Моманты выпадковай велічыні

Момант выпадковай велічыні — лікавая характарыстыка размеркавання выпадковай велічыні.

Азначэнне

Момантам парадку $k$ выпадковай велічыні $X$ адносна пункта $a\in \mathbb {R}$ завецца лік^:128

$\nu _{k}(a):=\mathbb {E} [(X-a)^{k}],$

дзе $\mathbb {E}$ — матэматычнае спадзяванне. Кажуць, што момант існуе, калі існуе матэматычнае спадзяванне ў правай частцы роўнасці. Інакш кажуць, што момант не існуе.

Калі $a=0$ момант завецца пачатковым, а пры $a=\mathbb {E} [X]$ — цэнтральным.

$\displaystyle k$-м фактарыяльным момантам выпадковай велічыні $\displaystyle X$ называецца велічыня

$\mu _{k}=\mathbb {E} \left[X(X-1)...(X-k+1)\right],$

калі матэматычнае спадзяванне ў правай частцы гэтай роўнасці існуе.

Прыклады

Матэматычнае спадзяванне

Асноўны артыкул: Матэматычнае спадзяванне

Першы пачатковы момант $\nu _{1}(0)$ ёсць матэматычным спадзяваннем выпадковай велічыні.

Дысперсія

Асноўны артыкул: Дысперсія выпадковай велічыні

Другі цэнтральны момант $\nu _{2}(\mathbb {E} [X])$ завецца дысперсіяй выпадковай велічыні $X.$

Дысперсія — мінімальнае значэнне моманту другога парадку $\nu _{2}(a),$ якое дасягаецца ў пункце $a=\mathbb {E} [X]$^:128-129.

Моманты другога парадку запісваюцца праз дысперсію як $\nu _{2}(a)=Var(X)+(E[X]-a)^{2}.$

Заўвагі

• Калі існуюць моманты $\displaystyle k$-га парадку, то існуюць і ўсе моманты ніжэйшых парадкаў $1\leqslant k'<k.$
• У сілу лінейнасці матэматычнага спадзявання цэнтральныя моманты можна запісаць праз пачатковыя, і наадварот. Напрыклад:

$\displaystyle \mu _{1}=0,$

$\displaystyle \mu _{2}=\nu _{2}-\nu _{1}^{2},$

$\displaystyle \mu _{3}=\nu _{3}-3\nu _{1}\nu _{2}+2\nu _{1}^{3},$

$\displaystyle \mu _{4}=\nu _{4}-4\nu _{1}\nu _{3}+6\nu _{1}^{2}\nu _{2}-3\nu _{1}^{4},$ і гэтак далей.