Ліміт (матэматыка)

матэматычнае паняцце, ужыванае да фукнцый
(Пасля перасылкі з Граніца (матэматыка))

Лімі́т[1], у старых і агульных слоўніках названы таксама грані́ца[2][3]  — адно з асноўных паняццяў матэматыкі. Сутнасць паняцця ліміту заключаецца ў тым, што некаторая велічыня, залежная ад зменнай, пры пэўным змяненні апошняй адвольна блізка набліжаецца да пэўнай сталай велічыні. Паняцце блізкасці асноўнае пры азначэнні ліміту. Залежна ад таго, у якіх прасторах яго ўводзяць, паняцце ліміту набывае пэўны сэнс.

На паняцці ліміту грунтуюцца асноўныя паняцці матэматычнага аналізу: непарыўнасць, вытворная, дыферэнцыял, інтэграл.

Ліміт у матэматычным аналізе правіць

Ліміт паслядоўнасці правіць

Ліміт паслядоўнасці азначаецца для паслядоўнасці   элементаў xn тапалагічнай прасторы X пры імкненні n да бесканечнасці. Кажуць, што паслядоўнасць   збягаецца да свайго ліміту  , калі для любога наваколля U(a) элемента a існуе нумар NU , такі што для ўсіх nNU выконваецца  . Таксама існуе сінанімічнае азначэнне: кажуць, што паслядоўнасць   збягаецца да свайго ліміту  , калі для любога ε, якое больш за нуль, існуе N, якое залежыць ад ε, пры якім для любога n большага за N выконваецца няроўнасць:  . Збежнасць паслядоўнасці   да ліміту a запісваюць як

 

Ліміт функцыі правіць

Няхай X і Y — тапалагічныя прасторы. Няхай функцыя f : EY вызначана на мностве E, якое з’яўляецца падмноствам прасторы X. Будзем лічыць, што ў любым наваколлі пункта   ёсць хаця б адзін пункт мноства E.

Пункт   называюць лімітам функцыі f пры імкненні x да x0 , калі для ўсякага наваколля V пункта a ў прасторы Y існуе такое наваколле U0 пункта x0 у прасторы X, што для адвольнага пункта   яго вобраз f(x) належыць V, г.зн.  

Пры гэтым пішуць

 

або f(x) → a пры xx0.

Ліміт інтэгральных сум правіць

Няхай на адрэзку [a, b] вызначана функцыя y = f(x). Падзелім гэты адрэзак пунктамі a = x0 < x1 < ... < xn = b на n частак і на кожным з атрыманых меншых адрэзкаў возьмем адвольны лік  . Інтэгральная сума вызначаецца як

 

Калі існуе канечны ліміт інтэгральных сум пры імкненні да нуля найбольшай з рознасцей xixi-1, то яна называецца вызначаным інтэгралам Рымана ад функцыі f на адрэзку [a, b].

Інтэграл Лебега таксама вызначаецца як ліміт інтэгральных сум, толькі гэтыя сумы будуюцца інакш.

Зноскі

  1. Матэматычная энцыклапедыя / Гал. рэд. В.Бернік. — Мінск: Тэхналогія, 2001.
  2. Беларуская навуковая тэрміналогія. Выпуск 1. Элементарная матэматыка. — Мінск: Інстытут беларускай культуры, 1922.
  3. Булыко А.Н., Полещук Н.В. Белорусско-русский, русско-белорусской словарь. — 3-е изд. — Минск: Попурри, 2010. — С. 74, 556.