У класічнай механіцы, задача двух цел заключаецца ў тым, каб вызначыць рух двух кропкавых часціц, якія ўзаемадзейнічаюць толькі адна з адною. Распаўсюджанымі прыкладамі задачы з'яўляюцца спадарожнік, які рухаецца вакол планеты, а таксама планета, якая рухаецца вакол зоркі, дзве зоркі, якія абарачаюцца вакол агульнага цэнтра мас (падвойная зорка), і класічная мадэль электрона, які рухаецца вакол атамнага ядра.

Задачу двух цел можна прадставіць як дзве незалежныя задачы аднаго цела, дзе разглядаецца рух адной часціцы ў вонкавым патэнцыяльным полі. Многія задачы з адным целам можна развязаць дакладна, таму адпаведную задачу з двума целамі таксама можна развязаць. Але задачу з трыма целамі (а тым больш задачу N цел пры N > 3) за выключэннем асобных выпадкаў дакладна развязаць немагчыма.

Два цела з аднолькавай масай, якія рухаюцца вакол агульнага цэнтра мас па эліптычных арбітах.
Два цела з невялікай розніцай у масах рухаюцца па кругавых арбітах вакол агульнага цэнтра мас. Гэты асобы тып арбіты падобны да сістэмы Плутон - Харон.

Пастаноўка задачыПравіць

Няхай   і   радыус-вектары двух цел, а   і   іх масы. Наша мэта: вызначыць траекторыю   і   для любога часу  , пры зададзеных пачатковых каардынатах

   

і хуткасцях

   .

Другі закон Ньютана ў дачыненні да дадзенай сістэмы сцвярджае, што

 
 

дзе

  — сіла, якая дзейнічае на першае цела з-за ўзаемадзеяннем з другім целам,
  — сіла, якая дзейнічае на другое цела з боку першага.

Складаючы і адымаючы гэтыя два ўраўненні, можна раздзяліць адну задачу на дзве задачы з адным целам, якія можна рашыць незалежна. "Складанне" раўнанняў (1) і (2) прыводзіць да раўнання, якое апісвае рух цэнтра мас. У адрозненне ад гэтага, "адыманне" раўнання (2) ад раўнання (1) прыводзіць да раўнання, якое апісвае, як вектар   паміж масамі змяняецца з часам. Рашэнне гэтых незалежных задач можа дапамагчы ў знаходжанні траекторый   и  .

Рух цэнтра мас (першая задача)Правіць

Складанне раўнанняў (1) і (2) прыводзіць да роўнасці

 

дзе мы выкарысталі трэці закон Ньютана  , і дзе

 

становішча цэнтра мас сістэмы. У выніку раўнанне прыме выгляд

 

Яно паказвае, што хуткасць   цэнтра мас нязменная. Адсюль вынікае, што поўны імпульс   таксама захоўваецца. Становішча і хуткасць цэнтра мас можна атрымаць для любога моманту часу.

Адносны рух (другая задача)Правіць

Адымаючы раўнанне (2) ад раўнання (1) і пераўтвараючы яго, прыходзім да раўнання

 

дзе мы зноў выкарысталі трэці закон Ньютана   і   (азначаны вышэй) - вектар адноснага зрушэння, накіраваны ад другога цела да першага.

Сіла паміж двума целамі павінна быць функцыяй толькі  , а не абсалютных радыус-вектараў   і  ; у адваротным выпадку задача не была б сіметрычнай адносна пераносу ў прасторы і часе, а гэта раўназначна таму, што законы фізікі мяняліся б ад кропкі да кропкі. Такім чынам можна запісаць:

 

дзе   -прыведзеная маса

 

Як толькі мы знойдзем рашэнне для   і   першапачатковыя траекторыі можна запісаць у выглядзе

 
 

як можа быць паказана падстаноўкай ў ўраўненні для   і  .

Рашэнне задачы двух целПравіць

Згодна з трэцім законам Ньютана сілы, з якімі целы дзейнічаюць адно на адно, роўныя па велічыні і процілеглыя па напрамку. Такім чынам, для задачы двух цел можна запісаць

 

Праінтэграваўшы гэта раўнанне два разы, атрымаем

 
 

дзе a і b – некаторыя вектары.

Абазначыўшы праз r становішча (радыус-вектар) цэнтра цяжару двух цел і M - іх агульную масу:

 
 

атрымаем

 

гэта значыць наступнае: цэнтр мас сістэмы рухаецца з пастаяннай хуткасцю.

Запішам сілы, якія дзейнічаюць на кожнае з цел, наступным чынам

      где      

Адымаючы другое раўнанне ад першага, атрымаем

      где      

Вектарна памнажаючы апошняе раўнанне на r і інтэгруючы, атрымаем

 
 

Пастаянны вектар h, які з'яўляецца пастаяннай інтэгравання, называецца кінэтычным момантам сістэмы. Узаемны рух цел адбываецца ў плоскасці, перпендыкулярнай гэтаму вектару. Увядзём сістэму цыліндрычных каардынат r,?, z. Адзінкавыя вектары ўздоўж радыяльнай, трансверсальнай і вертыкальнай восі абазначым як i, j і k. Праекцыі хуткасці на радыяльную і трансверсальную восі складуць

 

Тады

 
 
 
 
 

У левай частцы апошняга выразу стаіць падвоеная плошча трохвугольніка, які апісваецца радыус-вектарам r за адзінку часу. Такім чынам, гэтыя суадносіны з'яўляюцца матэматычным запісам другога закона Кеплера.

Раўнанне (1) памнажаем скалярна на хуткасць і інтэгруем. Атрымаем

 

Апошні стасунак з'яўляецца выражэннем закону захавання механічнай энергіі ў сістэме.

Рух двух цел у плоскасціПравіць

Цікава, што рух двух цел заўсёды адбываецца ў плоскасці. Вызначым імпульс   і момант імпульсу

 

Хуткасць змянення моманту імпульсу роўная моманту сілы  

 

але законы руху Ньютана выконваюцца для ўсіх фізічных сіл, і кажуць, што сіла, якая дзейнічае паміж двума часціцамі (матэрыяльнымі кропкамі), накіравана па лініі, якая злучае іх, гэта значыць   Адсюль   і момант імпульсу захоўваецца. Тады вектар зрушэння   і хуткасць яго змянення   ляжаць у плоскасці, перпендыкулярнай да пастаяннага вектара  .

Агульнае рашэнне для сілы, якая залежыць ад адлегласціПравіць

Часта бывае зручна перайсці ў палярныя каардынаты, бо рух адбываецца ў плоскасці і для многіх фізічных задач сіла   ёсць функцыяй радыуса   А раз r-кампанента паскарэння раўняецца   ураўненне для r-кампаненты вектара зрушэння   можна перапісаць у выглядзе

 

дзе   і момант імпульсу   захоўваецца. Захаванне вуглавога моманту дазваляе знайсці рашэнне для траекторыі  , выкарыстоўваючы замену зменных. Пераходзячы ад   да  

 

атрымаем ўраўненне руху

 

Гэтае ураўненне становіцца квазілінейным пры замене зменных   і дамнажэнне абедзвюх частак ўраўнення на  

 

ПрымяненнеПравіць

Для сіл  , адваротна прапарцыйных квадрату адлегласці, такіх як гравітацыя або электрастатыка ў класічнай фізіцы, атрымаем

 

для некаторых канстант  , ўраўненне для траекторый становіцца лінейным

 

Рашэнне гэтага ўраўнення

 

дзе   і   - пастаянныя. Гэтае рашэнне паказвае, што арбіта ўяўляе сабой канічнае сячэнне, г.зн. эліпс, гіпербалу або парабалу, у залежнасці ад таго   меншая за выраз  , большая ці роўная яму.

Задача двух цел у АТАПравіць

Нармальная арбіта любога цела, захопленага прыцягненнем іншага цела, уяўляе сабой эліпс або акружнасць - іменна такія арбіты мы назіраем у Сонечнай сістэме. Аднак агульная тэорыя адноснасці сцвярджае, што ў наваколлі вельмі масіўных цел - там, дзе прастора аказваецца моцна скрыўленая дзякуючы наяўнасці каласальнага гравітацыйнага поля спектр магчымых стабільных арбіт значна пашыраецца. У падобных умовах фізічныя аб'екты пачынаюць паводзіць сябе вельмі дзіўна. Напрыклад, цела можа падляцець да чорнай дзіркі па крутой парабале, зрабіць вакол яе некалькі імклівых кароткіх віткоў, а затым зноў закласці выцягнутую пятлю - і гэтак далей.

ПрыкладПравіць

Любая класічная сістэма, якая складаецца з двух часціц, па азначэнню задача двух цел. У многіх выпадках, аднак, адно цела шмат цяжэйшае за другое, як напрыклад у сістэме Зямлі і Сонца. У такіх выпадках больш цяжкая часціца выконвае ролю цэнтра мас і задача зводзіцца да задачы аб руху аднаго цела ў патэнцыяле другога.[1]. Пры гэтым варта не губляць з ўвазе, што з'яўляецца рызыка страты патрэбнай дакладнасці разлікаў пры злоўжыванні гэтым спрашчэннем. У прыватнасці, знаходжанне месца цэнтра кручэння ў больш масіўным целе расплывісте, у рэаліях яшчэ патрэбен ўлік іншых целаў і палёў. Патрэбен папярэдні аналіз, асабліва пры разліку устояных і стацыянарных арбіт: шматразовае кручэнне непазбежна назапасіць недакладнасці да непрымальнай велічыні памылкі.

Гл. таксамаПравіць

Зноскі

  1. David Shiga 'Periodic table' organises zoo of black hole orbits. NewScientist.com (13 лютага 2008). Архівавана з першакрыніцы 3 чэрвеня 2012.

ЛітаратураПравіць