Адкрыць галоўнае меню
Абсалютная велічыня гама-функцыі на камплекснай плоскасці

Гама-функцыя (або Эйлераў інтэграл другога роду) — матэматычная функцыя, якая пашырае паняцце фактарыяла на поле камплексных лікаў. Звычайна абазначаецца грэчаскай літарай гама Γ(z).

Для натуральных n справядліва роўнасць:

Гама-функцыя вызначана для ўсіх камплексных лікаў, за выключэннем адмоўных цэлых і нуля. Для камплексных лікаў з дадатнай рэчаіснай часткай, функцыя вызначаецца з дапамогаю збежнага неўласцівага інтэграла:

Гэту інтэгральную функцыю можна аналітычна працягнуць на ўсю камплексную плоскасць, за выключэннем недадатных цэлых лікаў (дзе функцыя мае простыя полюсы). Атрыманая ў выніку мераморфная функцыя і называецца гама-функцыяй.

Была ўведзена Леанардам Эйлерам, а сваім абазначэннем гама-функцыя абавязана Лежандру.

АзначэнніПравіць

 
Графік гама-функцыі рэчаіснай зменнай

Інтэгральнае азначэннеПравіць

Калі рэчаісная частка камплекснага ліку   дадатная, то Гама-функцыя вызначаецца праз інтэграл

 

На ўсю камплексную плоскасць функцыя аналітычна працягваецца праз тоеснасць

 

Існуе непасрэдны аналітычны працяг зыходнай формулы на ўсю камплексную плоскасць, т. зв. інтэграл Рымана-Ханкеля

 

дзе контур   — любы контур на камплекснай плоскасці, які абходзіць пункт   супраць гадзіннікавай стрэлкі, і канцы якога ідуць на бесканечнасць уздоўж дадатнай рэчаіснае восі.

Наступныя выразы з'яўляюцца альтэрнатыўнымі азначэннямі Гама-функцыі.

Азначэнне па ГаусуПравіць

Яно вернае для ўсіх камплексных  , за выключэннем 0 і адмоўных цэлых лікаў

 

Азначэнне па ЭйлеруПравіць

 

Азначэнне па ВеерштрасуПравіць

 

дзе  пастаянная Эйлера — Маскероні.

ЗаўвагіПравіць

справядліва для падынтэгральнага выразу.
 
  •   з'яўляецца мераморфнаю на камплекснай плоскасці і мае полюсы ў пунктах  

Звязаныя азначэнніПравіць

  • Калі-нікалі выкарыстоўваецца альтэрнатыўны запіс, так званая пі-функцыя, якая звязана з гама-функцыяй наступным чынам:
     
  • У інтэграле з азначэння гама-функцыі, межы інтэгравання нязменныя. Разглядаюць таксама няпоўную гама-функцыю, якую вызначаюць падобным інтэгралам са зменнай верхняй ці ніжняй мяжою інтэгравання. Вылучаюць верхнюю няпоўную гама-функцыю, якую часта абазначаюць як гама-функцыю ад двух аргументаў:
 

і ніжнюю няпоўную гама-функцыю, якую таксама абазначаюць малой літарай «гама»:

 

УласцівасціПравіць

 
Графік модуля гама-функцыі на камплекснай плоскасці.
  • Формула дапаўнення Эйлера:
     
  • З яе вынікае формула памнажэння Гауса been:
     
  • якую пры n=2 называюць формулай падваення Лежандра:
     
  • Гама-функцыя мае полюс у   для любога натуральнага   і нуля; вылік у гэтым пункце задаецца так:
     
  • Наступнае прадстаўленне гама-функцыі ў выглядзе бесканечнага здабытку, як паказаў Веерштрас, верна для ўсіх камплексных  , акрамя недадатных цэлых лікаў:
     
дзе  пастаянная Эйлера — Маскероні.
  • Важная ўласцівасць, якая вынікае з гранічнага азначэння:
     .
  • Гама-функцыя бесканечна дыферэнцавальная, і
     
дзе   часта называюць «псі-функцыяй», ці дыгама-функцыяй.
  • Гама-функцыя і бэта-функцыя звязаны наступнымі суадносінамі:
     

Асобныя значэнніПравіць

  • Найбольш вядомыя значэнні гама-функцыі ад няцэлага аргумента:
     
     
    дзе AGM(x, y)сярэдняе арыфметыка-геаметрычнае(англ.) бел. лікаў x і y.
     
     
     

Гл. таксамаПравіць

ЛітаратураПравіць

  • Купцов Л. П. Гамма-функция // Математическая энциклопедия / И. М. Виноградов (гл. ред.). — М.: Советская энциклопедия. — Т. 1.

СпасылкіПравіць