Бэта-размеркаванне другога тыпу — абсалютна непарыўнае размеркаванне імавернасцей . Калі
p
∈
[
0
,
1
]
{\displaystyle p\in [0,1]}
бэта-размеркаванне, то шансы
p
1
−
p
{\displaystyle {\frac {p}{1-p}}}
Бэта-размеркаванне другога тыпу
Шчыльнасць імавернасці
Функцыя размеркавання
Параметры
α
>
0
{\displaystyle \alpha >0}
параметр формы (рэчаісны лік )
β
>
0
{\displaystyle \beta >0}
Носьбіт функцыі [en]
x
∈
[
0
,
∞
)
{\displaystyle x\in [0,\infty )\!}
Шчыльнасць імавернасці
f
(
x
)
=
x
α
−
1
(
1
+
x
)
−
α
−
β
B
(
α
,
β
)
{\displaystyle f(x)={\frac {x^{\alpha -1}(1+x)^{-\alpha -\beta }}{B(\alpha ,\beta )}}\!}
Функцыя размеркавання
I
x
1
+
x
(
α
,
β
)
{\displaystyle I_{{\frac {x}{1+x}}(\alpha ,\beta )}}
I
x
(
α
,
β
)
{\displaystyle I_{x}(\alpha ,\beta )}
няпоўная бэта-функцыя Матэматычнае спадзяванне
α
β
−
1
{\displaystyle {\frac {\alpha }{\beta -1}}}
β
>
1
{\displaystyle \beta >1}
Мода
α
−
1
β
+
1
{\displaystyle {\frac {\alpha -1}{\beta +1}}}
α
≥
1
{\displaystyle \alpha \geq 1}
Дысперсія
α
(
α
+
β
−
1
)
(
β
−
2
)
(
β
−
1
)
2
{\displaystyle {\frac {\alpha (\alpha +\beta -1)}{(\beta -2)(\beta -1)^{2}}}}
β
>
2
{\displaystyle \beta >2}
Каэфіцыент асіметрыі
2
(
2
α
+
β
−
1
)
β
−
3
β
−
2
α
(
α
+
β
−
1
)
{\displaystyle {\frac {2(2\alpha +\beta -1)}{\beta -3}}{\sqrt {\frac {\beta -2}{\alpha (\alpha +\beta -1)}}}}
β
>
3
{\displaystyle \beta >3}
Утваральная функцыя момантаў [en]
не існуе Характарыстычная функцыя [en]
e
−
i
t
Γ
(
α
+
β
)
Γ
(
β
)
G
1
,
2
2
,
0
(
α
+
β
β
,
0
|
−
i
t
)
{\displaystyle {\frac {e^{-it}\Gamma (\alpha +\beta )}{\Gamma (\beta )}}G_{1,2}^{\,2,0}\!\left(\left.{\begin{matrix}\alpha +\beta \\\beta ,0\end{matrix}}\;\right|\,-it\right)}
Бэта-размеркаванне другога тыпу можа выкарыстоўвацца як спалучанае апрыёрнае [en] размеркавання Бэрнулі , калі яно параметрызаванае праз шансы, а не імавернасць. Супадае з размеркаваннем Пірсана [en] [1]
Бэта-размеркаванне другога тыпу з двума параметрамі α і β для
x
>
0
{\displaystyle x>0}
шчыльнасць імавернасці
f
(
x
)
=
x
α
−
1
(
1
+
x
)
−
α
−
β
B
(
α
,
β
)
{\displaystyle f(x)={\frac {x^{\alpha -1}(1+x)^{-\alpha -\beta }}{B(\alpha ,\beta )}}}
дзе B — бэта-функцыя .
Функцыя размеркавання мае выгляд
F
(
x
;
α
,
β
)
=
I
x
1
+
x
(
α
,
β
)
,
{\displaystyle F(x;\alpha ,\beta )=I_{\frac {x}{1+x}}\left(\alpha ,\beta \right),}
дзе I — рэгулярызаваная няпоўная бэта-функцыя .
Іншая форма запісу функцыі размеркавання:
x
α
⋅
2
F
1
(
α
,
α
+
β
,
α
+
1
,
−
x
)
α
⋅
B
(
α
,
β
)
,
{\displaystyle {\frac {x^{\alpha }\cdot {}_{2}F_{1}(\alpha ,\alpha +\beta ,\alpha +1,-x)}{\alpha \cdot B(\alpha ,\beta )}},}
дзе
2
F
1
{\displaystyle {}_{2}F_{1}}
гіпергеаметычная функцыя [en] 2 F1 .
Альтэрнатыўная параметрызацыя
правіць
Бэта-размеркаванне другога тыпу можа быць параметрызавана праз сярэдняе μ > 0 і дакладнасць ν > 0[2] :36
Няхай
μ
=
α
/
(
β
−
1
)
{\displaystyle \mu =\alpha /(\beta -1)}
ν
=
β
−
2
{\displaystyle \nu =\beta -2}
α
=
μ
(
1
+
ν
)
{\displaystyle \alpha =\mu (1+\nu )}
β
=
2
+
ν
{\displaystyle \beta =2+\nu }
E
[
X
]
=
μ
{\displaystyle \mathbb {E} [X]=\mu }
V
a
r
[
Y
]
=
μ
(
1
+
μ
)
/
ν
{\displaystyle Var[Y]=\mu (1+\mu )/\nu }
Зноскі
↑ Johnson, N.L., Kotz, S., Balakrishnan, N. (1995). Continuous Univariate Distributions , Volume 2 (2nd Edition), p. 248, Wiley. ISBN 0-471-58494-0
↑ Bourguignon, M.; Santos-Neto,M.; de Castro,M. (2021). "A new regression model for positive random variables with skewed and long tail". Metron . 79 : 33–55. doi :10.1007/s40300-021-00203-y . S2CID 233534544 .
![{\displaystyle p\in [0,1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33c3a52aa7b2d00227e85c641cca67e85583c43c)
![{\displaystyle \mathbb {E} [X]=\mu }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b82afe50d1b71cf9ff6bfd233df1bd461b23a69)
![{\displaystyle Var[Y]=\mu (1+\mu )/\nu }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/115d8a2938e08823b52345c5925237b5af8717c3)