Тэарэма Пойнтынга (англ.: Poynting's theorem) — тэарэма, якая апісвае закон захавання энергіі электрамагнітнага поля. Тэарэма была даказаная ў 1884 Джонам Генры Пойнтынгам. Усё зводзіцца да наступнай формулы:

,

Дзе Sвектар Пойнтынга, Jшчыльнасць току і Eэлектрычнае поле. Шчыльнасць энергіі (электрычная пастаянная, магнітная пастаянная).

Тэарэма Пойнтынга ў інтэгральнай форме:

,

дзе — паверхня, якая абмяжоўвае аб'ём .

У тэхнічнай літаратуры тэарэма звычайна запісваецца так ( — шчыльнасці энергіі):

,

дзе — шчыльнасць энергіі электрычнага поля, — шчыльнасць энергіі магнітнага поля і магутнасць джоўлявых страт ў адзінцы аб'ёму.

ВывадПравіць

Тэарэма можа быць выведзена з дапамогай двух ураўненняў Максвела (для прастаты лічым, што асяроддзе - вакуум (μ = 1, ε = 1); для агульнага выпадку з адвольным асяроддзем, трэба ў формулы да кожнага ε0 і μ0 прыпісаць ε і μ):

 

Дамножыўшы абедзве часткі ўраўнення на  , атрымаем:

 

Разгледзім спачатку ураўненне Максвела-Ампера:

 

Дамножыўшы абедзве часткі ўраўнення на  , атрымаем:

 

Адымаючы першае з другога, атрымаем:

 

Нарэшце:

 

Паколькі вектар Пойнтынга   вызначаецца як:

 

гэта раўнасільна:

 

АбагульненнеПравіць

Механічная энергія апісанай вышэй тэарэмы

 

дзе  кінетычная энергія шчыльнасці ў сістэме. Яна можа быць апісана як сума кінетычнай энергіі часціц  

 

  — паток энергіі, або «механічны вектар Пойнтынга»:

 

Ураўненне бесперапыннасці энергіі або закон захавання энергіі

 

Альтэрнатыўныя формыПравіць

Можна атрымаць і іншыя формы тэарэмы Пойнтынга. Замест таго, каб выкарыстоўваць вектар патоку  , можна выбраць форму Абрагама  , форму Мінкоўскага  , або якую-небудзь іншую.