Гіпотэза Бёрча — Свінертан-Даера

У матэматыцы, гіпо́тэза Бёрча — Сві́нертан-Да́ера — адкрытая праблема ў тэорыі лікаў, матэматычная здагадка пра ўласцівасці эліптычных крывых.

Задачы тысячагоддзя
Роўнасць класаў P і NP
Гіпотэза Ходжа
Гіпотэза Пуанкарэ
Гіпотэза Рымана
Квантавая тэорыя Янга — Мілса
Існаванне і гладкасць  рашэнняў ураўненняў Наўе — Стокса
Гіпотэза Бёрча — Свінертан-Даера

Яна лічыцца адной з самых складаных матэматычных праблем. Гіпотэза была ўнесена ў спіс з сямі задач тысячагоддзя, састаўлены Матэматычным інстытутам Клэя, які прапанаваў узнагароду $1 000 000 за першы правільны доказ. Праблема названа так у гонар матэматыкаў Браяна Бёрча і Пітэра Свінертан-Даера, якія распрацоўвалі гіпотэзу на працягу першай палавіны 1960-х гг. з дапамогай машынных вылічэнняў. На 2014 год даказаныя толькі асобныя выпадкі гіпотэзы.

Гіпотэза суадносіць арыфметычныя даныя, звязаныя з эліптычнаю крывою E над лікавым полем K, з паводзінамі L-функцыі Хассэ — Вейля L(E, s) крывой E у пункце s = 1. А іменна, выказана здагадка, што ранг абелевай групы E(K) пунктаў крывой E раўняецца парадку нуля функцыі L(E, s) у пункце s = 1, а першы ненулявы каэфіцыент у раскладанні Тэйлара функцыі L(E, s) у s = 1 вызначаецца больш тонкімі арыфметычнымі характарыстыкамі крывой E над K (Wiles 2006).

Найбольш яркім дасягненнем па стане на 2014 год астаецца даказанае ў 1977 годзе Джонам Коўтсам і Эндру Уайлсам сцвярджэнне, справядлівае для вялікага класа эліптычных крывых аб тым, што калі крывая E утрымлівае бесканечна многа рацыянальных пунктаў, то L(E, 1) = 0.

Перадумовы

Мордэл (Mordell 1922) даказаў тэарэму: група рацыянальных пунктаў на эліптычнай крывой мае канечны базіс. Гэта азначае, што для любой эліптычнай крывой існуе канечнае падмноства рацыянальных пунктаў на крывой, з якіх можна спарадзіць усе астатнія рацыянальныя пункты.

Калі колькасць рацыянальных пунктаў на крывой бесканечная, то некаторы пункт з канечнага базіса павінен мець бесканечны парадак. Лік незалежных базісных пунктаў з бесканечным парадкам называецца рангам крывой і з’яўляецца важнаю інварыянтнаю ўласцівасцю эліптычнай крывой.

Калі ранг эліптычнай крывой роўны 0, тады крывая мае толькі канечны лік рацыянальных пунктаў. З другога боку, калі ранг крывой большы за 0, то крывая мае бесканечна многа рацыянальных пунктаў.

Хаця Мордэлава тэарэма паказвае, што ранг эліптычнай крывой заўсёды канечны, яна не дае эфектыўнага спосабу вылічэння рангу кожнай крывой. Ранг некаторых эліптычных крывых можна вылічыць, карыстаючыся лікавымі метадамі, але (на сённяшнім узроўні ведаў) яны не паддаюцца абагульненню на ўсе крывыя.

L-функцыя L(E, s) можа быць вызначана для эліптычнай крывой E пабудаваннем Эйлеравага здабытку з колькасці пунктаў на крывой па модулю кожнага простага p. Гэтая L-функцыя з’яўляецца аналагам дзэта-функцыі Рымана і L-рада Дзірыхле, вызначанага для бінарнай квадратычнай формы. Яна з’яўляецца адмысловым выпадкам L-функцыі Хассэ — Вейля.

Натуральнае азначэнне функцыі L(E, s) збягаецца толькі пры тых камплексных s, для якіх Re(s) > 3/2. Хельмут Хассэ выказаў здагадку, што функцыю L(E, s) можна аналітычна пашырыць на ўсю камплексную плоскасць. Гэтая здагадка была ўпершыню даказана Дойрынгам (Deuring 1941) для эліптычных крывых з камплексным множаннем. Пазней было паказана, што гэта справядліва для ўсіх эліптычных крывых над Q, як вынік з тэарэмы аб мадулярнасці.

Пошук рацыянальных пунктаў на эліптычных крывых агульнага выгляду — складаная праблема. Пошук пунктаў на эліптычнай крывой па модулю пэўнага простага p ідэйна няхітры, бо неабходна праверыць толькі канечнае мноства магчымасцей. Аднак, пры вялікіх простых знаходжанне пунктаў будзе вылічальна натужлівым.

Гісторыя

Графік $f(X)=\prod _{p\leq X}{\frac {N_{p}}{p}}$ для крывой y² = x³ − 5x, калі X прабягае першыя 100000 простых. Па восі X адкладваецца log(log(X)), а вось Y у лагарыфмічнай шкале. Такім чынам, здагадка прадказвае, што даныя павінны ляжаць каля прамой з вуглавым каэфіцыентам, роўным рангу крывой, які ў дадзеным выпадку раўняецца адзінцы. Для параўнання на графіку нарысована чырвоная прамая з вуглавым каэфіцыентам 1.

У пачатку 1960-х гг. Пітэр Свінертан-Даер займаўся на камп’ютары EDSAC у Вылічальнай лабараторыі вылічэннем колькасці пунктаў па модулю p (абазначаецца як N_p) для вялікай колькасці простых p на эліптычных крывых, ранг якіх быў вядомы. На аснове вынікаў вылічальных эксперыментаў Свінертан-Даер (Birch & Swinnerton-Dyer 1965) выказаў здагадку, што N_p для крывой E з рангам r падпарадкоўваецца асімптатычнаму закону

$\prod _{p\leq x}{\frac {N_{p}}{p}}\approx C\log(x)^{r},\qquad x\rightarrow \infty$

дзе C — пастаянная.

Першапачаткова здагадка грунтавалася на не вельмі пераканаўчых заканамернасцях на графіках; гэта дало падставы для пэўнага скептыцызму. Праз нейкі час накапіліся лікавыя даныя на карысць здагадкі.

Гэта, у сваю чаргу, прывяло іх да агульнай здагадкі аб паводзінах L-функцыі крывой L(E, s) у пункце s = 1, а іменна, што яна будзе мець нуль парадку r у гэтым пункце. Гэта была праніклівая гіпотэза для таго часу, калі ўлічыць, што аналітычны працяг функцыі L(E, s) быў устаноўлены яшчэ толькі для крывых з камплексным множаннем, якія былі таксама асноўнаю крыніцай лікавых прыкладаў. (Варта заўважыць, што адваротнае значэнне L-функцыі з пэўнага погляду з’яўляецца больш натуральным аб’ектам для даследавання; у такім выпадку гэта азначае, што трэба разглядаць полюсы, а не нулі.)

Гіпотэза пазней была пашырана, каб уключыць прадказанне дакладнага значэння першага ненулявога каэфіцыента рада Тэйлара L-функцыі ў пункце s = 1. Згодна з гіпотэзай гэты каэфіцыент раўняецца

${\frac {L^{(r)}(E,1)}{r!}}={\frac {\#\mathrm {Sha} (E)\Omega _{E}R_{E}\prod _{p|N}c_{p}}{(\#E_{\mathrm {Tor} })^{2}}}$

дзе велічыні ў правай частцы — гэта інварыянты крывой, якія даследаваліся Касэлсам, Тэйтам, Шафарэвічам і іншымі: у формулу ўваходзяць парадак перыядычнай групы, парадак групы Тэйта — Шафарэвіча, і кананічныя вышыні базіса рацыянальных пунктаў (Wiles 2006).

Цяперашні стан

Гіпотэза Бёрча — Свінертан-Даера даказана толькі ў асобных выпадках:

1. Коўтс і Уайлс (Coates & Wiles 1977) даказалі, што калі E — крывая над лікавым полем F з камплексным множаннем адносна ўяўнага квадратычнага поля K з лікам класаў 1, F = K ці Q, і L(E, 1) не роўная 0, тады E(F) — канечная група. У рабоце Ніколь Арто (Arthaud 1978) гэтае сцвярджэнне было пашырана на выпадак, калі F — адвольнае канечнае абелева пашырэнне поля K.
2. Грос і Цагір (Gross & Zagier 1986) паказалі, што калі L-функцыя мадулярнай эліптычнай крывой мае нуль першага парадку ў пункце s = 1, тады на крывой ёсць рацыянальны пункт бесканечнага парадку; гл. тэарэма Гроса — Цагіра.
3. Калывагін (Kolyvagin 1989) паказаў, што мадулярная эліптычная крывая E, для якой L(E, 1) не роўная нулю, мае ранг 0, а мадулярная эліптычная крывая E, для якой L(E, 1) мае нуль першага парадку ў s = 1, мае ранг 1.
4. Рубін (Rubin 1991) паказаў, што для эліптычных крывых, вызначаных над уяўным квадратычным полем K з камплексным множаннем па полі K, калі L-рад эліптычнай крывой не роўны нулю ў s = 1, тады p-частка групы Тэйта — Шафарэвіча мае парадак, прадказаны гіпотэзай Бёрча — Свінертан-Даера для ўсіх простых p > 7.
5. Група матэматыкаў (Breuil et al. 2001), працягваючы работу (Wiles 1995), даказала, што ўсе эліптычныя крывыя, вызначаныя над полем рацыянальных лікаў, з'яўляюцца мадулярнымі, што пашырае вынікі 2 і 3 на ўсе эліптычныя крывыя над рацыянальнымі лікамі і паказвае, што L-функцыі ўсіх эліптычных крывых над Q вызначаны ў пункце s = 1.
6. Бхаргава і Шанкар (Bhargava & Shankar 2014) даказалі, што сярэдні ранг групы Мордэла — Вейля эліптычнай крывой над Q абмежаваны зверху лікам 7/6. Аб’ядноўваючы гэта з тэарэмай аб p-цотнасці (гл. (Nekovář 2009) і (Dokchitser & Dokchitser 2010)) і з доказам галоўнай гіпотэзы тэорыі Івасавы для GL(2) (Skinner & Urban 2014), яны вывелі, што дадатная доля эліптычных крывых над Q мае нулявы аналітычны ранг, і такім чынам, згодна з працаю (Kolyvagin 1989), задавальняе гіпотэзу Бёрча — Свінертан-Даера.

Нічога не даказана для крывых з рангам, большым за 1, хоць на карысць гіпотэзы сведчыць вялікая колькасць лікавых дадзеных.

Вынікі

Як і з гіпотэзы Рымана, са здагадкі Бёрча — Свінертан-Даера вынікае мноства вывадаў, у тым ліку наступныя два:

• Хай n — няцотны свабодны ад квадратаў цэлы лік. Калі здагадка Бёрча — Свінертан-Даера правільная, лік n з’яўляецца плошчаю прамавугольнага трохвугольніка з рацыянальнымі даўжынямі старон (кангруэнтным лікам) тады і толькі тады, калі колькасць троек цэлых лікаў (x, y, z), якія задавальняюць роўнасць $2x^{2}+y^{2}+8z^{2}=n$, раўняецца падвоенай колькасці цэлалікавых троек, якія задавальняюць $2x^{2}+y^{2}+32z^{2}=n$. Гэтае сцвярджэнне, праз тэарэму Танэла (Tunnell 1983), звязана з тым фактам, што лік n з’яўляецца кангруэнтным тады і толькі тады, калі эліптычная крывая $y^{2}=x^{3}-n^{2}x$ мае рацыянальны пункт бесканечнага парадку (і такім чынам, пры справядлівасці здагадкі Бёрча — Свінертан-Даера, яе L-функцыя мае нуль у пункце 1). Сцвярджэнне цікавае тым, што выкананне яго ўмовы лёгка праверыць.
• У іншым напрамку, некаторыя аналітычныя метады дазваляюць ацэньваць парадак нулёў пасярэдзіне крытычнай паласы сямействаў L-функцый. Паводле гіпотэзы Бёрча — Свінертан-Даера, гэтыя ацэнкі адпавядаюць інфармацыі аб рангу сямействаў разглядаемых эліптычных крывых. Напрыклад: пры дапушчэнні абагульненай гіпотэзы Рымана і здагадкі Бёрча — Свінертан-Даера, сярэдні ранг крывых, зададзеных ураўненнем $y^{2}=x^{3}+ax+b$, меншы чым 2.

Гл. таксама

• Адкрытыя матэматычныя праблемы
• Эліптычная крывая
• L-функцыя Дзірыхле

Літаратура

• Arthaud, Nicole (1978). "On Birch and Swinnerton-Dyer's conjecture for elliptic curves with complex multiplication". Compositio Mathematica. 37 (2): 209–232. MR 0504632.
• Bhargava, Manjul; Shankar, Arul (2014). "Ternary cubic forms having bounded invariants, and the existence of a positive proportion of elliptic curves having rank 0". Annals of Mathematics. Forthcoming. arXiv:1007.0052.
• Birch, Bryan; Swinnerton-Dyer, Peter (1965). "Notes on Elliptic Curves (II)". J. Reine Angew. Math. 165 (218): 79–108. doi:10.1515/crll.1965.218.79.
• Breuil, Christophe; Conrad, Brian; Diamond, Fred; Taylor, Richard (2001). "On the Modularity of Elliptic Curves over Q: Wild 3-Adic Exercises". Journal of the American Mathematical Society. 14 (4): 843–939. doi:10.1090/S0894-0347-01-00370-8.
• Coates, J.H.; Greenberg, R.; Ribet, K.A.; Rubin, K. (1999). Arithmetic Theory of Elliptic Curves. Lecture Notes in Mathematics. Vol. 1716. Springer-Verlag. ISBN 3-540-66546-3.
• Coates, J.; Wiles, A. (1977). "On the conjecture of Birch and Swinnerton-Dyer". Inventiones Mathematicae. 39 (3): 223–251. doi:10.1007/BF01402975. Zbl 0359.14009.
• Deuring, Max (1941). "Die Typen der Multiplikatorenringe elliptischer Funktionenkörper". Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg. 14 (1): 197–272. doi:10.1007/BF02940746.
• Dokchitser, Tim; Dokchitser, Vladimir (2010). "On the Birch-Swinnerton-Dyer quotients modulo squares". Annals of Mathematics. 172 (1): 567–596. doi:10.4007/annals.2010.172.567. MR 2680426.
• Gross, Benedict H.; Zagier, Don B. (1986). "Heegner points and derivatives of L-series". Inventiones Mathematicae. 84 (2): 225–320. doi:10.1007/BF01388809. MR 0833192.
• Kolyvagin, Victor (1989). "Finiteness of E(Q) and X(E, Q) for a class of Weil curves". Math. USSR Izv. 32: 523–541. doi:10.1070/im1989v032n03abeh000779.
• Mordell, Louis (1922). "On the rational solutions of the indeterminate equations of the third and fourth degrees". Proc. Cambridge Phil. Soc. 21: 179–192.
• Nekovář, Jan (2009). "On the parity of ranks of Selmer groups IV". Compositio Mathematica. 145 (6): 1351–1359. doi:10.1112/S0010437X09003959.
• Rubin, Karl (1991). "The 'main conjectures' of Iwasawa theory for imaginary quadratic fields". Inventiones Mathematicae. 103 (1): 25–68. doi:10.1007/BF01239508. Zbl 0737.11030.
• Skinner, Christopher; Urban, Éric (2014). "The Iwasawa main conjectures for GL₂". Inventiones Mathematicae. 195 (1): 1–277. doi:10.1007/s00222-013-0448-1.
• Tunnell, Jerrold B. (1983). "A classical Diophantine problem and modular forms of weight 3/2". Inventiones Mathematicae. 72 (2): 323–334. doi:10.1007/BF01389327. Zbl 0515.10013.
• Wiles, Andrew (1995). "Modular elliptic curves and Fermat's last theorem". Annals of Mathematics. Second Series. 141 (3): 443–551. ISSN 0003-486X. JSTOR 2118559. MR 1333035.
• Wiles, Andrew (2006). "The Birch and Swinnerton-Dyer conjecture" (PDF). In Carlson, James; Jaffe, Arthur; Wiles, Andrew (рэд-ры). The Millennium prize problems. American Mathematical Society. pp. 31–44. ISBN 978-0-8218-3679-8.
• Коблиц Н. Введение в эллиптические кривые и модулярные формы / под редакцией Ю. И. Манина. — М.: Мир, 1988.
• Айерлэнд К., Роузен М. Классическое введение в современную теорию чисел. — М.: Мир, 1987.

Спасылкі

• Weisstein, Eric W.. Swinnerton-Dyer Conjecture (нявызн.). MathWorld.

• Birch and Swinnerton-Dyer Conjecture (англ.) на сайце PlanetMath.