Формулы Віета

(Пасля перасылкі з Тэарэма Віета)

Формулы Віета — формулы, якія выражаюць каэфіцыенты мнагачлена праз яго карані.

Гэтымі формуламі зручна карыстацца для праверкі правільнасці знаходжання каранёў мнагачлена, а таксама для састаўлення мнагачлена па зададзеных каранях.

ФармулёўкаПравіць

Калі   — карані мнагачлена

 

(кожны корань узяты адпаведную яго кратнасці колькасць разоў), то каэфіцыенты   выражаюцца ў выглядзе сіметрычнага мнагачлена ад каранёў, а менавіта:

 

Інакш кажучы,   роўнае суме ўсіх магчымых здабыткаў з   каранёў:

 

Калі старшы каэфіцыент мнагачлена  , то для прымянення формулы Віета неабходна спачатку падзяліць усе каэфіцыенты на   (гэта не ўплывае на значэнне каранёў мнагачлена). У гэтым выпадку формулы Віета даюць выраз для адносін усіх каэфіцыентаў да старшага. З апошняй формулы Віета вынікае, што калі карані мнагачлена цэлалікавыя, то яны з'яўляюцца дзельнікамі яго свабоднага члена, які пры гэтым таксама цэлалікавы.

ДоказПравіць

Доказ вынікае з роўнасці, атрыманай раскладаннем мнагачлена па каранях, улічваючы,  

 

Прыраўноўваючы каэфіцыенты пры аднолькавых ступенях   (тэарэма адзінасці), атрымліваем формулы Віета.

ПрыкладыПравіць

Квадратнае ўраўненнеПравіць

Калі   і   — карані квадратнага ўраўнення   ,то

 

У асобным выпадку, калі   (прыведзеная форма  ), то

 

Кубічнае ўраўненнеПравіць

Калі   — карані кубічнага ўраўнення   то

 

Гл. таксамаПравіць