Інтэгральнае ўраўненне

Інтэгра́льнае ўраўне́нне — ураўненне, якое звязвае шуканую функцыю і інтэграл ад яе. Да інтэгральных ураўненняў зводзяцца шматлікія задачы фізікі, краявыя задачы, задачы на адшуканне ўласных значэнняў дыферэнцыяльных ураўненняў і інш.

Гісторыя

Тэорыя інтэгральных ураўненняў зарадзілася ў канцы 19 — пачатку 20 ст. ў нетрах тэорыі дыферэнцыяльных ураўненняў і матэматычнай фізікі пасля прац матэматыкаў В.Вальтэры (1896), Э.Фрэдгольма (1903), Д.Гільберта (1912) і Э. Шміта (1907). Яна стымулявала развіццё функцыянальнага аналізу і тэорыі аператараў у абстрактных прасторах.

На Беларусі даследаванні па тэорыі інтэгральных ураўненняў пачаліся ў 1961 года пад кіраўніцтвам Ф. Д. Гахава (сінгулярныя ўраўненні) і праводзяцца ў БДУ, Інстытуце матэматыкі НАН Беларусі і інш.

Асноўныя тыпы ўраўненняў

Адрозніваюць інтэгральныя ўраўненні рэгулярныя (з інтэграламі Рымана ці Лебега) і сінгулярныя (з няўласнымі інтэграламі розных тыпаў), лінейныя і нелінейныя.

Найбольш вывучаны лінейныя інтэгральныя ўраўненні, напрыклад, ураўненні Фрэдгольма

$a(t)u(t)+\int \limits _{\Omega }k(t,s)u(s)\,ds=f(t),$

дзе u(t) — шуканая, a(t), k(t,s) (ядро) і f(t) — зададзеныя функцыі, $\Omega$ — вобласць эўклідавай прасторы аднаго або многіх вымярэнняў. Калі a(t)=0, дадзенае ўраўненне называецца ўраўненнем 1-га роду, калі a(t) = 1 — 2-га, у астатніх выпадках — 3-га. Пры замене інтэграла на інтэгральную суму (гл. вызначаны інтэграл) атрымліваецца сістэма алгебраічных ураўненняў, для якой вядомыя ўмовы вырашальнасці.

Важнымі класамі нелінейных інтэгральных ураўненняў з'яўляюцца ўраўненні Ляпунова—Шміта, Урысона і інш. Разглядаюцца таксама сістэмы інтэгральных ураўненняў, а таксама інтэгральныя ўраўненні з вектар-функцыямі розных тыпаў, выпадковымі працэсамі і інш.

Рашэнні ўраўненняў часта знаходзяць лікавымі метадамі.

Літаратура

• Інтэгральнае ўраўненне // Беларуская энцыклапедыя: У 18 т. Т. 7: Застаўка — Кантата / Рэдкал.: Г. П. Пашкоў і інш. — Мн. : БелЭн, 1998. — Т. 7. С. 280.
• Хведелидзе Б.В. Интегральное уравнение // Математическая энциклопедия / И. М. Виноградов (гл. ред.). — М.: Советская энциклопедия, 1979. — Т. 2. — 552 с. — 150 000 экз. Стл. 590—593.