Дзэта-функцыя Рымана

Якасны графік дзэта-функцыі Рымана на рэчаіснай восі. Злева ад нуля значэнні функцыі павялічаны ў 100 разоў для нагляднасці

Дзэта-функцыя Рымана — функцыя камплекснай зменнай , якую пры вызначаюць з дапамогаю рада Дзірыхле:

дзе .

У зададзенай вобласці гэты рад збягаецца, з'яўляецца аналітычнаю функцыяй і дапушчае аналітычны працяг на ўсю камплексную плоскасць без адзінкі.

Дзэта-функцыя Рымана для рэчаісных s > 1

Тоеснасць ЭйлераПравіць

У зыходнай вобласці таксама справядліва прадстаўленне ў выглядзе бесканечнага здабытку (тоеснасць Эйлера)

  ,

дзе здабытак бярэцца па ўсіх простых ліках p.

Гэта роўнасць з'яўляецца адной з асноўных уласцівасцей дзэта-функцыі.

УласцівасціПравіць

 
Дзэта-функцыя Рымана на камплекснай плоскасці
  • Існуюць яўныя формулы для значэнняў дзэта-функцыі ў цотных цэлых пунктах:
     
    дзе  лік Бернулі.
    • Напрыклад,  
  • Пра значэнні дзэта-функцыі ў няцотных цэлых пунктах вядома мала: лічыцца, што яны ірацыянальныя і нават трансцэндэнтныя, але пакуль даказана толькі ірацыянальнасць ліку ζ(3) (Ражэ Аперы, 1978). Таксама даказана, што сярод значэнняў ζ(5), ζ(7), ζ(9), ζ(11) ёсць хаця б адзін ірацыянальны[1].
  • Пры  
    •  
    дзе  функцыя Мёбіуса
    •  
    дзе  лік дзельнікаў ліку  
    •  
    дзе   — лік простых дзельнікаў ліку  
  •   мае ў пункце   просты полюс з вылікам, роўным 1.
  • Дзэта-функцыя пры   задавальняе ўраўненне:
     
    дзе  гама-функцыя Эйлера. Гэта ўраўненне называецца функцыянальным ураўненнем Рымана.
  • Для так званай ксі-функцыі Рымана
     
    уведзенай Рыманам для даследавання  , гэта ўраўненне прымае выгляд:
     

Нулі дзэта-функцыіПравіць

Як вынікае з функцыянальнага ўраўнення Рымана, у паўплоскасці  , функцыя   мае толькі простыя нулі ў адмоўных цотных пунктах:

 

Гэтыя нулі называюцца «трывіяльнымі» нулямі дзэта-функцыі. Далей,   пры рэчаісных  . Такім чынам, усе «нетрывіяльныя» нулі дзэта-функцыі — камплексныя лікі. Акрамя таго, яны размяшчаюцца сіметрычна адносна рэчаіснае восі і адносна вертыкалі   і ляжаць у паласе  , якая называецца крытычнаю паласою. Згодна з гіпотэзаю Рымана, яны ўсе знаходзяцца на крытычнай прамой  .

АбагульненніПравіць

Існуе даволі вялікая колькасць адмысловых функцый, звязаных з дзэта-функцыяй Рымана і аб'яднаных пад агульнай назваю дзэта-функцыі. Напрыклад:

якая супадае з дзэта-функцыяй Рымана пры q = 1 (бо сумаванне вядзецца ад 0, а не ад 1).
  • Полілагарыфм:
     
які супадае з дзэта-функцыяй Рымана пры z = 1.
якая супадае з дзэта-функцыяй Рымана пры z = 1 і q = 1 (бо сума бярэцца ад 0, а не ад 1).

ГісторыяПравіць

Як функцыя рэчаіснай зменнай, дзэта-функцыя была ўведзена ў 1737 годзе Эйлерам, які і знайшоў формулу яе раскладання ў здабытак. Затым гэту функцыю разглядаў Дзірыхле і, асабліва паспяхова, Чабышоў пры даследаванні закону размеркавання простых лікаў. Але найбольш глыбокія ўласцівасці дзэта-функцыі былі выяўлены пазней, пасля працы Рымана (1859), у якой дзэта-функцыя разглядалася як функцыя камплекснай зменнай.

Зноскі

  1. В. В. Зудилин Об иррациональности значений дзета-функции в нечетных точках // УМН. — 2001. — Т. 56. — № 2(338). — С. 215–216.

СпасылкіПравіць