Тэарэма Ліувіля аб захаванні фазавага аб’ёму

Тэарэма Ліўвіля, названая ад імя французскага матэматыка Жазэфа Ліувіля, з'яўляецца адной з ключавых тэарэм у матэматычнай фізіцы, статыстычнай фізіцы і гамільтанавай механіцы. Тэарэма Ліувіля абвяшчае

Функцыя размеркавання гамільтанавай сістэмы пастаянная ўздоўж любой траекторыі ў фазавай прасторы.

Тэарэма сцвярджае захаванне ў часе фазавага аб'ёму, або шчыльнасці імавернасці ў фазавай прасторы.

Ураўненне Ліувіля

Ураўненне Ліувіля апісвае эвалюцыю ў часе функцыі размеркавання (шчыльнасці імавернасці) гамільтанавай сістэмы ў $6N$-мернай фазавай прасторы ($N$ — колькасць часціц у сістэме). Разгледзім гамільтанаву сістэму з каардынатамі $q_{i}$ і спалучанымі імпульсамі $p_{i}$, дзе $i=1,\dots ,d$, $d=3N$. Тады размеркаванне ў фазавай прасторы $\rho (p_{i},q_{i})$ вызначае імавернасць $\rho (p,q)\,\mathrm {d} ^{d}q\,\mathrm {d} ^{d}p$ таго, што сістэма будзе знаходзіцца ў элеменце аб'ёму $\mathrm {d} ^{d}q\,\mathrm {d} ^{d}p$ сваёй фазавай прасторы.

Ураўненне Ліувіля апісвае эвалюцыю $\rho (p_{i},q_{i};t)$ ў часе $t$ паводле правіла знаходжання поўнай вытворнай функцыі з улікам несціскаемасці патоку ў фазавай прасторы:

${\frac {\mathrm {d} \rho }{\mathrm {d} t}}={\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\sum _{i=1}^{d}\left({\frac {\partial \rho }{\partial q_{i}}}{\frac {\mathrm {d} q_{i}}{\mathrm {d} t}}+{\frac {\partial \rho }{\partial p_{i}}}{\frac {\mathrm {d} p_{i}}{\mathrm {d} t}}\right)=0.$

Вытворныя фазавых каардынат па часе для гамільтанавых сістэм апісваюцца згодна з ураўненнямі Гамільтана:

${\dot {q}}_{i}\equiv {\frac {\mathrm {d} q_{i}}{\mathrm {d} t}}={\frac {\partial H}{\partial p_{i}}},$

${\dot {p}}_{i}\equiv {\frac {\mathrm {d} p_{i}}{\mathrm {d} t}}=-{\frac {\partial H}{\partial q_{i}}}.$

Просты доказ тэарэмы заключаецца ў назіранні, што эвалюцыя $\rho$ вызначаецца ўраўненнем неразрыўнасці:

${\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla (\rho \,\mathbf {v} )={\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\rho \,\mathrm {div} \mathbf {v} +\mathbf {v} \,\mathrm {grad} \rho =0,$

дзе $\mathbf {v}$ — скорасць перамяшчэння разглядаемага аб'ёму фазавай прасторы:

$\nabla (\rho \,\mathbf {v} )=\sum _{i=1}^{d}\left({\frac {\partial (\rho {\dot {q}}_{i})}{\partial q_{i}}}+{\frac {\partial (\rho {\dot {p}}_{i})}{\partial p_{i}}}\right)$

і заўвагай, што рознасць паміж гэтым выразам і ўраўненнем Ліувіля вызначаецца толькі складнікам, які апісвае дывергенцыю, а менавіта яе адсутнасць, што азначае адсутнасць крыніц або сцёкаў шчыльнасці імавернасці:

$\rho \,\mathrm {div} \mathbf {v} =\rho \sum _{i=1}^{d}\left({\frac {\partial {\dot {q}}_{i}}{\partial q_{i}}}+{\frac {\partial {\dot {p}}_{i}}{\partial p_{i}}}\right)=\rho \sum _{i=1}^{d}\left({\frac {\partial ^{2}H}{\partial q_{i}\,\partial p_{i}}}-{\frac {\partial ^{2}H}{\partial p_{i}\partial q_{i}}}\right)=0,$

дзе $H$ — гамільтаніян, і былі выкарыстаны ўраўненні Гамільтана. Гэта можна прадставіць як рух праз фазавую прастору «патоку вадкасці» кропак сістэмы. Тэарэма азначае, што вытворная Лагранжа або субстанцыянальная вытворная шчыльнасці $d\rho /dt$ роўная нулю. Гэта вынікае з ураўнення неразрыўнасці, бо поле скарасцей $({\dot {p}},{\dot {q}})$ у фазавай прасторы бездывергентнае, што ў сваю чаргу вынікае з гамільтанавых ураўненняў для кансерватыўных сістэм.

Геаметрычная інтэрпрэтацыя

Разгледзім траекторыю малой плямы (мноства кропак) у фазавай прасторы. Перамяшчаючыся ўздоўж мноства траекторый, пляма расцягваецца ў адной каардынаце, скажам — $p_{i}$ — але сціскаецца па іншай каардынаце $q_{i}$ так, што здабытак $\Delta p_{i}\Delta q_{i}$ застаецца канстантай. Плошча плямы (фазавы аб'ём) не змяняецца.

Больш дакладна, фазавы аб'ём $\Gamma$ захоўваецца пры зрухах часу. Калі

$\int \limits _{\Gamma }d^{d}q\,d^{d}p=C,$

і $\Gamma (t)$ мноства кропак фазавай прасторы, у якое можа эвалюцыянаваць мноства $\Gamma$ у момант часу $t$, тады

$\int \limits _{\Gamma (t)}d^{d}q\,d^{d}p=C,$

для ўсіх часоў $t$. Аб'ём фазавай прасторы гамільтанавай сістэмы захоўваецца, паколькі эвалюцыя ў часе ў гамільтанавай механіцы — гэта кананічнае пераўтварэнне, а ўсе кананічныя пераўтварэнні маюць адзінкавы якабіян.

Фізічная інтэрпрэтацыя

Чаканы поўны лік часціц — інтэграл па ўсёй фазавай прасторы ад функцыі размеркавання:

$N=\int d^{d}q\,d^{d}p\,\rho (p,q)$

(нарміровачны множнік апушчаны). У найпрасцейшым выпадку, калі часціца рухаецца ў эўклідавай прасторы ў полі патэнцыяльных сіл $\mathbf {F}$ з каардынатамі $\mathbf {x}$ і імпульсамі $\mathbf {p}$, тэарэму Ліувіля можна запісаць у выглядзе

${\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\mathbf {v} \cdot \nabla _{\mathbf {x} }\rho +{\frac {\mathbf {F} }{m}}\cdot \nabla _{\mathbf {p} }\rho =0,$

дзе $\mathbf {v} ={\dot {\mathbf {x} }}$ — скорасць. У фізіцы плазмы гэты выраз называецца ўраўненнем Уласава і выкарыстоўваецца, каб апісаць вялікую колькасць бессутыкальных часціц, якія рухаюцца ў самаўзгодненым полі сіл $\mathbf {F}$.

У класічнай статыстычнай механіцы лік часціц $N$ вялікі, парадку ліку Авагадра. У стацыянарным выпадку $\partial \rho /\partial t=0$ можна знайсці шчыльнасць мікрастанаў, даступных у дадзеным статыстычным ансамблі. Для стацыянарных станаў функцыі размеркавання $\rho$ роўная любой функцыі гамільтаніяна $H$, напрыклад, у размеркаванні Максвела — Больцмана $\rho \propto e^{-H/kT}$, дзе $T$ — тэмпература, $k$ — пастаянная Больцмана.

Запіс праз дужку Пуасона

Выкарыстоўваючы дужку Пуасона, якая мае ў кананічных каардынатах $(q^{i},p_{j})$ выгляд

$\{A,B\}=\sum _{i=1}^{N}\left(-{\frac {\partial A}{\partial q^{i}}}{\frac {\partial B}{\partial p_{i}}}+{\frac {\partial A}{\partial p_{i}}}{\frac {\partial B}{\partial q^{i}}}\right),$

ураўненне Ліувіля для гамільтанавых сістэм набывае выгляд

${\frac {\partial \rho }{\partial t}}=-\{\,\rho ,H\,\}.$

Запіс з выкарыстаннем аператара Ліувіля

Пры дапамозе аператара Ліувіля

$i{\hat {L}}=\sum _{i=1}^{d}\left[{\frac {\partial H}{\partial p_{i}}}{\frac {\partial }{\partial q_{i}}}-{\frac {\partial H}{\partial q_{i}}}{\frac {\partial }{\partial p_{i}}}\right],$

для гамільтанавых сістэм ураўненне набывае выгляд

${\frac {\partial \rho }{\partial t}}+i{\hat {L}}\rho =0.$