Гаусавы цэлыя лікі

Гаусавы цэлыя лікі (гаусавы лікі, цэлыя камплексныя лікі) — гэта камплексныя лікі, у якіх і рэчаісная, і ўяўная частка — цэлыя лікі. Упершыню ўведзены Гаусам у манаграфіі «Тэорыя біквадратычных вылікаў» (1828—1832). Мноства гаусавых цэлых лікаў прынята абазначаць $\mathbb {Z} [i],$ іх уласцівасці падобныя на ўласцівасці мноства звычайных цэлых лікаў $\mathbb {Z} ,$ але ёсць і істотныя адрозненні.

Рашотка гаусавых лікаў на камплекснай плоскасці

Агульныя ўласцівасці

Азначэнне і класіфікацыя

Фармальнае азначэнне:

$\mathbb {Z} [i]=\{a+bi:a,b\in \mathbb {Z} \}.$

Мноства $\mathbb {Z} [i]$ утрымлівае мноства звычайных цэлых лікаў $\mathbb {Z}$ і з’яўляецца яго пашырэннем. Сума, рознасць і здабытак гаусавых лікаў з’яўляюцца гаусавымі лікамі; такая алгебраічная структура называецца колцам. Увесці ў гэтым камплексным колцы ўпарадкаванасць немагчыма. Адзначым таксама, што спалучаны да гаусавага ліку $a+bi$ ёсть таксама гаусаў лік $a-bi.$

Кожны лік $z=a+bi$ задавальняе квадратнае ўраўненне:

$(z-a)^{2}+b^{2}=0.$

Таму гаусаў лік ёсць цэлы алгебраічны лік.

Норма

Норма для гаусавага ліку $a+bi$ вызначаецца як квадрат яго модуля:

$N\left(a+bi\right)=a^{2}+b^{2}=(a+bi){\overline {(a+bi)}}.$

Уласцівасці нормы:

• Норма роўная нулю толькі для нуля. У астатніх выпадках норма — дадатны цэлы лік.
• Нормы спалучаных лікаў супадаюць.
• Норма звычайнага цэлага ліку роўная яго квадрату.
• Калі норма няцотная, то яна мае від 4n + 1, г. зн. пры дзяленні яе на 4 атрымліваецца астача 1. Ніякі гаусаў лік не можа мець норму віду 4n + 3.

Норма, як і модуль, мае ўласцівасць мультыплікатыўнасці:

$N(u\cdot v)=N(u)\cdot N(v).$

Адсюль вынікае, што абарачальнымі элементамі колца (дзельнікамі адзінкі) з’яўляюцца тыя элементы, чыя норма роўная 1, г. зн. $\{1;-1;i;-i\}.$

Два гаусавыя лікі называюцца асацыіраванымі, калі адзін атрымліваецца з другога дамнажэннем на дзельнік адзінкі. Лёгка бачыць, што асацыіраванасць — дачыненне эквівалентнасці. Прыклад: гаусавы лікі 1 + i і 1 − i асацыіраваныя, бо:

$1+i=i(1-i).$

У кожнага ненулявога гаусавага ліку ёсць тры асацыіраваныя з ім. Нормы ўсіх чатырох асацыіраваных паміж сабою лікаў супадаюць.

Тэорыя дзялімасці

Дзяленне цалкам

Дзяленне цалкам гаусавых лікаў вызначаецца звычайным чынам:

Кажуць, што гаусаў лік $u$ дзеліцца (цалкам) на гаусаў лік $v$, калі існуе трэці гаусаў лік $q$ такі, што $u=vq$. Абазначэнне: $v|u.$

Чытанне: адзін з трох раўназначных варыянтаў,

• $u$ дзеліцца на $v;$
• $v$ дзеліць $u;$
• $v$ — дзельнік $u.$

Ужываюцца традыцыйныя тэрміны: дзеліва ці кратнае ($u$), дзельнік ($v$) і дзель ($q$). Колькасць дзельнікаў гаусавага ліку заўсёды канечная, колькасць кратных бесканечная.

Прыклад: лік 2 дзеліцца цалкам на 1 + i, таму што $~2=(1+i)(1-i)$.

Усе гаусавы лікі дзеляцца на дзельнікі адзінкі, таму любы гаусаў лік, які не дзеліць адзінку, мае сама менш 8 дзельнікаў: 4 дзельнікі адзінкі і 4 іх здабыткі на сам лік. Гэтыя дзельнікі называюцца трывіяльнымі.

Дзяленне цалкам у $\mathbb {Z} [i]$ па сваіх уласцівасцях падобнае на дзяленне цалкам цэлых лікаў. Некаторыя асаблівасці дзялімасці гаусавых лікаў:

• Калі гаусаў лік $z$ дзеліцца цалкам на звычайны цэлы лік, то на гэты цэлы лік дзеляцца як рэчаісная, так і ўяўная частка $z.$
• Калі $u|v$ і $v|u$, то гэтыя лікі асацыіраваныя.
• Калі $u|v$, то любы з 3 лікаў, асацыіраваных з $v,$ дзеліцца на любы з 3 лікаў, асацыіраваных з $u$.
• Калі $u$ дзеліцца на $v\;(u=vq)$, то спалучаны да дзялімага ліку ${\overline {u}}$ дзеліцца на спалучаны да дзельніка ${\overline {v}}\;({\overline {u}}={\overline {v}}{\overline {q}}).$
• Усе дзельнікі гаусавага ліку $z$ з’яўляюцца таксама дзельнікамі яго нормы $N(z)=z\cdot {\overline {z}}.$
• Норма гаусавага ліку цотная тады і толькі тады, калі гэты лік дзеліцца на $~1+i.$
• Калі $v|u$, то і норма дзеліва, па мультыплікатыўнасці, дзеліцца цалкам на норму дзельніка. Пры гэтым:

$N\left({\frac {u}{v}}\right)={\frac {N(u)}{N(v)}}.$

Геаметрычнае прадстаўленне дзялімасці

У кожнага гаусавага ліку $z$ ёсць 4 кратныя з тою ж нормаю (і, адпаведна, тым жа модулем) — гэта сам $z$ і асацыіраваныя з ім 3 лікі, атрыманыя паслядоўным дамнажэннем $z$ на $i$:

$z,\ iz,\ -z,\ -iz.$

Але дамнажэнне на $i$ геаметрычна на камплекснай плоскасці адпавядае павароту радыус-вектара ліку на 90° супраць гадзіннікавай стрэлкі, прычым модуль здабытку будзе той жа. Такім чынам, усе 4 лікі ўтвараюць роўнастаронні крыж (выдзелены чырвоным на рысунку), цэнтр і вяршыні якога кратныя $z$. Паслядоўна ссоўваючы гэты крыж ва ўсе бакі на адну з 4 велічынь, асацыіраваных з $z$, атрымліваем на ўсёй плоскасці квадратную рашотку, усе вузлы якой (вяршыні квадратаў) кратныя $z.$ Напрыклад, на рысунку $~4-2i=-2i(1+2i).$ Наадварот, любое кратнае $z$ супадае з адным з вузлоў рашоткі.

Простыя гаусавы лікі

Размеркаванне гаусавых простых лікаў на камплекснай плоскасці (простыя лікі выдзелены чырвоным колерам)

Просты гаусаў лік — гэта ненулявы лік, які не мае іншых дзельнікаў, акрамя трывіяльных. Лік, які не з’яўляецца простым, называецца састаўным. Пры гэтым дзельнікі адзінкі, як і натуральная адзінка, не лічацца ні простымі, ні састаўнымі лікамі.

Некаторыя ўласцівасці простых гаусавых лікаў:

• Калі $a+bi$ — просты гаусаў лік, то і спалучаны з ім гаусаў лік $a-bi$ таксама просты.
• Калі просты гаусаў лік з’яўляецца дзельнікам здабытку гаусавых лікаў, то ён з’яўляецца дзельнікам хоць аднаго з сумножнікаў.
• Норма любога простага гаусавага ліку, акрамя асацыіраваных з $1+i$, заўсёды няцотная і таму мае від $4n+1.$

Натуральны просты лік можа не быць гаусавым простым лікам. Напрыклад, лікі 2 і 5 у $\mathbb {Z} [i]$ ужо не простыя:

$2=(1+i)(1-i);\quad 5=(2+i)(2-i).$

Узаемна простыя лікі

Калі гаусаў лік $w$ з’яўляецца дзельнікам для двух гаусавых лікаў $u$ і $v$, ён называецца іх агульным дзельнікам. Мноства агульных дзельнікаў двух лікаў заўсёды ўтрымлівае 4 дзельнікі адзінкі; калі іншых агульных дзельнікаў няма, гэтыя лікі называюцца ўзаемна простымі.

Адзначым, што калі нормы гаусавых лікаў $~u,v$ узаемна простыя як цэлыя лікі, то і самі лікі $~u,v$ узаемна простыя як гаусавы лікі. Адваротнае несправядліва: нормы ўзаемна простых гаусавых лікаў могуць мець агульныя дзельнікі — напрыклад, $5+2i$ і $5-2i$ узаемна простыя, але іх нормы супадаюць і таму не ўзаемна простыя.

Прывядзём дзве ўласцівасці, падобныя на ўласцівасці цэлых лікаў.

• Калі кожны з двух гаусавых лікаў $u,v$ узаемна просты з гаусавым лікам $w,$ то і іх здабытак $uv$ узаемна просты з $w.$
• Калі $z|uv$ і пры гэтым $z$ узаемна просты з $u$, то $z|v.$

Крытэрый Гауса

Гаус указаў вызначальныя прыкметы простага ліку ў $\mathbb {Z} [i]$.

Гаусаў лік $a+bi$ з’яўляецца простым тады і толькі тады, калі: альбо адзін з лікаў $a,b$ нулявы, а другі — цэлы просты лік віду $\pm (4n+3)$; альбо $a,b$ абодва не нулі, і норма $a^{2}+b^{2}$ — просты натуральны лік.

Прывядзём прыклады простых гаусавых лікаў.

• Да першай часткі крытэрыя: $\pm 3;\ \pm 7;\ \pm 3i.$
• Да другой часткі крытэрыя: $1\pm i;\ 1\pm 2i;\ 1\pm 4i;\ 4+5i;\ 2-3i;\ 15+22i.$

Некаторыя крыніцы дзеля большае яснасці раздзяляюць другую частку крытэрыя на дзве:

1. Лікі, асацыіраваныя з $1+i.$ Іх норма роўная 2.
2. Лікі, чыя норма ёсць просты натуральны лік віду $4n+1.$

Сам Гаус такога раздзялення не рабіў.

Вынікі.

• Ніякі просты натуральны лік віду $4n+1$ не можа быць простым гаусавым лікам. Простыя натуральныя лікі віду $4n+3$ з’яўляюцца і простымі гаусавымі лікамі.
• Норма простага гаусавага ліку з’яўляецца альбо простым натуральным лікам, альбо квадратам простага натуральнага ліку.
• Просты натуральны лік віду $4n+1$ можна прадставіць як здабытак спалучаных простых гаусавых лікаў $(a+bi)(a-bi)$ ці, што тое самае, як суму квадратаў $a^{2}+b^{2}$. Гэты факт вядомы як Тэарэма Ферма — Эйлера. Іменна пры даследаванні гэтай тэмы, а таксама тэорыі біквадратычных рэшт, Гаус з поспехам прымяніў цэлыя камплексныя лікі. Наадварот, калі просты лік можна прадставіць як суму натуральных квадратаў, то ў $\mathbb {Z} [i]$ ён састаўны і раскладваецца на два спалучаныя гаусавыя простыя.
• Кожны просты гаусаў лік з’яўляецца дзельнікам аднаго і толькі аднаго простага натуральнага ліку. Гэта значыць, раскладаючы натуральныя простыя на гаусавы множнікі, можна атрымаць усе гаусавы простыя.

Раскладанне на простыя множнікі

У $\mathbb {Z} [i]$ спраўджваецца аналаг асноўнай тэарэмы арыфметыкі: кожны гаусаў лік, не роўны нулю ці дзельніку адзінкі, раскладаецца на простыя множнікі, прычым гэта раскладанне адназначнае з дакладнасцю да парадку і асацыіраванасці множнікаў.

Прыклад: $5=(1+2i)(1-2i)=(2-i)(2+i).$ Множнікі гэтых двух, з выгляду розных, раскладанняў папарна асацыіраваныя: $1+2i=i(2-i);\ 1-2i=(-i)(2+i),$ так што адназначнасць не парушаецца.

Каб практычна раскласці гаусаў лік $z$ на простыя множнікі, можно выкарыстаць прыведзеную вышэй уласцівасць: усе дзельнікі гаусавага ліку з’яўляюцца таксама дзельнікамі яго нормы. Пры гэтым норма ўтрымлівае таксама «лішнія» простыя множнікі, якія адпавядаюць спалучанаму з $z$ ліку.

Такім чынам, пачаць трэба з раскладвання нормы ліку $z$ на простыя натуральныя множнікі.

1. Множнік 2, калі ён ёсць у раскладанні нормы, раскладваецца як $(1+i)(1-i)$. Трэба ўключыць у выніковае раскладанне тыя з гэтых множнікаў (у адпаведнай ступені), на якія $z$ дзеліцца цалкам.
2. Акрамя 2, астатнія множнікі нормы — няцотныя. Множнік віду $4n+3$ з’яўляецца простым гаусавым лікам, таму ён дзеліць не толькі норму $N(z)=~z{\overline {z}}$, але і сам $z.$ Але тады гэты множнік дзеліць і спалучаны лік ${\overline {z}}$. Адсюль выцякае, што множнік віду $4n+3$ уваходзіць у раскладанне нормы заўсёды ў цотнай ступені, а ў раскладанне самога $z$ — у ступені, удвая меншай.
3. Множнік віду $4n+1$ можна раскласці на здабытак спалучаных простых гаусавых лікаў (ці, што тое самае, на суму квадратаў натуральных лікаў). І тут трэба дзяленнем высветліць, які з сумножнікаў адносіцца да зыходнага ліку, а які — да спалучанага.

Прыклад. Раскладзём на простыя множнікі $9+12i.$ Норма гэтага ліку роўная 225, раскладзём яе на простыя натуральныя множнікі: $~225=3^{2}\cdot 5^{2}.$ Згодна з вышэйсказаным, $~5=(2-i)(2+i).$ Праверкаю пераконваемся, што $9+12i$ дзеліцца толькі на $~2+i$ і не дзеліцца на $~2-i.$ Дзель $9+12i$ на $~3(2+i)$ роўная $~2+i,$ таму канчаткова атрымліваем:

$9+12i=3\cdot (2+i)^{2}.$

Тэорыя параўнанняў

Параўнанні па гаусаваму модулю

Паняцце параўнання па модулю вызначаецца ў $\mathbb {Z} [i]$ аналагічна таму, як гэта робіцца для цэлых лікаў:

Няхай $w$ — некаторы гаусаў лік. Два гаусавыя лікі $u,v$ называюцца параўнальнымі па модулю $w$, калі рознасць $u-v$ дзеліцца (цалкам) на $w$. Гэта запісваецца так: $~u\equiv v{\pmod {w}}.$

Уласцівасці параўнанняў у $\mathbb {Z} [i]$ у асноўным такія ж, як у цэлых лікаў. Дачыненне параўнальнасці ёсць дачыненне эквівалентнасці, таму $\mathbb {Z} [i]$ разбіваецца на неперасечныя класы вылікаў — кожны такі клас утрымлівае ўсе параўнальныя адзін з адным (па вызначанаму модулю) гаусавы лікі. Для класаў, як і ў выпадку цэлых лікаў, можна вызначыць складанне і множанне, так што атрымліваецца колца вылікаў па гаусаваму модулю.

Прыклад. Возьмем у якасці модуля параўнання $1+i$. Тады $\mathbb {Z} [i]$ разбіваецца на два класы вылікаў: лікі $a+bi$, у якіх $a,b$ аднолькавай цотнасці, трапяць у адзін клас (які ўтрымлівае кратныя для модуля), а лікі з рознай цотнасцю $a,b$ — у другі.

У гаусавага параўнання ёсць некаторыя асаблівасці. Напрыклад, калі для цэлых лікаў па модулю 3 існуе 3 класы вылікаў з прадстаўнікамі $0;\ 1;\ 2,$ то для гаусавых лікаў па таму ж модулю колькасць класаў значна большая. Іх прадстаўнікі:

$0;\ 1;\ 2;\ i;\ 1+i;\ 2+i;\ 2i;\ 1+2i;\ 2+2i.$

Як устанавіў Гаус, колца вылікаў па модулю $a+bi$ утрымлівае $~N(a+bi)=a^{2}+b^{2}$ элементаў. З гэтае прычыны прыходзіцца змяняць фармулёўкі некаторых класічных тэарэм, каб яны заставаліся справядлівымі і для гаусавых лікаў. Напрыклад, малая тэарэма Ферма для цэлых лікаў сцвярджае, што $(a^{p}-a)$ дзеліцца на $p$ для любога простага $p$ і натуральнага $a$. Для гаусавых лікаў гэта несправядліва, нават калі абмежавацца натуральнымі значэннямі $p$; напрыклад, для цэлых лікаў $a^{3}-a$ заўсёды дзеліцца на 3, а для гаусавых $i^{3}-i=-2i$, і гэта значэнне на 3 не дзеліцца. Адпаведнік малой тэарэмы Ферма для гаусавых лікаў фармулюецца наступным чынам:

Для простага гаусавага ліку $w=a+bi$ і любога гаусавага ліку $u$ $(u^{N(w)}-u)=(u^{a^{2}+b^{2}}-u)$ дзеліцца на $w.$

Праверым на тым жа прыкладзе з $w=3;u=i.$ Атрымаем: $~(i^{9}-i)=0$ — дзеліцца на 3.

Назавём клас вылікаў па модулю $w,$ у якім утрымліваецца лік $u,$ абарачальным, калі параўнанне

$~ux\equiv 1{\pmod {w}}$

мае рашэнне адносна $x.$ Клас абарачальны тады і толькі тады, калі гаусавы лікі $u$ і $w$ узаемна простыя. У прыватнасці, калі модуль параўнанняў $w$ — гаусаў просты лік, то кожны ненулявы клас вылікаў мае адваротны элемент, а гэта значыць, што класы вылікаў па простаму модулю ў $\mathbb {Z} [i]$, як і ў $\mathbb {Z} ,$ утвараюць поле.

Функцыя Эйлера для гаусавых лікаў

Увядзём аналаг функцыі Эйлера для гаусавых лікаў. Азначэнне для цэлых лікаў не падыходзіць хаця б таму, што выраз «ад 1 да n», які ўваходзіць у гэта азначэнне, не мае сэнсу для камплексных лікаў. Новае азначэнне:

Функцыя Эйлера $\varphi (z)$ для гаусавага ліку $z$ вызначаецца як лік абарачальных класаў вылікаў па модулю $z.$

Вызначаная такім чынам функцыя, як і яе прататып для цэлых лікаў, мультыплікатыўная, таму дастаткова знаць яе значэнні для простых лікаў і іх натуральных ступеней. Калі $z$ — просты гаусаў лік, то:

$\varphi (z)=N(z)-1;\quad \varphi (z^{k})=N(z)^{k-1}(N(z)-1).$

Прыклад:

$\varphi (3+4i)=\varphi ((2+i)^{2})=N(2+i)(N(2+i)-1)=5\cdot 4=20.$

Цяпер можна абагульніць прыведзеную ў папярэднім раздзеле малую тэарэму Ферма на выпадак адвольнага (не абавязкова простага) модуля параўнання, г. зн. прывесці аналаг тэарэмы Эйлера:

Калі гаусаў лік $z$ узаемна просты з модулем $w,$ то: $z^{\varphi (w)}\equiv 1{\pmod {w}}$

Геаметрычнае прадстаўленне параўнання па модулю

Разгледзім для прыкладу параўнанне па модулю $w=1+2i.$ Як сказана ў раздзеле аб геаметрычным прадстаўленні дзялімасці, можна разбіць камплексную плоскасць на квадраты так, што вузлы гэтай рашоткі (вяршыні квадратаў) прадстаўляюць усе магчымыя камплексныя кратныя $~1+2i.$ Тады, па азначэнню, лікі параўнальныя па модулю $w$, калі іх рознасць супадае з адным з вузлоў рашоткі кратных.

Кожны квадрат рашоткі атрымліваецца з любога іншага квадрата зрушэннем (пераносам) на велічыню, кратную $w,$ таму рознасць любой кропкі квадрата і выніку яе зрушэння таксама кратная $w.$ Адсюль вынікае канчатковы вывад:

Гаусавы лікі параўнальныя па модулю $w$ тады і толькі тады, калі яны займаюць аднолькавае адноснае становішча ў сваіх квадратах рашоткі кратных.

Напрыклад, параўнальныя ўсе цэнтры квадратаў, ці ўсе сярэдзіны іх адпаведных старон і пад.

Дзяленне з астачаю

Азначэнне

У колцы $\mathbb {Z} [i]$ можна вызначыць дзяленне з астачаю (на любы ненулявы гаусаў лік), увёўшы патрабаванне, каб норма астачы была меншая за норму дзельніка:

Любы гаусаў лік $u$ можна раздзяліць з астачаю на любы ненулявы гаусаў лік $v$, г. зн. прадставіць у выглядзе: $u=vq+r,$ тут дзель $q$ і астача $r$ — гаусавы лікі, прычым $N(r)<N(v).$

Нескладана паказаць, што ў якасці дзелі ад дзялення з астачаю можна ўзяць гаусаў лік, найбліжэйшы да дзелі звычайнага дзялення камплексных лікаў.

Неабходна адзначыць, што ўмова «норма астачы меншая за норму дзельніка» недастатковая, каб гарантаваць адназначнасць астачы ад дзялення цалкам. У $\mathbb {Z} [i],$ у адрозненне ад $\mathbb {Z} ,$ астача неадназначная. Напрыклад, $~7+2i$ можна раздзяліць на $~3-i$ двума спосабамі:

$7+2i=(3-i)(2+i)+i=(3-i)(1+i)+3.$

Можна гарантаваць толькі тое, што ўсе астачы пападаюць у адзін клас вылікаў па модулю дзельніка.

Прыклад. Раздзелім з астачаю $11+10i$ на $4+i$. Спачатку знойдзем дзель ад звычайнага камплекснага дзялення:

${\frac {11+10i}{4+i}}={\frac {(11+10i)(4-i)}{(4+i)(4-i)}}={\frac {54+29i}{17}}\approx 3{,}17+1{,}7i$

Найбліжэйшы да выніку гаусаў лік ровен $3+2i,$ тады астача роўная $~11+10i-(4+i)(3+2i)=1-i.$ У выніку атрымліваем:

$11+10i=(4+i)(3+2i)+1-i.$

Найбольшы агульны дзельнік

Колца гаусавых лікаў з’яўляецца еўклідавым, і ў ім заўсёды можна вызначыць найбольшы агульны дзельнік, прычым адназначна з дакладнасцю да дзельнікаў адзінкі.

Найбольшым агульным дзельнікам НАД$(u,v)$ для гаусавых лікаў $u$ і $v$, хаця б адзін з якіх ненулявы, называецца іх агульны дзельнік $d$, які дзеліцца на любы іншы агульны дзельнік $u$ і $v.$

Эквівалентнае азначэнне: НАД$(u,v)$ ёсць той агульны дзельнік $u,v$, у якога норма найбольшая.

Уласцівасці НАД

• Калі вядомы некаторы НАД, то любы з трох лікаў, асацыіраваных з ім, таксама будзе НАД. У прыватнасці, калі адзін з НАД — дзельнік адзінкі, то такімі ж будуць і астатнія тры НАД.
• Гаусавы лікі ўзаемна простыя тады і толькі тады, калі іх НАД ёсць дзельнік адзінкі.
• Мае месца аналаг суадносін Безу:

Няхай $u,v$ — гаусавы лікі, і хоць адзін з іх не нуль. Тады існуюць такія гаусавы лікі $x,y$, што спраўджваюцца суадносіны: НАД$(u,v)=xu+yv.$

Іншымі словамі, найбольшы агульны дзельнік двух гаусавых лікаў можна заўсёды прадставіць як лінейную камбінацыю гэтых лікаў з гаусавымі каэфіцыентамі.

• Вынік суадносін Безу: калі гаусавы лікі $u,v$ узаемна простыя, то ўраўненне

$~xu+yv=1$

адносна $x,y$ мае рашэнне ў $\mathbb {Z} [i].$ Замест 1 ў прыведзеным ураўненні можа стаяць любы іншы дзельнік адзінкі, тэарэма пры гэтым застанецца вернаю.

Алгарытм Еўкліда і практычнае вылічэнне НАД

Для вызначэння НАД ў $\mathbb {Z} [i]$ зручна карыстацца алгарытмам Еўкліда, цалкам аналагічным таму, які прымяняецца для цэлых лікаў. НАД атрымліваецца ў гэтай схеме як апошняя ненулявая астатача. Алгарытм Еўкліда можна таксама выкарыстоўваць для знаходжання каэфіцыентаў $x,y$ у суадносінах Безу.

Прыклад 1. Знойдзем НАД для $32+9i$ і $4+11i.$

Крок 1: $32+9i=(4+11i)(2-2i)+2-5i$ (падзялілі з астачаю першы лік на другі)

Крок 2: $4+11i=(2-5i)(-2+i)+3-i$ (падзялілі з астачаю папярэдні дзельнік на астачу папярэдняга кроку)

Крок 3: $2-5i=(3-i)(1-i)-i$ (тое ж дзеянне)

Крок 4: $3-i=(-i)(1+3i)$ (тое ж дзеянне, лік падзяліўся цалкам)

Адзначым, што на кожным кроку норма астачы манатонна памяншаецца. Апошняя ненулявая астача роўная $-i$, гэта дзельнік адзінкі, таму робім вывад, што зыходныя лікі ўзаемна простыя.

Прыклад 2. Знойдзем НАД для $11+3i$ і $1+8i.$

Крок 1: $11+3i=(1+8i)(1-i)+2-4i$

Крок 2: $1+8i=(2-4i)(-1+i)+(-1+2i)$

Крок 3: $2-4i=(-1+2i)(-2)$ (лік падзяліўся цалкам)

Апошняя ненулявая астача роўная $-1+2i$, гэта і ёсць шукаемы НАД. Паслядоўна падстаўляючы замест левых частак роўнасцей правыя (пачынаючы з прадапошняе роўнасці, знізу ўверх), атрымаем суадносіны Безу для НАД:

$-1+2i=(11+3i)(1-i)+(1+8i)(1+2i).$

Некаторыя прыкладанні

Гаус выкарыстаў адкрытую ім алгебраічную структуру для глыбокага даследавання біквадратычных вылікаў. Можна назваць і іншыя вобласці паспяховага прымянення гаусавых лікаў. Паказальна, што значная іх частка адносіцца да тэорыі не камплексных, а натуральных лікаў.

Раскладанне натуральных лікаў на сумы квадратаў

З крытэрыя Гауса выцякае, што просты натуральны лік віду $4n+1$ можна прадставіць у выглядзе сумы квадратаў натуральных лікаў, прычым толькі адным спосабам. Прыклад: $~29=(2+5i)(2-5i)=2^{2}+5^{2}.$

Раскладанне натуральных лікаў іншага віду не заўсёды магчымае — напрыклад, $15;19;27;103$ і іншыя лікі віду $4n+3$ нельга прадставіць у выглядзе сумы квадратаў натуральных лікаў. Састаўныя лікі могуць таксама мець больш чым адзін спосаб раскладання, напрыклад: $~65=4^{2}+7^{2}=1^{2}+8^{2}.$

Агульная тэарэма:

Натуральны лік можна прадставіць у выглядзе сумы двух квадратаў тады і толькі тады, калі ў яго кананічнае раскладанне ўсе простыя множнікі віду $4n+3$ уваходзяць у цотных ступенях.

Прыклад: $35=5\cdot 7$ нельга прадставіць як суму квадратаў, бо лік $7=4\cdot 1+3$ мае няцотную ступень. Але $35\cdot 7=5\cdot 7^{2}$ прадставіць можна: $245=7^{2}+14^{2}.$

Падлік колькасці прадстаўленняў у выглядзе сумы квадратаў

Лік прадстаўленняў $\rho (m)$ натуральнага ліку $m$ у выглядзе сумы квадратаў можна вызначыць наступным чынам. Раскладзём $m$ на простыя натуральныя множнікі:

$m=2^{\lambda }p_{1}^{\lambda _{1}}p_{2}^{\lambda _{2}}\dots p_{r}^{\lambda _{r}}q_{1}^{\mu _{1}}q_{2}^{\mu _{2}}\dots q_{s}^{\mu _{s}},$

тут $p_{i}$ — множнікі віду $4n+1,$ а $q_{j}$ — множнікі віду $4n+3.$ Тады магчымыя 3 выпадкі.

1. Калі хаця б адзін паказчык ступені $\mu _{j}$ няцотны, лік $m$ нельга прадставіць у выглядзе сумы квадратаў.
2. Няхай усе $\mu _{j}$ цотныя. Канчатковая формула залежыць ад цотнасці $\lambda _{i}.$ Калі ўсе яны таксама цотныя, формула выглядае так:

$\rho (m)={\frac {1}{2}}[(\lambda _{1}+1)(\lambda _{2}+1)\cdots (\lambda _{r}+1)+1].$

3. Калі не ўсе $\lambda _{i}$ цотныя, то формула трохі адрозніваецца:

$\rho (m)={\frac {1}{2}}(\lambda _{1}+1)(\lambda _{2}+1)\cdots (\lambda _{r}+1).$

Тэорыя піфагоравых троек

Піфагорава тройка — гэта адно з цэлалікавых рашэнняў ураўнення:

$x^{2}+y^{2}=z^{2}.$

Агульнае рашэнне ўраўнення залежыць ад двух цэлых параметраў $m,n$:

$x=m^{2}-n^{2};\;y=2mn;\;z=m^{2}+n^{2}.$

Для генерацыі піфагоравых троек можна скарыстаць такі прыём. Няхай $a+bi$ — адвольны гаусаў лік, у якога абедзве кампаненты $a,b$ ненулявыя. Узводзячы гэты лік у квадрат, атрымаем некаторы гаусаў лік $~c+di.$ Тады тройка $~\{|c|;|d|;N(c+di)\}$ будзе піфагоравай.

Прыклад: для зыходнага ліку $~17+12i$ атрымліваем піфагораву тройку: $~(145;408;433).$

Рашэнне дыяфантавых ураўненняў

Рашэнне многіх дыяфантавых ураўненняў удаецца знайсці, калі скарыстаць апарат гаусавых лікаў. Напрыклад, для ўраўнення $~x^{2}+y^{2}=2z^{2}$ нескладаныя пераўтварэнні даюць два тыпы цэлых узаемна простых рашэнняў, залежных ад цэлых параметраў $a,b$:

1. $x=a^{2}-2ab-b^{2},\;y=a^{2}+2ab-b^{2};$
2. $x=-a^{2}-2ab+b^{2},\;y=a^{2}-2ab-b^{2}.$

У 1850 годзе Віктор Лебег, выкарыстоўваючы гаусавы лікі, даследаваў ураўненне $~x^{2}+1=y^{n}$ і даказаў яго невырашальнасць у натуральных ліках. Іншымі словамі, сярод натуральных лікаў віду $~n^{2}+1$ няма ні аднаго поўнага куба ці іншае ступені, вышэйшай за другую.

Нярэшаныя праблемы

• Знайсці колькасць гаусавых лікаў, норма якіх меншая за вызначаную натуральную сталую R. У раўназначнай фармулёўцы гэта задача вядома як «Гаусава праблема круга» ў геаметрыі лікаў. Гл. паслядоўнасць A000328 у OEIS.
• Знайсці прамыя на камплекснай плоскасці, на якіх бесканечна многа простых гаусавых лікаў. Дзве такія прамыя відавочныя — гэта каардынатныя восі; невядома, ці існуюць іншыя.
• Задача, вядомая пад назваю «Гаусаў роў»: ці можна дайсці да бесканечнасці, пераходзячы ад аднаго простага гаусавага ліку да другога скачкамі загадзя абмежаванай даўжыні? Задача пастаўлена ў 1962 годзе і дагэтуль не развязана.

Відазмяненні і абагульненні

Трохвугольная рашотка лікаў Эйзенштэйна

Яшчэ адным гістарычна важным еўклідавым колцам, падобным па ўласцівасцях на цэлыя лікі, сталі «цэлыя лікі Эйзенштэйна».

Гаусавы рацыянальныя лікі, якія абазначаюцца $\mathbb {Q} (i),$ — гэта камплексныя лікі віду $a+bi$, дзе $a,b$ — рацыянальныя лікі. Гэта мноства замкнута адносна ўсіх 4 арыфметычных аперацый, уключаючы дзяленне, і таму з’яўляецца полем, якое пашырае колца гаусавых лікаў.

Гісторыя

У 1820-х гадах Карл Фрыдрых Гаус даследаваў біквадратычны закон узаемнасці, вынікам стала манаграфія «Тэорыя біквадратычных вылікаў» (1828—1832). Іменна ў гэтай працы праявілася карысць цэлых камплексных лікаў для рашэння задач тэорыі лікаў, хоць фармулёўка гэтых задач ніяк не звязана з камплекснымі лікамі. Гаус пісаў, што «натуральную крыніцу агульнай тэорыі трэба шукаць у пашырэнні вобласці арыфметыкі».

Карл Фрыдрых Гаус у 1828 годзе

У кнізе Гауса было паказана, што новыя лікі па сваіх уласцівасцях шмат у чым напамінаюць звычайныя цэлыя лікі. Аўтар апісаў чатыры дзельнікі адзінкі, вызначыў дачыненне асацыіраванасці, паняцце простага ліку, даў крытэрый прастаты і даказаў аналагі асноўнай тэарэмы арыфметыкі, малой тэарэмы Ферма. Далей Гаус падрабязна разгледзеў рэшты па камплекснаму модулю, індэксы і першаісныя карані. Галоўным дасягненнем пабудаванай тэорыі стаў біквадратычны закон узаемнасці, які Гаус абяцаў даказаць у наступным томе; гэты том так і не быў апублікаваны, але ў Гаусавых рукапісах была знойдзена падрабязная схема строгага доказу.

Гаус выкарыстоўваў уведзеныя ім лікі таксама і ў іншых сваіх працах, напрыклад, па алгебраічных ураўненнях. Ідэі Гауса былі развіты ў працах Карла Густава Якаба Якобі і Фердынанда Готхальда Эйзенштэйна. У сярэдзіне XIX стагоддзя Эйзенштэйн, Дзірыхле і Эрміт увялі і даследавалі абагульненае паняцце цэлага алгебраічнага ліку.

Колца гаусавых цэлых лікаў было адным з першых прыкладаў алгебраічнай структуры з непрывычнымі ўласцівасцямі. З часам была адкрыта вялікая колькасць структур такога тыпу, а ў канцы XIX стагоддзя зарадзілася абстрактная алгебра, якая вывучае алгебраічныя ўласцівасці асобна ад аб’ектаў-носьбітаў гэтых уласцівасцей.

Гл. таксама

• Еўклідава колца
• Квадратычнае поле
• Кватэрніён Гурвіца
• Гаусава праблема круга
• Простыя лікі Эйзенштэйна
• Цэлыя лікі Эйзенштэйна
• Цэлы элемент
• Фактарыяльнае колца

Літаратура

• Айерлэнд К., Роузен М. Классическое введение в современную теорию чисел. — М.: Мир, 1987. — 416 с.
• Гаусс К. Ф. Труды по теории чисел. — М.: Изд-во АН СССР, 1959. — С. 695—754.
• Гауссово число // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1977. — Т. 1.
• Калужнин Л. А. Основная теорема арифметики. — М.: Наука, 1969. — 32 с. — (Популярные лекции по математике).
• Колмогоров А. Н., Юшкевич А. П. (ред.). Математика XIX века. Математическая логика, алгебра, теория чисел, теория вероятностей. — М.: Наука, 1978. — Т. I.
• Кузьмин Р. О., Фаддеев Д. К. Алгебра и арифметика комплексных чисел. Пособие для учителей. — М.: Учпедгиз, 1939. — 187 с.
• Окунев Л. Я. Целые комплексные числа. — М.: Гос. уч.-пед. изд-во Наркомпроса РСФСР, 1941. — 56 с.
• Сендеров В., Спивак А. Суммы квадратов и целые гауссовы числа // Квант. — 1999. — № 3. — С. 14-22.
• Hardy G. H., Wright E. M. An introduction to the theory of numbers. — 4th edition. — Oxford.: Oxford University Press, 1968. — 421 с.

Спасылкі

• Complex Gaussian Integers for 'Gaussian Graphics' (англ.)(недаступная спасылка). Архівавана з першакрыніцы 14 чэрвеня 2006. Праверана 11 верасня 2013.
• Butler, Lee A.. A classification of gaussian primes (англ.)(недаступная спасылка). Архівавана з першакрыніцы 16 верасня 2012. Праверана 11 верасня 2013.
• Conrad, Keith.. The gaussian integers (англ.). Праверана 11 верасня 2013.