Рэлятывісцкая механіка

Рэлятыві́сцкая меха́ніка — раздзел фізікі, які разглядае законы механікі (законы руху цел і часціц) пры скарасцях, параўнальных са скорасцю святла. Пры скарасцях, значна меншых за скорасць святла, пераходзіць у класічную (ньютанаўскую) механіку.

Агульныя прынцыпы

У класічнай механіцы прасторавыя каардынаты і час з’яўляюцца незалежнымі (пры адсутнасці сувязей, якія залежаць ад часу), час з’яўляецца абсалютным, гэта значыць, што ён цячэ аднолькава ва ўсіх сістэмах адліку, і дзейнічаюць пераўтварэнні Галілея. У рэлятывісцкай жа механіцы падзеі адбываюцца ў чатырохмернай прасторы (т.зв. «прасторы Мінкоўскага»), якая аб’ядноўвае фізічную трохмерную прастору і час. У прасторы Мінкоўскага пераход ад адной інерцыяльнай сістэмы адліку да другой адпавядае пераўтварэнням Лорэнца. Такім чынам, у адрозненне ад класічнай механікі, адначасовасць падзей залежыць ад выбару сістэмы адліку.

Асноўныя законы рэлятывісцкай механікі — рэлятывісцкае абагульненне другога закона Ньютана і рэлятывісцкі закон захавання энергіі-імпульсу — з’яўляюцца вынікам такога «змяшэння» прасторавых і часавых каардынат пры пераўтварэннях Лорэнца.

Другі закон Ньютана ў рэлятывісцкай механіцы

Сіла вызначаецца як

${\vec {F}}={\frac {d{\vec {p}}}{dt}},$

дзе ${\vec {p}}$ — рэлятывісцкі імпульс, вызначаны па формуле:

${\vec {p}}={\frac {m{\vec {v}}}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}.$

Каб вызначыць сілу, возьмем вытворную па часу ад апошняга выразу і атрымаем:

${\frac {d{\vec {p}}}{dt}}=m\gamma {\vec {a}}+m\gamma ^{3}{\vec {\beta }}({\vec {\beta }}{\vec {a}}),$

дзе

${\vec {\beta }}:={\frac {\vec {v}}{c}};$

$\gamma :={\frac {1}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}.$

У выніку выраз для сілы набывае выгляд:

${\vec {F}}=m\gamma {\vec {a}}+m\gamma ^{3}{\vec {\beta }}({\vec {\beta }}{\vec {a}}).$

Адсюль відаць, што ў рэлятывісцкай механіцы, у адрозненне ад нерэлятывісцкага выпадку, паскарэнне не абавязкова накіраванае па сіле, у агульным выпадку паскарэнне мае таксама і складнік, накіраваны па скорасці.

Функцыя Лагранжа свабоднай часціцы ў рэлятывісцкай механіцы

Запішам інтэграл дзеяння, зыходзячы з прынцыпу найменшага дзеяння:

$S=-\int \limits _{a}^{b}\alpha ds,$

дзе $\alpha$ — дадатны лік. Як вядома са спецыяльнай тэорыі адноснасці

$ds=c{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}dt,$

падстаўляючы ў інтэграл руху, знаходзім:

$S=-\int \limits _{t_{1}}^{t_{2}}\alpha c{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}dt.$

Але, з іншага боку, інтэграл руху, можна выразіць праз функцыю Лагранжа: $S=\int \limits _{t_{1}}^{t_{2}}{\mathcal {L}}dt.$ Параўноўваючы апошнія два выразы, няцяжка зразумець, што падынтэгральныя выразы павінны быць роўныя, гэта значыць:

${\mathcal {L}}=-\alpha c{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}.$

Далей, раскладзём апошні выраз па ступенях ${\frac {v}{c}},$ атрымаем:

${\mathcal {L}}\simeq \alpha c+{\frac {\alpha v^{2}}{2c}},$

першы член раскладання не залежыць ад скорасці, а значыць не ўносіць ніякіх змен ва ўраўненні руху. Тады, параўноўваючы з класічным выразам функцыі Лагранжа: ${\frac {mv^{2}}{2}}$, няцяжка вызначыць пастаянную $\alpha$:

$\alpha =mc.$

Такім чынам, канчаткова атрымліваем выгляд функцыі Лагранжа свабоднай часціцы:

${\mathcal {L}}=-mc^{2}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}.$

Меркаванні, прыведзеныя вышэй, можна разглядаць не толькі для часціцы, але і для адвольнага цела, галоўнае, каб яго часткі рухаліся як адно цэлае.

Гл. таксама

• Тэорыя адноснасці
• Спецыяльная тэорыя адноснасці
• Агульная тэорыя адноснасці

Літаратура

• Рэлятывісцкая механіка // Беларуская энцыклапедыя: У 18 т. Т. 14: Рэле — Слаявіна / Рэдкал.: Г. П. Пашкоў і інш. — Мн. : БелЭн, 2002. — Т. 14. С. 9.
• Паули В. Теория относительности. М.: Наука, 1991. 328 с.
• Принцип относительности. Сборник работ по специальной теории относительности. М.: Атомиздат, 1973.
• Уиттекер Э. История теории эфира и электричества. Современные теории 1900—1926. Пер с англ. Москва, Ижевск: ИКИ, 2004. 464с. ISBN 5-93972-304-7 (Глава 2)

Спасылкі

• Релятивистская механика // Физическая энциклопедия.