентная (руск.) (бел. сферы размернасці n тады і толькі тады, калі яна гомеаморфная ёй.

Зыходная гіпотэза Пуанкарэ з'яўляецца асобным выпадкам абагульненай гіпотэзы пры n = 3.

Схема доказуПравіць

Паток Рычы (руск.) (бел. — гэта пэўнае ўраўненне ў частковых вытворных (руск.) (бел., падобнае на ўраўненне цеплаправоднасці (руск.) (бел.. Ён дазваляе дэфармаваць рыманаву метрыку на мнагастайнасці, але ў працэсе дэфармацыі могуць утварацца «сінгулярнасці» — пункты, у якіх крывізна імкнецца да бесканечнасці, і дэфармацыю немагчыма працягнуць. Асноўны крок у доказе заключаецца ў класіфікацыі такіх сінгулярнасцей у трохмерным арыентаваным выпадку. Пры падыходзе да сінгулярнасці паток спыняюць і ажыццяўляюць «хірургію» (руск.) (бел. — выкідваюць малую звязную кампаненту ці выразаюць «шыю» (г. зн. адкрытую вобласць дыфеаморфную (руск.) (бел. прамому здабытку $(0,1)\times S^{2}$ ), а атрыманыя дзве дзіркі заклейваюць двума шарамі так, што метрыка (руск.) (бел. атрыманай мнагастайнасці становіцца дастаткова гладкаю — пасля чаго працягваюць дэфармацыю ўздоўж патоку Рычы.

Працэс, апісаны вышэй, называецца «паток Рычы з хірургіяй». Класіфікацыя сінгулярнасцей дазваляе заключыць, што кожны «выкінуты кавалак» дыфеаморфны (руск.) (бел. сферычнай прасторавай форме (руск.) (бел..

Пры доказе гіпотэзы Пуанкарэ пачынаюць з адвольнай рыманавай метрыкі на адназвязнай трохмернай мнагастайнасці $M$ і прымяняюць да яе паток Рычы з хірургіяй. Важным крокам з'яўляецца доказ таго, што ў выніку такога працэсу «выкідваецца» ўсё. Гэта значыць, што зыходную мнагастайнасць $M$ можна прадставіць як набор сферычных прасторавых форм $S^{3}/\Gamma _{i}$ , злучаных адна з адною трубкамі $[0,1]\times S^{2}$ . Падлік фундаментальнае групы (руск.) (бел. паказвае, што $M$ дыфеаморфная звязнай суме (руск.) (бел. набору прасторавых форм $S^{3}/\Gamma _{i}$ , і больш таго, усе $\Gamma _{i}$ трывіяльныя. Такім чынам, $M$ з'яўляецца звязнаю сумаю набору сфер, г.зн. сфераю.

ГісторыяПравіць

У 1900 годзе Пуанкарэ выказаў здагадку, што трохмерная мнагастайнасць са ўсімі групамі гамалогій як у сферы гомеаморфнае сферы. У 1904 годзе ён жа знайшоў контрпрыклад, які цяпер называецца сфераю Пуанкарэ (руск.) (бел., і сфармуляваў канчатковы варыянт сваёй гіпотэзы. Спробы даказаць гіпотэзу Пуанкарэ прывялі да шматлікіх новых вынікаў у тапалогіі мнагастайнасцей.

Доказы абагульненай гіпотэзы Пуанкарэ для n ⩾ 5 атрыманы ў пачатку 1960—1970-х амаль адначасова Смейлам, незалежна і іншымі метадамі Столінгсам (англ.) (бел. (для n ⩾ 7, яго доказ быў пашыраны на выпадкі n = 5 і 6 Зееманам (англ.) (бел.). Доказ значна цяжэйшага выпадку n = 4 быў атрыман толькі ў 1982 годзе Фрыдманам. З тэарэмы Новікава аб тапалагічнай інварыянтнасці характарыстычных класаў Пантрагіна вынікае, што існуюць гоматапічна эквівалентныя, але не гомеаморфныя мнагастайнасці ў высокіх размернасцях.

Доказ зыходнай гіпотэзы Пуанкарэ (і больш агульнай гіпотэзы Цёрстана) быў знойдзены толькі ў 2002 годзе Рыгорам Перэльманам. Пазней доказ Перэльмана быў правераны і прадстаўлены ў разгорнутым выглядзе сама меней трыма групамі навукоўцаў^[1]. Доказ выкарыстоўвае паток Рычы з хірургіяй і ў многім прытрымліваецца плана, намечанага Хамільтанам (руск.) (бел., які таксама першым прымяніў паток Рычы.

Прызнанне і ацэнкіПравіць

Фрыдман (у 1986 годзе) і Перэльман (у 2006 годзе) сталі Філдсаўскімі лаўрэатамі.
У 2006 годзе часопіс Science назваў доказ Перэльманам гіпотэзы Пуанкарэ навуковым «прарывам года» («Breakthrough of the Year» (англ.) (бел.)^[2]. Гэта першая праца па матэматыцы, якая заслужыла такое званне^[3].
У 2006 годзе Сільвія Назар (руск.) (бел. апублікавала нашумелы^[4] артыкул «Manifold Destiny» (руск.) (бел., які расказвае гісторыю доказу гіпотэзы Пуанкарэ^[5].
18 сакавіка 2010 года Матэматычны інстытут Клэя (руск.) (бел. прысудзіў Прэмію тысячагоддзя за доказ гіпотэзы Пуанкарэ Р. Я. Перэльману^[6], але той адмовіўся яе браць.

Гл. таксамаПравіць

Адкрытыя матэматычныя праблемы (руск.) (бел.
Задачы тысячагоддзя (руск.) (бел.

ЗноскіПравіць

↑ И. Иванов Полное доказательство гипотезы Пуанкаре предъявлено уже тремя независимыми группами математиков 03/08/06, elementy.ru
↑ Dana Mackenzie (2006). "BREAKTHROUGH OF THE YEAR: The Poincaré Conjecture—Proved". Science 314 (5807): 1848-1849. doi:10.1126/science.314.5807.1848. http://www.sciencemag.org/cgi/content/full/314/5807/1848. (англ.)
↑ Keith Devlin. The biggest science breakthrough of the year. Mathematical Association of America. 2006.
↑ Сярод іншага, «Manifold Destiny» была ўключана ў кнігу The Best American Science Writing за 2007 год.
↑ Sylvia Nasar, David Gruber (2006). "Manifold Destiny: A legendary problem and the battle over who solved it". The New Yorker (August 21). http://www.newyorker.com/fact/content/articles/060828fa_fact2. Рускі пераклад: «Многообразная судьба: Легендарная задача и битва за приоритет».
↑ Prize for Resolution of the Poincaré Conjecture Awarded to Dr. Grigoriy Perelman Архівавана 31 сакавіка 2010. (англ.). Пресс-релиз математического института Клэя.

ЛітаратураПравіць

Perelman, Grisha (November 11, 2002). "The entropy formula for the Ricci flow and its geometric applications". arΧiv:math.DG/0211159 [math.DG].
Perelman, Grisha (March 10, 2003). "Ricci flow with surgery on three-manifolds". arΧiv:math.DG/0303109 [math.DG].
Perelman, Grisha (July 17, 2003). "Finite extinction time for the solutions to the Ricci flow on certain three-manifolds". arΧiv:math.DG/0307245 [math.DG].
J. Milnor, The Poincaré Conjecture 99 Years Later: A Progress Report (англ.)
С. Николенко Проблемы 2000: Гипотеза Пуанкаре // Компьютерра. — 2006. — № 1-2.
John W.Morgan, Gang Tian Ricci Flow and the Poincare Conjecture (англ.)
B. Kleiner, J. Lott Notes on Perelman's papers (англ.)
Terence Tao Perelman's proof of the Poincaré conjecture: a nonlinear PDE perspective (англ.)

[1] И. Иванов Полное доказательство гипотезы Пуанкаре предъявлено уже тремя независимыми группами математиков 03/08/06, elementy.ru

[2] Dana Mackenzie (2006). "BREAKTHROUGH OF THE YEAR: The Poincaré Conjecture—Proved". Science 314 (5807): 1848-1849. doi:10.1126/science.314.5807.1848. http://www.sciencemag.org/cgi/content/full/314/5807/1848. (англ.)

[3] Keith Devlin. The biggest science breakthrough of the year. Mathematical Association of America. 2006.

[4] Сярод іншага, «Manifold Destiny» была ўключана ў кнігу The Best American Science Writing за 2007 год.

[5] Sylvia Nasar, David Gruber (2006). "Manifold Destiny: A legendary problem and the battle over who solved it". The New Yorker (August 21). http://www.newyorker.com/fact/content/articles/060828fa_fact2. Рускі пераклад: «Многообразная судьба: Легендарная задача и битва за приоритет».

[6] Prize for Resolution of the Poincaré Conjecture Awarded to Dr. Grigoriy Perelman Архівавана 31 сакавіка 2010. (англ.). Пресс-релиз математического института Клэя.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]