Для функцыі размеркавання
F
{\displaystyle F}
ξ
{\displaystyle \xi }
[1] :71-74
Манатоннасць [en]
x
1
≤
x
2
{\displaystyle x_{1}\leq x_{2}}
F
(
x
1
)
≤
F
(
x
2
)
{\displaystyle F(x_{1})\leq F(x_{2})}
Абмежаванасць [en]
0
≤
F
(
x
)
≤
1
{\displaystyle 0\leq F(x)\leq 1}
lim
x
→
−
∞
F
(
x
)
=
0
,
{\displaystyle \lim _{x\to -\infty }F(x)=0,}
lim
x
→
+
∞
F
(
x
)
=
1
;
{\displaystyle \lim _{x\to +\infty }F(x)=1;}
Непарыўнасць злева . Для кожнага
x
0
∈
R
{\displaystyle x_{0}\in \mathbb {R} }
lim
x
→
x
0
−
F
(
x
)
=
F
(
x
0
)
.
{\displaystyle \lim _{x\to x_{0}^{-}}F(x)=F(x_{0}).}
Для кожнай функцыі
F
:
R
→
[
0
,
1
]
{\displaystyle F:\mathbb {R} \to [0,1]}
імавернасная прастора
(
Ω
,
A
,
P
)
{\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},P)}
выпадковая велічыня
ξ
:
Ω
→
R
{\displaystyle \xi :\Omega \to \mathbb {R} }
F
ξ
{\displaystyle F_{\xi }}
F
{\displaystyle F}
Часта функцыя размеркавання задаецца праз роўнасць
F
ξ
(
x
)
:=
P
(
ξ
≤
x
)
,
∀
x
∈
R
{\displaystyle F_{\xi }(x):=P(\xi \leq x),\forall x\in \mathbb {R} }
Доказы ўласцівасцей
правіць
Доказ манатоннасці
правіць
Няхай
x
1
≤
x
2
{\displaystyle x_{1}\leq x_{2}}
(
−
∞
,
x
1
)
⊂
(
−
∞
,
x
2
)
{\displaystyle (-\infty ,x_{1})\subset (-\infty ,x_{2})}
ξ
−
1
(
−
∞
,
x
1
)
⊂
ξ
−
1
(
−
∞
,
x
2
)
,
{\displaystyle \xi ^{-1}(-\infty ,x_{1})\subset \xi ^{-1}(-\infty ,x_{2}),}
(
ξ
<
x
1
)
⊂
(
ξ
<
x
2
)
{\displaystyle (\xi <x_{1})\subset (\xi <x_{2})}
Карыстаючыся манатоннасцю імавернасці , атрымліваем
F
(
x
1
)
=
P
(
ξ
<
x
1
)
≤
P
(
ξ
<
x
2
)
=
F
(
x
2
)
.
{\displaystyle F(x_{1})=P(\xi <x_{1})\leq P(\xi <x_{2})=F(x_{2}).}
Доказ абмежаванасці
правіць
Няроўнасць
0
≤
F
(
x
)
≤
1
{\displaystyle 0\leq F(x)\leq 1}
0
≤
P
(
ξ
<
x
)
≤
1
{\displaystyle 0\leq P(\xi <x)\leq 1}
Разгледзім улучэнні
(
−
∞
,
−
1
)
⊃
(
−
∞
,
−
2
)
⊃
…
{\displaystyle (-\infty ,-1)\supset (-\infty ,-2)\supset \dots \,}
⋂
n
=
1
∞
(
−
∞
,
−
n
)
=
∅
{\displaystyle \bigcap _{n=1}^{\infty }(-\infty ,-n)=\varnothing }
ξ
−
1
(
−
∞
,
−
1
)
⊃
ξ
−
1
(
−
∞
,
−
2
)
⊃
…
,
{\displaystyle \xi ^{-1}(-\infty ,-1)\supset \xi ^{-1}(-\infty ,-2)\supset \dots ,}
⋂
n
=
1
∞
ξ
−
1
(
−
∞
,
−
n
)
=
ξ
−
1
(
⋂
n
=
1
∞
(
−
∞
,
−
n
)
)
=
ξ
−
1
(
∅
)
=
∅
.
{\displaystyle \bigcap _{n=1}^{\infty }\xi ^{-1}(-\infty ,-n)=\xi ^{-1}\left(\bigcap _{n=1}^{\infty }(-\infty ,-n)\right)=\xi ^{-1}(\varnothing )=\varnothing .}
аксіёме непарыўнасці імавернасці атрымліваем
lim
n
→
−
∞
F
(
n
)
=
lim
n
→
+
∞
P
(
ξ
−
1
(
−
∞
,
−
n
)
)
=
0
{\displaystyle \lim _{n\to -\infty }F(n)=\lim _{n\to +\infty }P(\xi ^{-1}(-\infty ,-n))=0}
n
∈
Z
{\displaystyle n\in \mathbb {Z} }
x
∈
R
{\displaystyle x\in \mathbb {R} }
−
∞
{\displaystyle -\infty }
F
(
[
x
]
)
≤
F
(
x
)
≤
F
(
[
x
]
+
1
)
.
{\displaystyle F([x])\leq F(x)\leq F([x]+1).}
x
→
−
∞
{\displaystyle x\to -\infty }
тэарэмай аб заціснутай функцыі [en]
lim
x
→
−
∞
F
(
x
)
=
0.
{\displaystyle \lim _{x\to -\infty }F(x)=0.}
Прадставім
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
(
−
∞
,
0
)
+
[
0
,
1
)
+
[
1
,
2
)
+
…
{\displaystyle (-\infty ,0)+[0,1)+[1,2)+\dots }
1
=
P
ξ
(
R
)
=
P
ξ
(
(
−
∞
,
0
)
)
+
∑
k
=
0
+
∞
P
ξ
(
[
k
,
k
+
1
)
)
=
{\displaystyle 1=P_{\xi }(\mathbb {R} )=P_{\xi }((-\infty ,0))+\sum _{k=0}^{+\infty }P_{\xi }([k,k+1))=}
=
lim
n
→
+
∞
(
P
ξ
(
(
−
∞
,
0
)
)
+
∑
k
=
0
n
−
1
P
ξ
(
[
k
,
k
+
1
)
)
)
=
{\displaystyle =\lim _{n\to +\infty }\left(P_{\xi }((-\infty ,0))+\sum _{k=0}^{n-1}P_{\xi }([k,k+1))\right)=}
=
lim
n
→
+
∞
P
ξ
(
(
−
∞
,
0
)
+
[
0
,
1
)
+
[
1
,
2
)
+
⋯
+
[
n
−
1
,
n
)
)
=
{\displaystyle =\lim _{n\to +\infty }P_{\xi }((-\infty ,0)+[0,1)+[1,2)+\dots +[n-1,n))=}
=
lim
n
→
+
∞
P
ξ
(
(
−
∞
,
n
)
)
=
lim
n
→
+
∞
F
(
n
)
{\displaystyle =\lim _{n\to +\infty }P_{\xi }((-\infty ,n))=\lim _{n\to +\infty }F(n)}
n
∈
Z
{\displaystyle n\in \mathbb {Z} }
x
∈
R
{\displaystyle x\in \mathbb {R} }
Доказ непарыўнасці злева
правіць
Возьмем адвольную нарастальную паслядоўнасць рэчаісных лікаў
(
x
n
)
n
=
1
∞
{\displaystyle (x_{n})_{n=1}^{\infty }}
x
0
{\displaystyle x_{0}}
ліміту [en]
lim
x
→
x
0
−
F
(
x
)
{\displaystyle \lim _{x\to x_{0}^{-}}F(x)}
F
{\displaystyle F}
F
(
x
0
)
{\displaystyle F(x_{0})}
Заўважым, што
∅
=
⋃
n
=
1
∞
[
x
n
,
x
0
)
{\displaystyle \varnothing =\bigcup _{n=1}^{\infty }[x_{n},x_{0})}
[
x
n
,
x
0
)
⊃
[
x
n
+
1
,
x
0
)
∀
n
∈
N
{\displaystyle [x_{n},x_{0})\supset [x_{n+1},x_{0})\,\forall n\in \mathbb {N} }
0
=
lim
n
→
+
∞
P
ξ
(
[
x
n
,
x
0
)
)
=
lim
n
→
+
∞
P
ξ
(
(
−
∞
,
x
0
)
∖
(
(
−
∞
,
x
n
)
)
=
{\displaystyle 0=\lim _{n\to +\infty }P_{\xi }([x_{n},x_{0}))=\lim _{n\to +\infty }P_{\xi }((-\infty ,x_{0})\setminus ((-\infty ,x_{n}))=}
=
lim
n
→
+
∞
(
P
ξ
(
(
−
∞
,
x
0
)
)
−
P
ξ
(
(
−
∞
,
x
n
)
)
)
=
{\displaystyle =\lim _{n\to +\infty }(P_{\xi }((-\infty ,x_{0}))-P_{\xi }((-\infty ,x_{n})))=}
=
F
(
x
0
)
−
lim
x
n
→
x
0
F
(
x
n
)
.
{\displaystyle =F(x_{0})-\lim _{x_{n}\to x_{0}}F(x_{n}).}
lim
x
→
x
0
−
F
(
x
)
=
F
(
x
0
)
{\displaystyle \lim _{x\to x_{0}^{-}}F(x)=F(x_{0})}
![{\displaystyle F:\mathbb {R} \to [0,1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b0c8f53a3d4bfe23906df3cad3f66f98329c4344)
![{\displaystyle F([x])\leq F(x)\leq F([x]+1).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b64aaffbb9c252f7e49905b8c5f990a3c9c4d03f)
