Старонка змяшчае спіс лімітаў для асноўных функцый, а таксама правілы вылічэння лімітаў.
Калі функцыя f (x )непарыўная ў пункце x 0 ліміт пры імкненні x x 0
lim
x
→
x
0
f
(
x
)
=
f
(
x
0
)
.
{\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}f(x)=f(x_{0}).}
правіць
Няхай існуюць ліміты
lim
x
→
c
f
(
x
)
=
L
1
{\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=L_{1}}
lim
x
→
c
g
(
x
)
=
L
2
{\displaystyle \lim _{x\to c}g(x)=L_{2}}
ліміт сумы роўны суме лімітаў
lim
x
→
c
(
f
(
x
)
+
g
(
x
)
)
=
L
1
+
L
2
,
{\displaystyle \lim _{x\to c}(f(x)+g(x))=L_{1}+L_{2},}
ліміт рознасці роўны рознасці лімітаў
lim
x
→
c
(
f
(
x
)
−
g
(
x
)
)
=
L
1
−
L
2
,
{\displaystyle \lim _{x\to c}(f(x)-g(x))=L_{1}-L_{2},}
ліміт здабытку роўны здабытку лімітаў
lim
x
→
c
[
f
(
x
)
g
(
x
)
]
=
L
1
×
L
2
{\displaystyle \lim _{x\to c}\,[f(x)g(x)]=L_{1}\times L_{2}}
Няхай
lim
x
→
c
g
(
x
)
=
L
2
≠
0.
{\displaystyle \lim _{x\to c}g(x)=L_{2}\neq 0.}
ліміт дзелі роўны дзелі лімітаў
lim
x
→
c
f
(
x
)
g
(
x
)
=
L
1
L
2
.
{\displaystyle \lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}={\frac {L_{1}}{L_{2}}}.}
Няхай
lim
x
→
c
f
(
x
)
=
L
1
>
0.
{\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=L_{1}>0.}
ліміт ступені існуе і роўны
lim
x
→
c
f
(
x
)
g
(
x
)
=
L
1
L
2
.
{\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)^{g(x)}=L_{1}^{L_{2}}.}
Заўвага . Усе гэтыя правілы праўдзяцца і для лімітаў паслядоўнасцей . Паслядоўнасць можна разглядаць як адмысловы выпадак функцыі , якая вызначана толькі для натуральных значэнняў сваёй зменнай. У гэтым выпадку граніцу паслядоўнасці можна вытлумачыць як граніцу такой функцыі пры імкненні зменнай (натуральнага ліку ) да бясконцасці.
Калі
lim
x
→
c
f
(
x
)
=
0
{\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=0}
lim
x
→
c
g
(
x
)
=
0
,
{\displaystyle \lim _{x\to c}g(x)=0,}
дзелі іх вытворных
lim
x
→
c
f
′
(
x
)
g
′
(
x
)
,
{\displaystyle \lim _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}},}
то
lim
x
→
c
f
(
x
)
g
(
x
)
=
lim
x
→
c
f
′
(
x
)
g
′
(
x
)
.
{\displaystyle \lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}.}
правіць
lim
x
→
±
∞
a
0
x
k
+
a
1
x
k
−
1
+
.
.
.
+
a
k
b
0
x
r
+
b
1
x
r
−
1
+
.
.
.
+
b
r
=
{
sgn
[
a
0
b
0
]
⋅
(
±
1
)
(
k
−
r
)
⋅
∞
,
k
>
r
,
a
0
b
0
,
k
=
r
,
0
,
k
<
r
.
{\displaystyle \lim _{x\to \pm \infty }{\frac {a_{0}x^{k}+a_{1}x^{k-1}+...+a_{k}}{b_{0}x^{r}+b_{1}x^{r-1}+...+b_{r}}}={\begin{cases}\operatorname {sgn}[{a_{0} \over b_{0}}]\cdot (\pm 1)^{(k-r)}\cdot \infty ,&k>r,\\{\frac {a_{0}}{b_{0}}},&k=r,\\0,&k<r.\end{cases}}}
Словазлучэнне грунтоўныя ліміты [ 1] [ 2] руск. : замечательные пределы ) замацавалася ў савецкіх і цяперашніх расійскіх і беларускіх падручніках па матэматычным аналізе як назва двух важных лімітаў, якія маюць шматлікія дастасаванні ў матэматычным аналізе[ 3]
Першы грунтоўны ліміт (руск. : первый замечательный предел )
lim
x
→
0
sin
(
x
)
x
=
1
{\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\sin(x)}{x}}=1}
Другі грунтоўны ліміт (руск. : второй замечательный предел )
lim
x
→
±
∞
(
1
+
1
x
)
x
=
e
{\displaystyle \lim _{x\to \pm \infty }\left(1+{\frac {1}{x}}\right)^{x}=e}
Заўвага 1 . Ліміты многіх выразаў з трыганаметрычнымі функцыямі вынікаюць з першага грунтоўнага ліміту.
Заўвага 2 . Ліміты выразаў з лагарыфмамі і ступенна-паказнікавых выразаў часта можна атрымаць як вынік другога грунтоўнага ліміту.
lim
x
→
0
sin
(
x
)
x
=
1
{\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\sin(x)}{x}}=1}
lim
x
→
0
sin
(
a
x
)
b
x
=
a
b
{\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\sin(ax)}{bx}}={\frac {a}{b}}}
lim
x
→
0
sin
(
a
x
)
sin
(
b
x
)
=
a
b
{\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\sin(ax)}{\sin(bx)}}={\frac {a}{b}}}
lim
x
→
0
tg
(
x
)
x
=
1
{\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\operatorname {tg} (x)}{x}}=1}
lim
x
→
0
arcsin
(
x
)
x
=
1
{\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\arcsin(x)}{x}}=1}
lim
x
→
0
arctg
(
x
)
x
=
1
{\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\operatorname {arctg} (x)}{x}}=1}
lim
x
→
0
1
−
cos
(
x
)
x
=
0
{\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {1-\cos(x)}{x}}=0}
lim
x
→
0
1
−
cos
(
x
)
x
2
=
1
2
{\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {1-\cos(x)}{x^{2}}}={\frac {1}{2}}}
правіць
lim
x
→
0
(
1
+
x
)
1
x
=
e
{\displaystyle \lim _{x\to 0}(1+x)^{\frac {1}{x}}=e}
lim
x
→
0
ln
(
1
+
x
)
x
=
1
{\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\ln(1+x)}{x}}=1}
lim
x
→
0
log
a
(
1
+
x
)
x
=
1
ln
a
{\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\log _{a}(1+x)}{x}}={\frac {1}{\ln a}}}
lim
x
→
0
e
x
−
1
x
=
1
{\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {e^{x}-1}{x}}=1}
lim
x
→
0
a
x
−
1
x
=
ln
a
{\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {a^{x}-1}{x}}=\ln a}
lim
x
→
0
(
1
+
x
)
α
−
1
x
=
α
{\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {(1+x)^{\alpha }-1}{x}}=\alpha }
правіць
lim
n
→
∞
n
n
!
n
=
e
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {n}{\sqrt[{n}]{n!}}}=e}
lim
n
→
∞
(
2
⋅
4
⋅
⋯
⋅
2
n
1
⋅
3
⋅
⋯
⋅
(
2
n
−
1
)
)
2
⋅
1
2
n
+
1
=
π
2
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left({\frac {2\cdot 4\cdot \dots \cdot 2n}{1\cdot 3\cdot \dots \cdot (2n-1)}}\right)^{2}\cdot {\frac {1}{2n+1}}={\frac {\pi }{2}}}
формула Уоліса )[ 4]
lim
n
→
∞
2
n
2
−
2
+
2
+
⋯
+
2
⏟
n
=
π
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }2^{n}\underbrace {\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2+\dots +{\sqrt {2}}}}}}}} _{n}=\pi }
У гэтым падраздзеле прыведзены ліміты выразаў, якія ўяўляюць сабою дзелі дзвюх функцый або выразы ўзору «функцыя ў ступені функцыя». Гэтыя ліміты адметныя тым, што яны паказваюць, якая з функцый хутчэй набліжаецца да нуля (ці бясконцасці).
lim
n
→
∞
n
α
a
n
=
0
,
(
a
>
1
)
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {n^{\alpha }}{a^{n}}}=0,\qquad (a>1)}
lim
n
→
∞
a
n
n
!
=
0
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {a^{n}}{n!}}=0}
lim
n
→
∞
ln
n
n
=
0
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {\ln n}{n}}=0}
lim
n
→
∞
(
ln
n
)
q
n
α
=
0
,
(
α
>
0
)
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {(\ln n)^{q}}{n^{\alpha }}}=0,\qquad (\alpha >0)}
lim
n
→
∞
a
n
=
1
,
(
a
>
0
)
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{a}}=1,\qquad (a>0)}
lim
n
→
∞
n
n
=
1
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{n}}=1}
lim
x
→
+
0
x
α
ln
x
=
0
,
(
α
>
0
)
{\displaystyle \lim _{x\to +0}x^{\alpha }\ln x=0,\qquad (\alpha >0)}
lim
x
→
+
0
x
x
=
1
{\displaystyle \lim _{x\to +0}x^{x}=1}
правіць
↑ Курс вышэйшай матэматыкі : Алгебра і геаметрыя. Аналіз функцый адной зменнай: Падручнік/ В.М.Русак, Л.І.Шлома, В.К.Ахраменка, А.П.Крачкоўскі. - Мінск, 1994. С. 304.
↑ Віктар Ахраменка. Курс лекцый па матэматычным аналізе для студэнтаў радыёфізічнага факультэта. ↑
Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. — Москва: Наука, 1971. — Т. 1.
↑ а б
Матэматычная энцыклапедыя / Гал. рэд. В. Бернік. — Мінск: Тэхналогія, 2001.
↑
Воднев В.Т., Наумович А.Ф., Наумович Н.Ф. Основные математические формулы / Под ред. Богданова Ю.С.. — Минск: Вышэйшая школа, 1980.
![{\displaystyle \lim _{x\to c}\,[f(x)g(x)]=L_{1}\times L_{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0d8693d558a7dfc0f5f0c5900a05dd950f6f7f1)
![{\displaystyle \lim _{x\to \pm \infty }{\frac {a_{0}x^{k}+a_{1}x^{k-1}+...+a_{k}}{b_{0}x^{r}+b_{1}x^{r-1}+...+b_{r}}}={\begin{cases}\operatorname {sgn}[{a_{0} \over b_{0}}]\cdot (\pm 1)^{(k-r)}\cdot \infty ,&k>r,\\{\frac {a_{0}}{b_{0}}},&k=r,\\0,&k<r.\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec517c915345b7d1653d60d21b3922ba55d132e1)
![{\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {n}{\sqrt[{n}]{n!}}}=e}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e67d9f7e2588c9b3d418f1107e9ea27b8f330ed)
![{\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{a}}=1,\qquad (a>0)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/76c27e5edb8be05b683a5b8c5deb550ed6fc26b4)
![{\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{n}}=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad8399b997df7368a350c447667a7003822626e1)
