Тэарэма Ліувіля аб захаванні фазавага аб’ёму

Тэарэма Ліўвіля, названая ад імя французскага матэматыка Жазэфа Ліувіля, з'яўляецца адной з ключавых тэарэм у матэматычнай фізіцы, статыстычнай фізіцы і гамільтанавай механіцы. Тэарэма Ліувіля абвяшчае

Функцыя размеркавання[ru] гамільтанавай сістэмы пастаянная ўздоўж любой траекторыі ў фазавай прасторы.

Тэарэма сцвярджае захаванне ў часе фазавага аб'ёму, або шчыльнасці імавернасці ў фазавай прасторы.

Ураўненне ЛіувіляПравіць

Ураўненне Ліувіля апісвае эвалюцыю ў часе функцыі размеркавання (шчыльнасці імавернасці) гамільтанавай сістэмы ў  -мернай фазавай прасторы (  — колькасць часціц у сістэме). Разгледзім гамільтанаву сістэму з каардынатамі   і спалучанымі імпульсамі  , дзе  ,  . Тады размеркаванне ў фазавай прасторы   вызначае імавернасць   таго, што сістэма будзе знаходзіцца ў элеменце аб'ёму   сваёй фазавай прасторы.

Ураўненне Ліувіля апісвае эвалюцыю   ў часе   паводле правіла знаходжання поўнай вытворнай функцыі з улікам несціскаемасці патоку ў фазавай прасторы:

 

Вытворныя фазавых каардынат па часе для гамільтанавых сістэм апісваюцца згодна з ураўненнямі Гамільтана:

 
 

Просты доказ тэарэмы заключаецца ў назіранні, што эвалюцыя   вызначаецца ўраўненнем неразрыўнасці:

 

дзе   — скорасць перамяшчэння разглядаемага аб'ёму фазавай прасторы:

 

і заўвагай, што рознасць паміж гэтым выразам і ўраўненнем Ліувіля вызначаецца толькі складнікам, які апісвае дывергенцыю, а менавіта яе адсутнасць, што азначае адсутнасць крыніц або сцёкаў шчыльнасці імавернасці:

 

дзе  гамільтаніян, і былі выкарыстаны ўраўненні Гамільтана. Гэта можна прадставіць як рух праз фазавую прастору «патоку вадкасці» кропак сістэмы. Тэарэма азначае, што вытворная Лагранжа або субстанцыянальная вытворная шчыльнасці   роўная нулю. Гэта вынікае з ураўнення неразрыўнасці, бо поле скарасцей   у фазавай прасторы бездывергентнае, што ў сваю чаргу вынікае з гамільтанавых ураўненняў для кансерватыўных сістэм.

Геаметрычная інтэрпрэтацыяПравіць

Разгледзім траекторыю малой плямы (мноства кропак) у фазавай прасторы. Перамяшчаючыся ўздоўж мноства траекторый, пляма расцягваецца ў адной каардынаце, скажам —   — але сціскаецца па іншай каардынаце   так, што здабытак   застаецца канстантай. Плошча плямы (фазавы аб'ём) не змяняецца.

Больш дакладна, фазавы аб'ём   захоўваецца пры зрухах часу. Калі

 

і   мноства кропак фазавай прасторы, у якое можа эвалюцыянаваць мноства   у момант часу  , тады

 

для ўсіх часоў  . Аб'ём фазавай прасторы гамільтанавай сістэмы захоўваецца, паколькі эвалюцыя ў часе ў гамільтанавай механіцы — гэта кананічнае пераўтварэнне, а ўсе кананічныя пераўтварэнні маюць адзінкавы якабіян.

Фізічная інтэрпрэтацыяПравіць

Чаканы поўны лік часціц — інтэграл па ўсёй фазавай прасторы ад функцыі размеркавання:

 

(нарміровачны множнік апушчаны). У найпрасцейшым выпадку, калі часціца рухаецца ў эўклідавай прасторы ў полі патэнцыяльных сіл   з каардынатамі   і імпульсамі  , тэарэму Ліувіля можна запісаць у выглядзе

 

дзе  скорасць. У фізіцы плазмы гэты выраз называецца ўраўненнем Уласава[ru] і выкарыстоўваецца, каб апісаць вялікую колькасць бессутыкальных часціц, якія рухаюцца ў самаўзгодненым полі[ru] сіл  .

У класічнай статыстычнай механіцы лік часціц   вялікі, парадку ліку Авагадра. У стацыянарным выпадку   можна знайсці шчыльнасць мікрастанаў, даступных у дадзеным статыстычным ансамблі. Для стацыянарных станаў функцыі размеркавання   роўная любой функцыі гамільтаніяна  , напрыклад, у размеркаванні Максвела — Больцмана  , дзе  тэмпература,  пастаянная Больцмана.

Запіс праз дужку ПуасонаПравіць

Выкарыстоўваючы дужку Пуасона, якая мае ў кананічных каардынатах   выгляд

 

ураўненне Ліувіля для гамільтанавых сістэм набывае выгляд

 

Запіс з выкарыстаннем аператара ЛіувіляПравіць

Пры дапамозе аператара Ліувіля

 

для гамільтанавых сістэм ураўненне набывае выгляд