Формула поўнага матэматычнага спадзявання

Формула поўнага матэматычнага спадзявання — закон тэорыі імавернасцей, які звязвае матэматычнае спадзяванне выпадковай велічыні з умоўным матэматычным спадзяваннем.

Фармулёўка правіць

Няхай $E_{1},E_{2},\dots ,E_{n}$ — поўная група падзей, такая што $P(E_{k})>0$ для ўсіх $k=1,2,\dots ,n.$ Тады для ўсякай выпадковай велічыні $X$ , у якой існуюць адпаведныя матэматычныя спадзяванні, праўдзіцца роўнасць^[1]

\mathbb {E} [X]=\sum _{k=1}^{n}P(E_{k})\mathbb {E} [X|E_{k}].

Доказ правіць

Доказ формулы вынікае з азначэння ўмоўнага матэматычнага спадзявання:

\mathbb {E} [X|E_{k}]={\frac {1}{P(E_{k})}}\int _{E_{k}}X(\omega )dP(\omega ).

Карыстаючыся тым, што $E_{1},E_{2},\dots ,E_{n}$ — поўная група падзей і азначэннем вышэй, атрымліваем^[1]

\mathbb {E} [X]=\int _{\Omega }X(\omega )dP(\omega )=\sum _{k=1}^{n}\int _{E_{k}}X(\omega )dP(\omega )=\sum _{k=1}^{n}P(E_{k})\mathbb {E} [X|E_{k}].

Прыклад правіць

Няхай толькі два заводы пастаўляюць электрычныя лямпачкі на рынак. Лямпачкі з завода $X$ працуюць у сярэднім 5000 гадзін, а лямпачкі з завода $Y$ — у сярэднім 4000 гадзін. Вядома, што завод $X$ пастаўляе 60 % ад агульнай колькасці даступных лямпачак. Якое матэматычнае спадзяванне часу дзеяння выпадкова набытай лямпачкі?

Скарыстаўшы формулу поўнага матэматычнага спадзявання, атрымліваем:

{\begin{aligned}\mathbb {E} [L]&=\mathbb {E} [L\mid X]\operatorname {P} (X)+\mathbb {E} [L\mid Y]\operatorname {P} (Y)\\[3pt]&=5000(0.6)+4000(0.4)\\[2pt]&=4600,\end{aligned}}

дзе

$\mathbb {E} [L]$ — матэматычнае спадзяванне часу дзеяння лямпачкі;
$\operatorname {P} (X)={6 \over 10}$ — імавернасць таго, што набытая лямпачка была зроблена на заводзе $X;$
$\operatorname {P} (Y)={4 \over 10}$ — імавернасць таго, што набытая лямпачка была зроблена на заводзе $Y;$
$\mathbb {E} [L\mid X]=5000$ — матэматычнае спадзяванне часу дзеяння лямпачкі, зробленай на заводзе $X;$
$\mathbb {E} [L\mid Y]=4000$ — матэматычнае спадзяванне часу дзеяння лямпачкі, зробленай на заводзе $Y.$