Функцыя размеркавання

Функцыя размеркавання выпадковай велічыні — гэта функцыя, якая апісвае імавернасць таго, што выпадковая велічыня прыме значэнне, меншае за некаторы рэчаісны лік. Функцыя размеркавання задае размеркаванне выпадковай велічыні.

Прыклады непарыўных справа функцый размеркавання. У выпадку вызначэння функцый як непарыўных злева, выкалатыя і зафарбаваныя пункты ў месцах разрыву будуць памяняныя месцамі.

Азначэнне

правіць

Функцыяй размеркавання выпадковай велічыні завецца функцыя  , якая вызначаецца праз роўнасць[1]:70  

У некаторых крыніцах функцыя размеркавання вызначаецца з іншым знакам:   Такое вызначэнне ўплывае на ўласцівасць непарыўнасці, робячы функцыю непарыўнай справа, а не злева (гл. § Уласцівасці).

Існуе таксама абагульненне гэтага азначэння на многавымерныя выпадковыя велічыні.

Уласцівасці

правіць

Для функцыі размеркавання   кожнай выпадковай велічыні   справядлівыя наступныя ўласцівасці[1]:71-74:

  1. Манатоннасць[en]. Калі  , то  .
  2. Абмежаванасць[en]. Маюць месца няроўнасці  , прычым   
  3. Непарыўнасць злева. Для кожнага   выконваецца  

Для кожнай функцыі  , якая адпавядае ўмовам манатоннасці, абмежаванасці і непарыўнасці злева, існуюць імавернасная прастора   і выпадковая велічыня  , у якой функцыя размеркавання   супадае з  . Іншымі словамі, кожная такая функцыя і ёсць функцыяй размеркавання для некаторай выпадковай велічыні.

Часта функцыя размеркавання задаецца праз роўнасць  . У такім выпадку для яе характэрна ўласцівасць непарыўнасці справа, а не злева.

Доказы ўласцівасцей

правіць

Доказ манатоннасці

правіць

Няхай  . Тады  , і таму   гэта значыць  .

Карыстаючыся манатоннасцю імавернасці, атрымліваем  

Доказ абмежаванасці

правіць

Няроўнасць   відавочна вынікае з  .

Разгледзім улучэнні  . Заўважым, што  . Акрамя таго,     Па аксіёме непарыўнасці імавернасці атрымліваем   для  . Няхай цяпер   імкнецца да  . З манатоннасці функцыі размеркавання вынікае   Калі  , абедзве крайнія часткі няроўнасці імкнуцца да нуля. Карыстаючыся тэарэмай аб заціснутай функцыі[en], атрымліваем  

Прадставім   як суму   і, скарыстаўшы злічоную адытыўнасць, атрымаем         для  . Доказ для   праводзіцца аналагічна папярэдняму выпадку праз тэарэму аб заціснутай функцыі.

Доказ непарыўнасці злева

правіць

Возьмем адвольную нарастальную паслядоўнасць рэчаісных лікаў  , якая збягаецца да  . Існаванне ліміту[en]   вынікае з манатоннасці  . Пакажам, што гэты ліміт роўны  .

Заўважым, што   і  . Карыстаючыся аксіёмамі непарыўнасці і адытыўнасцю імавернасці, атрымліваем

 
 
 
Адсюль вынікае  .

Гл. таксама

правіць

Зноскі

  1. а б Звяровіч Э. І., Радына А. Я. Элементы тэорыі імавернасцей. — Мінск: Беларусь, 2013. — ISBN 978-985-01-1043-5.