Бораўская мадэль атама

Бораўская мадэль атама (Мадэль Бора) — паўкласічная мадэль атама, прапанаваная Нільсам Борам у 1913 г. За аснову ён узяў планетарную мадэль атама, прапанаваную Рэзерфордам. Аднак, з пункту гледжання класічнай электрадынамікі, электрон у мадэлі Рэзерфорда, рухаючыся вакол ядра, павінен быў бы выпраменьваць бесперапынна і вельмі скора, страціўшы энергію, упасці на ядро. Каб пераадолець гэту праблему, Бор увёў дапушчэнне, сутнасць якога заключаецца ў тым, што электроны ў атаме могуць рухацца толькі па пэўных (стацыянарных) арбітах, знаходзячыся на якіх яны не выпраменьваюць энергію, а выпраменьванне або паглынанне адбываецца толькі ў момант пераходу з адной арбіты на іншую. Прычым стацыянарнымі з'яўляюцца толькі тыя арбіты, пры руху па якіх момант колькасці руху электрона роўны цэламу ліку пастаянных Планка: $m_{e}vr=n\hbar .$

Бораўская мадэль вадародападобнага атама (Z - зарад ядра), дзе адмоўна зараджаны электрон заключаны ў атамнай абалонцы, якая акружае малое, дадатна зараджанае атамнага ядра. Пераход электрона з арбіты на арбіту суправаджаецца выпраменьваннем або паглынаннем кванта электрамагнітнай энергіі (hν).

Выкарыстоўваючы гэтае дапушчэнне і законы класічнай механікі, а менавіта роўнасць сілы прыцягнення электрона з боку ядра і цэнтрабежнай сілы, якая дзейнічае на электрон пры вярчэнні, ён атрымаў наступныя значэнні для радыуса стацыянарнай арбіты $R_{n}$ і энергіі $E_{n}$ электрона на гэтай арбіце:

$R_{n}={\frac {4{\pi }\varepsilon _{0}\hbar ^{2}}{Zm_{e}e^{2}}}n^{2};\quad E_{n}=-{\frac {Z^{2}m_{e}e^{4}}{32{\pi }^{2}\varepsilon _{0}^{2}\hbar ^{2}}}\cdot {\frac {1}{n^{2}}}$

Тут $m_{e}$ — маса электрона, Z — колькасць пратонаў у ядры, $\varepsilon _{0}$ — дыэлектрычная пастаянная, е — зарад электрона.

Менавіта такі выраз для энергіі можна атрымаць з ураўнення Шродзінгера, рашаючы задачу аб руху электрона ў цэнтральным кулонаўскам поле.

Радыус першай арбіты ў атаме вадароду R₀=5,2917720859(36)×10⁻¹¹ м , цяпер называецца бораўскім радыусам, або атамнай адзінкай даўжыні і шырока выкарыстоўваецца ў сучаснай фізіцы. Энергія першай арбіты $E_{0}=-13.6$ эВ уяўляе сабой энергію іанізацыі атама вадароду.

Паўкласічная тэорыя Бора

Заснавана на двух пастулатах Бора:

• Атам можа знаходзіцца толькі ў асобых стацыянарных, або квантавых, станах, кожнаму з якіх адпавядае пэўная энергія. У стацыянарным стане атам не выпраменьвае электрамагнітных хваль.
• Выпраменьванне і паглынанне энергіі атамам адбываецца пры скачкападобным пераходзе з аднаго стацыянарнага стану ў іншы, пры гэтым маюць месца два стасункі
  1. $\varepsilon =E_{n2}-E_{n1},$ дзе $\varepsilon$ — выпрамененая (паглынутая) энергія, $\ n_{1},n_{2}$ — нумары квантавых станаў. У спектраскапіі $\ E_{n1}$ і $\ E_{n2}$ называюцца тэрмамі.
  2. Правіла квантавання моманту імпульсу: $\ m\upsilon r=n\hbar ,$ $\quad n=1,2,3...$

Далей зыходзячы з меркаванняў класічнай фізікі аб кругавым руху электрона вакол нерухомага ядра па стацыянарнай арбіце пад дзеяннем кулонаўскімі сілы прыцягнення, Бор атрымаў выразы для радыусаў стацыянарных арбіт і энергіі электрона на гэтых арбітах:

$\ r_{n}=an^{2},$ $a={\frac {\hbar ^{2}}{kme^{2}}}=5.3\cdot 10^{-11}$ м — бораўскі радыус.

$\ E_{n}=-R_{y}{\frac {1}{n^{2}}},$ $R_{y}={\frac {mk^{2}e^{4}}{2\hbar ^{2}}}$ — энергетычная пастаянная Рыдберга (лікава роўная 13,6 эВ).

Формула Зомерфельда - Дзірака

Рух электрона вакол атамнага ядра ў рамках класічнай механікі можна разглядаць як «лінейны асцылятар», які характарызуецца «адыябатычным інварыянтам», што ўяўляе сабой плошчу эліпса (у абагульненых каардынатах):

$\oint \mathbf {p} \cdot \mathrm {d} \mathbf {q} ={\frac {W}{\nu }}=J,$

дзе — $\mathbf {p} ,\mathbf {q}$ — абагульнены імпульс і каардынаты электрона, $W$ — энергія, $\nu$ — частата.

А квантавы пастулат сцвярджае, што плошча замкнёнай крывой у фазавай $pq$ — плоскасці за адзін перыяд руху, роўная цэламу ліку, памножанаму на пастаянную Планка $h$ (Дэбай, 1913 г.). У сувязі з пастаяннай тонкай структуры найбольш цікавым з'яўляецца рух рэлятывісцкага электрона ў поле ядра атама, калі яго маса залежыць ад хуткасці руху. У гэтым выпадку мы маем дзве квантавыя умовы:

$J_{1}=nh,\qquad J_{2}=kh,$

дзе $n$ вызначае галоўную паўвось эліптычнай арбіты электрона ($a$), а $k$ — яго факальны параметр $q$:

$a=a_{0}n^{2},\qquad q=a_{0}k^{2}.$

У гэтым выпадку Зомерфельд атрымаў выраз для энергіі ў выглядзе

$E=-{\frac {RZ^{2}}{n^{2}}}+\epsilon (n,k),$

дзе $R$ — пастаянная Рыдберга, а $Z$ — парадкавы нумар атама (для вадароду $Z=1$).

Дадатковы член $\epsilon (n,k)$ адлюстроўвае больш тонкія дэталі расшчаплення спектральных тэрмаў вадародападобных атамаў, а іх колькасць вызначаецца квантавым лікам $k$. Такім чынам, самі спектральныя лініі ўяўляюць сабой сістэмы больш тонкіх ліній, якія адпавядаюць пераходам паміж узроўнямі вышэйшага стану ($n=n_{1},k=1,2,...,n_{1}$) і ніжэйшага стану ($n=n_{2},k=1,2,...,n_{2}$). Гэта і ёсць т. зв. тонкая структура спектральных ліній. Зомерфельд распрацаваў тэорыю тонкай структуры для вадародападобных атамаў (H, $He^{+}$, $Li^{2+}$), а Фаулер з Пашэнам на прыкладзе спектра аднаразова іанізаванага гелія $He^{+}$ ўстанавілі поўную адпаведнасць тэорыі з эксперыментам.

Зомерфельд (1916) яшчэ задоўга да ўзнікнення квантавай механікі Шродзінгера атрымаў формулу для апісання вадародных тэрмаў у выглядзе:

$E+E_{0}=E_{0}\left(1+{\frac {\alpha ^{2}Z^{2}}{\left(n_{r}+{\sqrt {n_{\phi }^{2}-\alpha ^{2}Z^{2}}}\right)^{2}}}\right)^{-1/2},$

дзе $\alpha$ — пастаянная тонкай структуры, $Z$ — парадкавы нумар атама, $E_{0}=mc^{2}$ — энергія спакою, $n_{r}$ — радыяльны квантавы лік, а $n_{\phi }$ — азімутальны квантавы лік. Пазней гэту формулу, карыстаючыся рэлятывісцкім ураўненнем Шродзінгера, атрымаў Дзірак. Таму цяпер гэта формула і носіць імя Зомерфельда — Дзірака.

З'яўленне тонкай структуры тэрм звязана з прэцэсіяй электронаў вакол ядра атама. Таму з'яўленне тонкай структуры можна выявіць па рэзананснаму эфекту ў вобласці ўльтракароткіх электрамагнітных хваль. У выпадку Z = 1 (атам вадароду) велічыня расшчаплення блізкая да

$E/h\approx R\alpha ^{2}/n^{2}.$

Даўжыня электрамагнітнай хвалі роўная

$\lambda =c/\nu =ch/E=cn^{2}/R\alpha ^{2}\approx 0,17cm$

Таму для $n=2$ гэта будзе амаль 1 см.

Перавагі тэорыі Бора

• Ратлумачыла дыскрэтнасць энергетычных станаў вадародападобных атамаў.
• Тэорыя Бора падышла да тлумачэння ўнутрыатамных працэсаў з прынцыпова новых пазіцый, стала першай паўквантавай тэорыяй атама.
• Эўрыстычнае значэнне тэорыі Бора заключаецца ў смелым дапушчэнні існавання стацыянарных станаў і скачкападобнага пераходу паміж імі. Гэтыя палажэнні пазней былі распаўсюджаны і на іншыя мікрасістэмы.

Недахопы тэорыі Бора

• Не змагла растлумачыць інтэнсіўнасць спектральных ліній.
• Справядлівая толькі для вадародападобных атамаў і не працуе для атамаў, якія ідуць за ім у табліцы Мендзялеева.
• Тэорыя Бора лагічна супярэчлівая: не з'яўляецца ні класічнай, ні квантавай. У сістэме двух ураўненняў, якія ляжаць у яе аснове, адно — ўраўненне руху электрона — класічнае, іншае — ўраўненне квантавання арбіт — квантавае.

Тэорыя Бора з'яўлялася недастаткова паслядоўнай і агульнай. Таму яна ў далейшым была заменена сучаснай квантавай механікай, заснаванай на больш агульных і несупярэчных зыходных палажэннях. Цяпер вядома, што пастулаты Бора з'яўляюцца вынікам больш агульных квантавых законаў. Але правілы квантавання шырока выкарыстоўваюцца і ў нашы дні як прыбліжаныя суадносіны: іх дакладнасць часта бывае вельмі высокай.

Літаратура

• Макс Борн Атомная физика, 2-е изд., М.:Мир,1967.- 493с.