Фактарыял

Фактарыя́л ліку n (лац.: factorialis — дзеючы, множачы; абазначаецца n!, чытаецца эн фактарыя́л) — здабытак усіх натуральных лікаў ад 1 да n уключна:

$n$	$n!$
0	1
1	1
2	2
3	6
4	24
5	120
10	3.628.800
20	2,432… · 1018
50	3,041… · 1064
100	9,332… · 10157

$n!=1\cdot 2\cdot \ldots \cdot n=\prod _{i=1}^{n}i.$

Напрыклад:

$5!=5\times 4\times 3\times 2\times 1=120.$

Па азначэнню лічаць 0! = 1. Фактарыял вызначаны толькі для цэлых неадмоўных лікаў.

Паслядоўнасць фактарыялаў неадмоўных цэлых лікаў пачынаецца так:

1, 1, 2, 6, 24, 120, 720, 5040, 40 320, 362 880, 3 628 800, 39 916 800, 479 001 600, 6 227 020 800, 87 178 291 200, 1 307 674 368 000, 20 922 789 888 000, 355 687 428 096 000, 6 402 373 705 728 000, 121 645 100 408 832 000, 2 432 902 008 176 640 000, … (паслядоўнасць A000142 у OEIS)

Фактарыялы часта выкарыстоўваюцца ў камбінаторыцы, тэорыі лікаў і функцыянальным аналізе.

Як функцыя, фактарыял вельмі хутка нарастае. Ён расце хутчэй, чым мнагачлен любой ступені, і хутчэй, чым паказчыкавая функцыя (але павольней, чым двайная экспаненцыяльная функцыя $e^{e^{n}}$).

Уласцівасці

Зваротная формула

$n!={\begin{cases}1&n=0,\\n\cdot (n-1)!&n>0.\end{cases}}$

Камбінаторнае вытлумачэнне

У камбінаторыцы фактарыял натуральнага ліку n вытлумачваецца як колькасць перастановак (упарадкаванняў) мноства з n элементаў. Напрыклад, для мноства {A,B,C,D} з 4-х элементаў існуе 4! = 24 перастаноўкі:

ABCD  BACD  CABD  DABC
ABDC  BADC  CADB  DACB
ACBD  BCAD  CBAD  DBAC
ACDB  BCDA  CBDA  DBCA
ADBC  BDAC  CDAB  DCAB
ADCB  BDCA  CDBA  DCBA

Камбінаторны сэнс фактарыяла служыць абгрунтаваннем тоеснасці 0! = 1, бо пустое мноства можна ўпарадкаваць толькі адным спосабам.

Сувязь з гама-функцыяй

Амплітуда і фаза фактарыяла камплекснага аргумента.

Фактарыял звязаны з гама-функцыяй ад цэлалікавага аргумента суадносінамі:

$n!=\Gamma (n+1).$

Такім чынам, гама-функцыю разглядаюць як абагульненне фактарыяла для дадатных рэчаісных лікаў.

Шляхам аналітычнага працягу яе таксама пашыраюць і на ўсю камплексную плоскасць, за выключэннем асаблівых пунктаў пры $n=-1,-2,-3\ldots .$

Пі-функцыя, вызначаная для ўсіх рэчаісных лікаў, акрамя адмоўных цэлых, і роўная фактарыялу пры натуральных значэннях аргумента.

Больш непасрэдным абагульненне фактарыяла на мноства рэчаісных (і камплексных) лікаў з'яўляецца пі-функцыя, вызначаная як

$\Pi (z)=\int _{0}^{\infty }t^{z}e^{-t}\,\mathrm {d} t\,.$

Паколькі $\Pi (z)=\Gamma (z+1)\,,$ то пі-функцыя натуральнага ліку супадае з яго фактарыялам: $\Pi (n)=n!.$ Як фактарыял, пі-функцыя задавальняе зваротныя (рэкурсіўныя) суадносіны

$\Pi (z)=z\Pi (z-1)\,.$

Формула Стырлінга

Асноўны артыкул: Формула Стырлінга

Формула Стырлінга — асімптатычная формула для вылічэння фактарыяла:

$n!={\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}\left(1+{\frac {1}{12n}}+{\frac {1}{288n^{2}}}-{\frac {139}{51840n^{3}}}-{\frac {571}{2488320n^{4}}}+{\frac {163879}{209018880n^{5}}}+{\frac {5246819}{75246796800n^{6}}}+O\left(n^{-7}\right)\right),$

гл. O-вялікае. Каэфіцыенты гэтага раскладання даюць паслядоўнасць A001163 у OEIS (лічнікі) і паслядоўнасць A001164 у OEIS (назоўнікі).

У многіх выпадках для прыбліжанага значэння фактарыяла дастаткова разглядаць толькі галоўны член формулы Стырлінга:

$n!\approx {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}.$

Пры гэтым можна сцвярджаць, што

${\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}e^{1/(12n+1)}<n!<{\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}e^{1/(12n)}.$

Формула Стырлінга дазваляе атрымліваць прыбліжаныя значэнні фактарыялаў вялікіх лікаў без непасрэднага перамнажэння паслядоўнасці натуральных лікаў. Так, з дапамогаю формулы Стырлінга лёгка падлічыць, што

• 100! ≈ 9,33×10¹⁵⁷;
• 1000! ≈ 4,02×10²⁵⁶⁷;
• 10 000! ≈ 2,85×10^35 659.

Раскладанне на простыя лікі

Кожны просты лік p ўваходзіць у раскладанне n! на простыя множнікі ў ступені

$\left\lfloor {\frac {n}{p}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {n}{p^{2}}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {n}{p^{3}}}\right\rfloor +\ldots .$

Такім чынам,

$n!=\prod _{p}p^{\lfloor {\frac {n}{p}}\rfloor +\lfloor {\frac {n}{p^{2}}}\rfloor +\ldots },$

дзе здабытак бярэцца па ўсіх простых ліках. Няцяжка бачыць, што для ўсякага простага p, большага за n, адпаведны множнік у здабытку роўны 1, а таму здабытак можна браць толькі па простых p, не большых за n.

Іншыя ўласцівасці

• Для натуральнага ліку n

  $n!^{2}\geqslant n^{n}\geqslant n!\geqslant n.$

Абагульненні

Двайны фактарыял

Двайны фактарыял ліку n абазначаецца n!! і вызначаецца як здабытак усіх натуральных лікаў у адрэзку [1,n], маючых тую ж цотнасць што і n. Такім чынам,

$(2k)!!=2\cdot 4\cdot 6\cdots 2k=\prod _{i=1}^{k}2i=2^{k}\cdot k!,$

$(2k+1)!!=1\cdot 3\cdot 5\cdots (2k+1)=\prod _{i=0}^{k}(2i+1)={\frac {(2k+1)!}{2^{k}\cdot k!}}={\frac {(2k+1)!}{(2k)!!}}.$

Па азначэнню прымаюць 0!! = 1.

Паслядоўнасць значэнняў n!! пачынаецца так:

1, 1, 2, 3, 8, 15, 48, 105, 384, 945, 3840, 10 395, 46 080, 135 135, 645 120, 2 027 025, 10 321 920, 34 459 425, 185 794 560, 654 729 075, 3 715 891 200, 13 749 310 575, 81 749 606 400, 316 234 143 225, 1 961 990 553 600, 7 905 853 580 625, 51 011 754 393 600, … (паслядоўнасць A006882 у OEIS).

Кратны фактарыял

m-кратны фактарыял ліку n абазначаецца $\textstyle n\underbrace {!!\ldots !} _{m}$ і вызначаецца наступным чынам:

Няхай лік n можна прадставіць у выглядзе $n=mk-r,$ дзе $k\in \mathbb {Z} ,$ $r\in \{0,1,\ldots ,m-1\}.$ Тады

$n\underbrace {!!\ldots !} _{m}=\prod _{i=1}^{k}(mi-r).$

Двайны фактарыял з'яўляецца асобным выпадкам m-кратнага фактарыяла для m = 2.

Кратны фактарыял звязаны з гама-функцыяй наступнымі суадносінамі:

$n\underbrace {!!\ldots !} _{m}=\prod _{i=1}^{k}(mi-r)=m^{k}\cdot {\frac {\Gamma \left(k-{\frac {r}{m}}+1\right)}{\Gamma \left(1-{\frac {r}{m}}\right)}}.$

Спадаючы фактарыял

Спадаючым фактарыялам (ці няпоўным фактарыялам) называецца выраз

$(n)_{k}=n^{\underline {k}}=n^{[k]}=n\cdot (n-1)\cdot \ldots \cdot (n-k+1)={\frac {n!}{(n-k)!}}.$

Спадаючы фактарыял дае лік размяшчэнняў з n па k.

Нарастаючы фактарыял

Нарастаючым фактарыялам называецца выраз

$n^{(k)}=n^{\overline {k}}=n\cdot (n+1)\cdot \ldots \cdot (n+k-1)={\frac {(n+k-1)!}{(n-1)!}}.$

Прымарыял

Прымарыял (англ.: primorial) ліку n абазначаецца n# і вызначаецца як здабытак усіх простых лікаў, не большых чым n. Напрыклад,

11# = 12# = 2 · 3 · 5 · 7 · 11 = 2310.

Паслядоўнасць прымарыялаў (уключаючы ${\textstyle {1\#\equiv 1}}$) пачынаецца так:

1, 2, 6, 30, 210, 2310, 30 030, 510 510, 9 699 690, 223 092 870, 6 469 693 230, 200 560 490 130, 7 420 738 134 810, 304 250 263 527 210, 13 082 761 331 670 030, 614 889 782 588 491 400, 32 589 158 477 190 046 000, 1 922 760 350 154 212 800 000, … (паслядоўнасць A002110 у OEIS).

Суперфактарыялы

Нейл Слоан і Сайман Плоуф у 1995 годзе вызначылі суперфактарыял як здабытак першых n фактарыялаў. Згодна з гэтым азначэннем, суперфактарыял чатырох роўны

$\operatorname {sf} (4)=1!\times 2!\times 3!\times 4!=288\,$

(устоянага абазначэння няма, таму выкарыстоўваецца функцыянальнае).

Такім чынам,

$\operatorname {sf} (n)=\prod _{k=1}^{n}k!=\prod _{k=1}^{n}k^{n-k+1}=1^{n}\cdot 2^{n-1}\cdot 3^{n-2}\cdots (n-1)^{2}\cdot n^{1}.$

Паслядоўнасць суперфактарыялаў лікаў $n\geqslant 0$ пачынаецца так:

1, 1, 2, 12, 288, 34 560, 24 883 200, … (паслядоўнасць A000178 у OEIS).

Ідэя была абагульнена ў 2000 годзе Генры Ботамлі, што прывяло да гіперфактарыялаў (англ.: Superduperfactorial), якія з'яўляюцца здабыткам першых n суперфактарыялаў. Паслядоўнасць гіперфактарыялаў лікаў $n\geqslant 1$ пачынаецца так:

1, 1, 2, 24, 6912, 238 878 720, 5 944 066 965 504 000, 745 453 331 864 786 800 000 000 000, 3 769 447 945 987 085 600 000 000 000 000 000 000 000 000, 6 916 686 207 999 801 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 … (паслядоўнасць A055462 у OEIS)

Працягваючы рэкурэнтна, можна вызначыць фактарыял кратнага ўзроўню, ці m-узроўневы фактарыял ліку n, як здабытак першых n (m−1)-узроўневых фактарыялаў, г. зн.

$\operatorname {mf} (n,m)=\operatorname {mf} (n-1,m)\operatorname {mf} (n,m-1)=\prod _{k=1}^{n}k^{n-k+m-1 \choose n-k},$

дзе $\operatorname {mf} (n,0)=n$ для $n>0$ і $\operatorname {mf} (0,m)=1.$

Субфактарыял

Асноўны артыкул: Субфактарыял

Субфактарыял !n вызначаецца як колькасць беспарадкаў парадку n, г. зн. перастановак n-элементнага мноства без нерухомых пунктаў.

Гл. таксама

• Фактарыён