Неперарыўная функцыя

Неперарыўная функцыя (неперарыўнае адлюстраванне), або непарыўная функцыя (непарыўнае адлюстраванне) — функцыя без «скачкоў», г.зн. такая, у якой малое змяненне аргумента прыводзіць да малога змянення значэння функцыі.

Строгае азначэнне

ε-δ азначэнне

Няхай $D\subset \mathbb {R}$ і $f:D\to \mathbb {R}$.

Функцыя $f$ называецца непарыўнаю ў пункце $x_{0}\in D,$ калі для любога $\varepsilon >0$ існуе $\delta >0$ такое, што для любога

$x\in D,\ |x-x_{0}|<\delta$

справядліва

$|f(x)-f(x_{0})|<\varepsilon .$

Функцыя $f$ называецца непарыўнаю на мностве $E$, калі яна непарыўная ў кожным пункце мноства.

У гэтым выпадку кажуць, што функцыя $f$ належыць класу $C^{0}$, і пішуць: $f\in C^{0}(E)$ ці, падрабязней, $f\in C^{0}(E,\mathbb {R} )$.

Інакш кажучы, функцыя $f$ непарыўная ў пункце $x_{0}$, гранічным для мноства $D$, калі $f$ мае граніцу ў пункце $x_{0}$, і гэта граніца супадае са значэннем функцыі $f(x_{0})$.

Пункты разрыву

Калі ўмова ў азначэнні непарыўнасці функцыі ў некаторым пункце парушаецца, то кажуць, што функцыя мае ў дадзеным пункце разрыў. Іншымі словамі, калі $A$ — значэнне функцыі $f$ у пункце $a$, то граніца такой функцыі (калі яна існуе) у гэтым пункце не супадае з $A$. На мове наваколляў умова разрыўнасці функцыі $f$ у пункце $a$ атрымліваецца адмаўленнем умовы непарыўнасці функцыі ў дадзеным пункце, а іменна: існуе такое наваколле пункта $A$ вобласці значэнняў функцыі $f$, што як бы мы блізка не падыходзілі к пункту $a$ вобласці вызначэння функцыі $f$, заўсёды знойдуцца такія пункты, чые вобразы будуць за межамі наваколля пункта $A$.

Скасавальныя пункты разрыву

Калі граніца функцыі існуе, але функцыя не вызначана ў гэтым пункце, ці граніца не супадае са значэннем функцыі ў дадзеным пункце:

$\lim \limits _{x\to a}f(x)\neq f(a),$

то пункт $a$ называецца пунктам скасавальнага разрыву функцыі $f$ (у камплексным аналізе — скасавальны асаблівы пункт).

Калі «паправіць» функцыю $f$ у пункце скасавальнага разрыву і прыняць $f(a)=\lim \limits _{x\to a}f(x),$ то атрымаецца функцыя, непарыўная ў дадзеным пункце. Такая аперацыя над функцыяй называецца давызначэннем функцыі да непарыўнай ці давызначэннем функцыі па непарыўнасці, што і абгрунтоўвае назву, як пункта скасавальнага разрыву.

Пункты разрыву першага і другога роду

Калі граніца функцыі ў дадзеным пункце не існуе (і функцыю нельга давызначыць да непарыўнай), то для лікавых функцый узнікае дзве магчымасці, звязаныя з існаваннем у лікавых функцый аднабаковых граніц:

• калі абедзве аднабаковыя граніцы існуюць і канечныя, але хоць адна з іх адрозніваецца ад значэння функцыі ў дадзеным пункце, то такі пункт называюць пунктам разрыву першага роду;
• калі хаця б адна з аднабаковых граніц не існуе ці не з'яўляецца канечнаю велічынёю, то такі пункт называюць пунктам разрыву другога роду.

Уласцівасці

Лакальныя

• Функцыя, непарыўная ў пункце $a\,$, абмежавана ў некаторым наваколлі гэтага пункта.
• Калі функцыя $f\,$ непарыўная ў пункце $a\,$ і $f(a)>0\,$ (ці $\,f(a)<0$), то $f(x)>0\,$ (ці $\,f(x)<0$) для ўсіх $\,x$, дастаткова блізкіх да $\,a$.
• Калі функцыі $f\,$ і $g\,$ непарыўныя ў пункце $\,a$, то функцыі $f+g\,$ і $f\cdot g\,$ таксама непарыўныя ў пункце $\,a$.
• Калі функцыі $f\,$ і $g\,$ непарыўныя ў кропцы $a\,$ і пры гэтым $\,g(a)\neq 0$, то функцыя $f/g\,$ таксама непарыўная ў кропцы $\,a$.
• Калі функцыя $f\,$ непарыўная ў пункце $a\,$ і функцыя $g\,$ непарыўная ў кропцы $\,b=f(a)$, то іх кампазіцыя $\,h=g\circ f$ непарыўная ў кропцы $\,a$.

Глабальныя

• Функцыя, непарыўная на адрэзку (ці на любой іншай кампактнай прасторы), раўнамерна непарыўная на ім.
• Функцыя, непарыўная на адрэзку (ці на любым іншым кампактным мностве), абмежавана і дасягае на ім свайго найбольшага і найменшага значэння.
• Вобласцю значэнняў функцыі $f\,$, непарыўнай на адрэзку $\,[a,b]$, з'яўляецца адрэзак $\,[\min f,\ \max f],$ дзе мінімум і максімум бяруцца па адрэзку $\,[a,b]$.
• Калі функцыя $f\,$ непарыўная на адрэзку $\,[a,b]$ і $\,f(a)\cdot f(b)<0,$ то існуе кропка $\xi \in (a,b),$ у якой $\,f(\xi )=0.$
• Калі функцыя $f\,$ непарыўная на адрэзку $\,[a,b]$ і лік $\varphi \,$ задавальняе няроўнасць $\,f(a)<\varphi <f(b)$ ці няроўнасць $\,f(a)>\varphi >f(b),$ то існуе пункт $\xi \in (a,b),$ у яком $\,f(\xi )=\varphi .$
• Непарыўнае адлюстраванне адрэзка ў рэчаісную прамую ін'ектыўнае тады і толькі тады, калі дадзеная функцыя на адрэзку строга манатонная.
• Манатонная функцыя на адрэзку $\,[a,b]$ непарыўная тады і толькі тады, калі вобласць яе значэнняў ёсць адрэзак з канцамі $f(a)\,$ і $\,f(b)$.
• Калі функцыі $f\,$ і $g\,$ непарыўныя на адрэзку $\,[a,b]$, прычым $\,f(a)<g(a)$ і $\,f(b)>g(b),$ то існуе пункт $\xi \in (a,b),$ у яком $\,f(\xi )=g(\xi ).$ Адсюль, сярод іншага, вынікае, што любое непарыўнае адлюстраванне адрэзка ў сябе мае хаця б адзін нерухомы пункт.

Прыклады

Элементарныя функцыі

Адвольныя мнагачлены, рацыянальныя функцыі, паказчыкавыя функцыі, лагарыфмы, трыганаметрычныя функцыі (прамыя і адваротныя) непарыўныя ўсюды ў сваёй вобласці вызначэння.

Функцыя са скасавальным разрывам

Функцыя $f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} ,$ вызначаная згодна з формулаю

$f(x)={\begin{cases}{\frac {\sin x}{x}},&x\neq 0,\\0,&x=0,\end{cases}}$

непарыўная ў любым пункце $x\neq 0.$ Пункт $x=0$ з'яўляецца пунктам скасавальнага разрыву, бо граніца функцыі

$\lim \limits _{x\to 0}f(x)=\lim \limits _{x\to 0}{\frac {\sin x}{x}}=1\neq 0=f(0).$

Функцыя знака

Функцыя

$f(x)=\operatorname {sgn} x={\begin{cases}-1,&x<0\\0,&x=0\\1,&x>0\end{cases}},\quad x\in \mathbb {R}$

называецца функцыяй знака.

Гэта функцыя непарыўная ў кожным пункце $x\neq 0$.

Пункт $x=0$ ёсць пунктам разрыву першага роду, прычым

$\lim \limits _{x\to 0-}f(x)=-1\neq 1=\lim \limits _{x\to 0+}f(x)$,

тады як у самім пункце функцыя раўняецца нулю.

Ступеньчатая функцыя

Ступеньчатая функцыя, вызначаная як

$f(x)={\begin{cases}1,&x\geqslant 0\\0,&x<0\end{cases}},\quad x\in \mathbb {R}$

усюды непарыўная, акрамя кропкі $x=0$, дзе функцыя церпіць разрыў першага роду. Тым не менш, у пункце $x=0$ існуе правабаковая граніца, якая супадае са значэннем функцыі ў дадзеным пункце. Такім чынам, гэта функцыя з'яўляецца прыкладам непарыўнай справа функцыі на ўсёй вобласці вызначэння.

Гэтак жа, ступеньчатая функцыя, вызначаная як

$f(x)={\begin{cases}1,&x>0\\0,&x\leqslant 0\end{cases}},\quad x\in \mathbb {R}$

з'яўляецца прыкладам непарыўнай злева функцыі на ўсёй вобласці вызначэння.

Функцыя Дзірыхле

Асноўны артыкул: Функцыя Дзірыхле

Функцыя

$f(x)={\begin{cases}1,&x\in \mathbb {Q} \\0,&x\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} \end{cases}}$

называецца функцыяй Дзірыхле. Па сутнасці, функцыя Дзірыхле — гэта характарыстычная функцыя мноства рацыянальных лікаў. Гэта функцыя з'яўляецца ўсюды разрыўнаю функцыяй, бо на любым прамежку ёсць як рацыянальныя, так і ірацыянальныя лікі.

Функцыя Рымана

Функцыя

$f(x)={\begin{cases}{\frac {1}{n}},&x={\frac {m}{n}}\in \mathbb {Q} ,\ (m,n)=1\\0,&x\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} \end{cases}}$

называецца функцыяй Рымана.

Гэта функцыя з'яўляецца непарыўнаю ўсюды на мностве ірацыянальных лікаў ($\mathbb {R} \setminus \mathbb {Q}$), бо граніца функцыі ў кожным ірацыянальным пункце раўняецца нулю.

Варыяцыі і абагульненні

Раўнамерная непарыўнасць

Асноўны артыкул: Раўнамерная непарыўнасць

Функцыя $f$ называецца раўнамерна непарыўнаю на $E$, калі для любога $\varepsilon >0$ існуе $\delta >0$ такое, што для любых двух пунктаў $x_{1}$ і $x_{2}$ такіх, што $|x_{1}-x_{2}|<\delta$, спраўджваецца $|f(x_{1})-f(x_{2})|<\varepsilon$.

Кожная раўнамерна непарыўная на мностве $E$ функцыя, відавочна, з'яўляецца таксама і непарыўнаю на ім. Адваротнае, увогуле кажучы, не справядліва. Аднак, калі вобласць вызначэння — кампакт, то непарыўная функцыя аказваецца таксама і раўнамерна непарыўнаю на гэтым адрэзку.

Паўнепарыўнасць

Існуе дзве сіметрычныя адна адной уласцівасці — паўнепарыўнасць знізу і паўнепарыўнасць зверху:

• Функцыя $f$ называецца паўнепарыўнаю знізу ў пункце $a$, калі для любога $\varepsilon >0$ існуе такое наваколле $U_{E}(a)$, што $f(x)>f(a)-\varepsilon$ для ўсякага $x\in U_{E}(a)$;
• Функцыя $f$ называецца паўнепарыўнаю зверху ў пункце $a$, калі для любога $\varepsilon >0$ існуе такое наваколле $U_{E}(a)$, што $f(x)<f(a)+\varepsilon$ для ўсякага $x\in U_{E}(a)$.

Паміж непарыўнасцю і паўнепарыўнасцю ёсць наступная сувязь:

• Калі ўзяць функцыю $f$, непарыўную ў кропцы $a$, і паменшыць значэнне $f(a)$ (на канечную велічыню), то мы атрымаем функцыю, паўнепарыўную знізу ў кропцы $a$;
• Калі ўзяць функцыю $f$, непарыўную ў кропцы $a$, і павялічыць значэнне $f(a)$ (на канечную велічыню), то мы атрымаем функцыю, паўнепарыўную зверху ў кропцы $a$.

У адпаведнасці з гэтым можна дапусціць для паўнепарыўных функцый бесканечныя значэнні:

• Калі $f(a)=-\infty$, то будзем лічыць такую функцыю паўнепарыўнаю знізу ў кропцы $a$;
• Калі $f(a)=+\infty$, то будзем лічыць такую функцыю паўнепарыўнаю зверху ў кропцы $a$.

Аднабаковая непарыўнасць

Функцыя $f$ называецца аднабакова непарыўнаю злева (справа) у кожным пункце $x_{0}$ сваёй вобласці вызначэння, калі для аднабаковае граніцы справядліва роўнасць:

$f(x_{0})=\lim \limits _{x\to x_{0}-0}f(x)$

$\left(f(x_{0})=\lim \limits _{x\to x_{0}+0}f(x)\right)$

Непарыўнасць амаль усюды

На рэчаіснай прамой звычайна разглядаецца простая лінейная мера Лебега. Калі функцыя $f$ такая, што яна непарыўная ўсюды на $E$, акрамя, магчыма, мноства меры нуль, то такая функцыя называецца непарыўнаю амаль усюды.

У тым выпадку, калі мноства пунктаў разрыву функцыі не больш чым злічальнае, мы атрымліваем клас інтэгравальных па Рыману функцый (гл. крытэрый інтэгравальнасці функцыі па Рыману).

Літаратура

• Зорич В. А. Математический анализ, часть I. — М.: Физматлит, 1984. — 544 с.