Задача двух цел

У класічнай механіцы, задача двух цел заключаецца ў тым, каб вызначыць рух двух кропкавых часціц, якія ўзаемадзейнічаюць толькі адна з адною. Распаўсюджанымі прыкладамі задачы з'яўляюцца спадарожнік, які рухаецца вакол планеты, а таксама планета, якая рухаецца вакол зоркі, дзве зоркі, якія абарачаюцца вакол агульнага цэнтра мас (падвойная зорка), і класічная мадэль электрона, які рухаецца вакол атамнага ядра.

Задачу двух цел можна прадставіць як дзве незалежныя задачы аднаго цела, дзе разглядаецца рух адной часціцы ў вонкавым патэнцыяльным полі. Многія задачы з адным целам можна развязаць дакладна, таму адпаведную задачу з двума целамі таксама можна развязаць. Але задачу з трыма целамі (а тым больш задачу N цел пры N > 3) за выключэннем асобных выпадкаў дакладна развязаць немагчыма.

Два цела з аднолькавай масай, якія рухаюцца вакол агульнага цэнтра мас па эліптычных арбітах.

Два цела з невялікай розніцай у масах рухаюцца па кругавых арбітах вакол агульнага цэнтра мас. Гэты асобы тып арбіты падобны да сістэмы Плутон - Харон.

Пастаноўка задачы

Няхай $\mathbf {x} _{1}$ і $\mathbf {x} _{2}$ радыус-вектары двух цел, а $m_{1}$ і $m_{2}$ іх масы. Наша мэта: вызначыць траекторыю $\mathbf {x} _{1}(t)$ і $\mathbf {x} _{2}(t)$ для любога часу $t$ , пры зададзеных пачатковых каардынатах

\mathbf {x} _{1}(t=0),

\mathbf {x} _{2}(t=0)

і хуткасцях

{\dot {\mathbf {x} }}_{1}(t=0),

{\dot {\mathbf {x} }}_{2}(t=0)

.

Другі закон Ньютана ў дачыненні да дадзенай сістэмы сцвярджае, што

\mathbf {F} _{12}(\mathbf {x} _{1},\mathbf {x} _{2})=m_{1}{\ddot {\mathbf {x} }}_{1}\quad \quad \quad (1)

\mathbf {F} _{21}(\mathbf {x} _{1},\mathbf {x} _{2})=m_{2}{\ddot {\mathbf {x} }}_{2}\quad \quad \quad (2)

дзе

\mathbf {F} _{12}

— сіла, якая дзейнічае на першае цела з-за ўзаемадзеяннем з другім целам,

\mathbf {F} _{21}

— сіла, якая дзейнічае на другое цела з боку першага.

Складаючы і адымаючы гэтыя два ўраўненні, можна раздзяліць адну задачу на дзве задачы з адным целам, якія можна рашыць незалежна. "Складанне" раўнанняў (1) і (2) прыводзіць да раўнання, якое апісвае рух цэнтра мас. У адрозненне ад гэтага, "адыманне" раўнання (2) ад раўнання (1) прыводзіць да раўнання, якое апісвае, як вектар $\mathbf {r} \equiv \mathbf {x} _{1}-\mathbf {x} _{2}$ паміж масамі змяняецца з часам. Рашэнне гэтых незалежных задач можа дапамагчы ў знаходжанні траекторый $\mathbf {x} _{1}(t)$ и $\mathbf {x} _{2}(t)$ .

Рух цэнтра мас (першая задача)

Складанне раўнанняў (1) і (2) прыводзіць да роўнасці

m_{1}{\ddot {\mathbf {x} }}_{1}+m_{2}{\ddot {\mathbf {x} }}_{2}=(m_{1}+m_{2}){\ddot {\mathbf {x} }}_{cm}=\mathbf {F} _{12}+\mathbf {F} _{21}=0,

дзе мы выкарысталі трэці закон Ньютана $\mathbf {F} _{12}=-\mathbf {F} _{21}$ , і дзе

\mathbf {x} _{cm}\equiv {\frac {m_{1}\mathbf {x} _{1}+m_{2}\mathbf {x} _{2}}{m_{1}+m_{2}}}

становішча цэнтра мас сістэмы. У выніку раўнанне прыме выгляд

{\ddot {\mathbf {x} }}_{cm}=0.

Яно паказвае, што хуткасць ${\dot {\mathbf {x} }}_{cm}$ цэнтра мас нязменная. Адсюль вынікае, што поўны імпульс $m_{1}{\dot {\mathbf {x} }}_{1}+m_{2}{\dot {\mathbf {x} }}_{2}$ таксама захоўваецца. Становішча і хуткасць цэнтра мас можна атрымаць для любога моманту часу.

Адносны рух (другая задача)

Адымаючы раўнанне (2) ад раўнання (1) і пераўтвараючы яго, прыходзім да раўнання

{\ddot {\mathbf {x} }}_{1}-{\ddot {\mathbf {x} }}_{2}=\left({\frac {\mathbf {F} _{12}}{m_{1}}}-{\frac {\mathbf {F} _{21}}{m_{2}}}\right)=\left({\frac {1}{m_{1}}}+{\frac {1}{m_{2}}}\right)\mathbf {F} _{12},

дзе мы зноў выкарысталі трэці закон Ньютана $\mathbf {F} _{12}=-\mathbf {F} _{21}$ і $\mathbf {r}$ (азначаны вышэй) - вектар адноснага зрушэння, накіраваны ад другога цела да першага.

Сіла паміж двума целамі павінна быць функцыяй толькі $\mathbf {r}$ , а не абсалютных радыус-вектараў $\mathbf {x} _{1}$ і $\mathbf {x} _{2}$ ; у адваротным выпадку задача не была б сіметрычнай адносна пераносу ў прасторы і часе, а гэта раўназначна таму, што законы фізікі мяняліся б ад кропкі да кропкі. Такім чынам можна запісаць:

\mu {\ddot {\mathbf {r} }}=\mathbf {F} _{12}(\mathbf {x} _{1},\mathbf {x} _{2})=\mathbf {F} (\mathbf {r} ),

дзе $\mu$ -прыведзеная маса

\mu ={\frac {1}{{\frac {1}{m_{1}}}+{\frac {1}{m_{2}}}}}={\frac {m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}.

Як толькі мы знойдзем рашэнне для $\mathbf {x} _{cm}(t)$ і $\mathbf {r} (t),$ першапачатковыя траекторыі можна запісаць у выглядзе

\mathbf {x} _{1}(t)=\mathbf {x} _{cm}(t)+{\frac {m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}\mathbf {r} (t);

\mathbf {x} _{2}(t)=\mathbf {x} _{cm}(t)-{\frac {m_{1}}{m_{1}+m_{2}}}\mathbf {r} (t)

як можа быць паказана падстаноўкай ў ўраўненні для $\mathbf {x} _{cm}(t)$ і $\mathbf {r} (t)$ .

Рашэнне задачы двух цел

Згодна з трэцім законам Ньютана сілы, з якімі целы дзейнічаюць адно на адно, роўныя па велічыні і процілеглыя па напрамку. Такім чынам, для задачы двух цел можна запісаць

m_{1}{\ddot {\mathbf {r} }}_{1}+m_{2}{\ddot {\mathbf {r} }}_{2}=0.

Праінтэграваўшы гэта раўнанне два разы, атрымаем

m_{1}{\dot {\mathbf {r} }}_{1}+m_{2}{\dot {\mathbf {r} }}_{2}=\mathbf {a} ;

m_{1}\mathbf {r} _{1}+m_{2}\mathbf {r} _{2}=\mathbf {a} t+\mathbf {b} ,

дзе a і b – некаторыя вектары.

Абазначыўшы праз r становішча (радыус-вектар) цэнтра цяжару двух цел і M - іх агульную масу:

~M=m_{1}+m_{2};

~M\mathbf {r} =m_{1}\mathbf {r} _{1}+m_{2}\mathbf {r} _{2},

атрымаем

~M{\dot {\mathbf {r} }}=\mathbf {a} ,

гэта значыць наступнае: цэнтр мас сістэмы рухаецца з пастаяннай хуткасцю.

Запішам сілы, якія дзейнічаюць на кожнае з цел, наступным чынам

~{\ddot {\mathbf {r} }}_{1}=Gm_{2}{\frac {\mathbf {r} }{r^{3}}};\;\;\;{\ddot {\mathbf {r} }}_{2}=-Gm_{1}{\frac {\mathbf {r} }{r^{3}}},

где

~\mathbf {r} =\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}.

Адымаючы другое раўнанне ад першага, атрымаем

~{\ddot {\mathbf {r} }}=-{\frac {\mu \mathbf {r} }{r^{3}}},

где

~\mu =G(m_{1}+m_{2}).\;\;\;(1)

Вектарна памнажаючы апошняе раўнанне на r і інтэгруючы, атрымаем

~\mathbf {r} \times {\ddot {\mathbf {r} }}=0;

~\mathbf {r} \times {\dot {\mathbf {r} }}=\mathbf {h} .

Пастаянны вектар h, які з'яўляецца пастаяннай інтэгравання, называецца кінэтычным момантам сістэмы. Узаемны рух цел адбываецца ў плоскасці, перпендыкулярнай гэтаму вектару. Увядзём сістэму цыліндрычных каардынат r,?, z. Адзінкавыя вектары ўздоўж радыяльнай, трансверсальнай і вертыкальнай восі абазначым як i, j і k. Праекцыі хуткасці на радыяльную і трансверсальную восі складуць

~{\dot {\mathbf {r} }}_{r}=\mathbf {i} {\dot {r}};~~~{\dot {\mathbf {r} }}_{\phi }=\mathbf {j} r{\dot {\phi }},~~~{\dot {\mathbf {r} }}=\mathbf {i} {\dot {r}}+\mathbf {j} r{\dot {\phi }}.

Тады

~\mathbf {r} \times {\dot {\mathbf {r} }}=\mathbf {h} ;

~\mathbf {i} r\times (\mathbf {i} {\dot {r}}+\mathbf {j} r{\dot {\phi }})=\mathbf {k} h;

~\mathbf {i} r\times \mathbf {j} r{\dot {\phi }}=\mathbf {k} h;

~\mathbf {k} r^{2}{\dot {\phi }}=\mathbf {k} h;

~r^{2}{\dot {\phi }}=h.

У левай частцы апошняга выразу стаіць падвоеная плошча трохвугольніка, які апісваецца радыус-вектарам r за адзінку часу. Такім чынам, гэтыя суадносіны з'яўляюцца матэматычным запісам другога закона Кеплера.

Раўнанне (1) памнажаем скалярна на хуткасць і інтэгруем. Атрымаем

Падрабязны вывад

~{\dot {\mathbf {r} }}\cdot {\ddot {\mathbf {r} }}=-\mu {\frac {{\dot {\mathbf {r} }}\cdot \mathbf {r} }{r^{3}}};

Распішам апошні выраз у каардынатах:

~{\frac {dx}{dt}}{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+{\frac {dy}{dt}}{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}=-{\frac {\mu }{\sqrt {\left(x^{2}+y^{2}\right)^{3}}}}\left(x{\frac {dx}{dt}}+y{\frac {dy}{dt}}\right);

~{\frac {dx}{dt}}d\left({\frac {dx}{dt}}\right)+{\frac {dy}{dt}}d\left({\frac {dy}{dt}}\right)=-{\frac {\mu \left(xdx+ydy\right)}{\sqrt {\left(x^{2}+y^{2}\right)^{3}}}}.

Памецім, што

~d\left(r^{2}\right)=d\left(x^{2}+y^{2}\right)=2xdx+2ydy.

Тады

~{\frac {dx}{dt}}d\left({\frac {dx}{dt}}\right)+{\frac {dy}{dt}}d\left({\frac {dy}{dt}}\right)=-{\frac {\mu }{2}}\left(r^{2}\right)^{-3/2}d\left(r^{2}\right).

Інтэгруючы абедзве часткі, атрымаем

~{\frac {1}{2}}\left({\frac {dx}{dt}}\right)^{2}+{\frac {1}{2}}\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2}=-{\frac {\mu }{2}}{\frac {\left(r^{2}\right)^{-1/2}}{-1/2}}+C;

~{\frac {v^{2}}{2}}={\frac {\mu }{r}}+C;

~{\frac {v^{2}}{2}}-{\frac {\mu }{r}}=C.

Апошні стасунак з'яўляецца выражэннем закону захавання механічнай энергіі ў сістэме.

Рух двух цел у плоскасці

Цікава, што рух двух цел заўсёды адбываецца ў плоскасці. Вызначым імпульс $\mathbf {p} =\mu {\dot {\mathbf {r} }}$ і момант імпульсу

\mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p}

Хуткасць змянення моманту імпульсу роўная моманту сілы $\mathbf {N}$

{\frac {d\mathbf {L} }{dt}}={\dot {\mathbf {r} }}\times \mu {\dot {\mathbf {r} }}+\mathbf {r} \times \mu {\ddot {\mathbf {r} }}=\mathbf {r} \times \mathbf {F} =\mathbf {N} ,

але законы руху Ньютана выконваюцца для ўсіх фізічных сіл, і кажуць, што сіла, якая дзейнічае паміж двума часціцамі (матэрыяльнымі кропкамі), накіравана па лініі, якая злучае іх, гэта значыць $\mathbf {F} ||\mathbf {r} .$ Адсюль $\mathbf {r} \times \mathbf {F} =0$ і момант імпульсу захоўваецца. Тады вектар зрушэння $\mathbf {r}$ і хуткасць яго змянення ${\dot {\mathbf {r} }}$ ляжаць у плоскасці, перпендыкулярнай да пастаяннага вектара $\mathbf {L}$ .

Агульнае рашэнне для сілы, якая залежыць ад адлегласці

Часта бывае зручна перайсці ў палярныя каардынаты, бо рух адбываецца ў плоскасці і для многіх фізічных задач сіла $\mathbf {F} (\mathbf {r} )$ ёсць функцыяй радыуса $r.$ А раз r-кампанента паскарэння раўняецца ${\ddot {r}}-r{\dot {\theta }}^{2},$ ураўненне для r-кампаненты вектара зрушэння $\mu {\ddot {\mathbf {r} }}=\mathbf {F} (r)\equiv F(r)$ можна перапісаць у выглядзе

\mu {\frac {d^{2}r}{dt^{2}}}-\mu r\omega ^{2}=\mu {\frac {d^{2}r}{dt^{2}}}-{\frac {L^{2}}{\mu r^{3}}}=F(r),

дзе $\omega \equiv {\dot {\theta }}$ і момант імпульсу $L=\mu r^{2}\omega$ захоўваецца. Захаванне вуглавога моманту дазваляе знайсці рашэнне для траекторыі $r(\theta )$ , выкарыстоўваючы замену зменных. Пераходзячы ад $t$ да $\theta$

{\frac {d}{dt}}={\frac {L}{\mu r^{2}}}{\frac {d}{d\theta }}

атрымаем ўраўненне руху

{\frac {L}{r^{2}}}{\frac {d}{d\theta }}\left({\frac {L}{\mu r^{2}}}{\frac {dr}{d\theta }}\right)-{\frac {L^{2}}{\mu r^{3}}}=F(r)

Гэтае ураўненне становіцца квазілінейным пры замене зменных $u\equiv {\frac {1}{r}}$ і дамнажэнне абедзвюх частак ўраўнення на ${\frac {\mu r^{2}}{L^{2}}}={\frac {\mu }{L^{2}u^{2}}}$

{\frac {d^{2}u}{d\theta ^{2}}}+u=-{\frac {\mu }{L^{2}u^{2}}}F(1/u)

Прымяненне

Для сіл $F$ , адваротна прапарцыйных квадрату адлегласці, такіх як гравітацыя або электрастатыка ў класічнай фізіцы, атрымаем

F={\frac {\alpha }{r^{2}}}=\alpha u^{2}

для некаторых канстант $\alpha$ , ўраўненне для траекторый становіцца лінейным

{\frac {d^{2}u}{d\theta ^{2}}}+u={\frac {\alpha \mu }{L^{2}}}

Рашэнне гэтага ўраўнення

u(\theta )\equiv {\frac {1}{r(\theta )}}={\frac {\alpha \mu }{L^{2}}}+A\cos(\theta -\theta _{0}),

дзе $A>0$ і $\theta _{0}$ - пастаянныя. Гэтае рашэнне паказвае, што арбіта ўяўляе сабой канічнае сячэнне, г.зн. эліпс, гіпербалу або парабалу, у залежнасці ад таго $A$ меншая за выраз ${\frac {\alpha \mu }{L^{2}}}$ , большая ці роўная яму.

Задача двух цел у АТА

Нармальная арбіта любога цела, захопленага прыцягненнем іншага цела, уяўляе сабой эліпс або акружнасць - іменна такія арбіты мы назіраем у Сонечнай сістэме. Аднак агульная тэорыя адноснасці сцвярджае, што ў наваколлі вельмі масіўных цел - там, дзе прастора аказваецца моцна скрыўленая дзякуючы наяўнасці каласальнага гравітацыйнага поля спектр магчымых стабільных арбіт значна пашыраецца. У падобных умовах фізічныя аб'екты пачынаюць паводзіць сябе вельмі дзіўна. Напрыклад, цела можа падляцець да чорнай дзіркі па крутой парабале, зрабіць вакол яе некалькі імклівых кароткіх віткоў, а затым зноў закласці выцягнутую пятлю - і гэтак далей.

Прыклад

Любая класічная сістэма, якая складаецца з двух часціц, па азначэнню задача двух цел. У многіх выпадках, аднак, адно цела шмат цяжэйшае за другое, як напрыклад у сістэме Зямлі і Сонца. У такіх выпадках больш цяжкая часціца выконвае ролю цэнтра мас і задача зводзіцца да задачы аб руху аднаго цела ў патэнцыяле другога.^[1]. Пры гэтым варта не губляць з ўвазе, што з'яўляецца рызыка страты патрэбнай дакладнасці разлікаў пры злоўжыванні гэтым спрашчэннем. У прыватнасці, знаходжанне месца цэнтра кручэння ў больш масіўным целе расплывісте, у рэаліях яшчэ патрэбен ўлік іншых целаў і палёў. Патрэбен папярэдні аналіз, асабліва пры разліку устояных і стацыянарных арбіт: шматразовае кручэнне непазбежна назапасіць недакладнасці да непрымальнай велічыні памылкі.

Гл. таксама

Зноскі

↑ David Shiga. 'Periodic table' organises zoo of black hole orbits (нявызн.)(недаступная спасылка). NewScientist.com (13 лютага 2008). Архівавана з першакрыніцы 3 чэрвеня 2012. Праверана 6 ліпеня 2013.

Літаратура

Курс тэарэтычнай фізікі Ландау і Ліфшыца
H. Goldstein, (1980) Classical Mechanics, 2nd. ed., Addison-Wesley. ISBN 0-201-02918-9

[1] David Shiga. 'Periodic table' organises zoo of black hole orbits (нявызн.)(недаступная спасылка). NewScientist.com (13 лютага 2008). Архівавана з першакрыніцы 3 чэрвеня 2012. Праверана 6 ліпеня 2013.

[1]