Сярэднеквадратычнае адхіленне

Сярэднеквадраты́чнае адхіле́нне (таксама квадраты́чнае адхіле́нне, квадраты́чная памы́лка, станда́ртнае адхіле́нне) — у тэорыі імавернасцей і матэматычнай статыстыцы найбольш распаўсюджаны паказнік рассейвання значэнняў выпадковай велічыні адносна яе матэматычнага спадзявання.

Квадратычнае адхіленне велічынь x₁, x₂, ..., x_n ад велічыні a вызначаецца як

$\sigma ={\sqrt {{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\left(x_{i}-a\right)^{2}}}.$

Найменшае значэнне квадратычнае адхіленне мае, калі a роўнае сярэдняму арыфметычнаму x₁, x₂, ..., x_n:

$a={\bar {x}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}.$

У гэтым выпадку квадратычнае адхіленне служыць паказчыкам рассеянасці мноства значэнняў.

У тэорыі імавернасцей, сярэднім квадратычным адхіленнем (або стандартным адхіленнем) выпадковай велічыні называецца квадратны корань з яе дысперсіі:

$\sigma [X]={\sqrt {D[X]}}.$

На практыцы сярэднеквадратычнае адхіленне дазваляе ацаніць, наколькі значэнні ў мностве могуць адрознівацца ад сярэдняга значэння.

Асноўныя звесткі

Квадратычнае адхіленне вымяраецца ў адзінках вымярэння самой выпадковай велічыні і выкарыстоўваецца пры разліку стандартнай памылкі сярэдняга арыфметычнага, пры пабудове давяральных інтэрвалаў, пры статыстычнай праверцы гіпотэз, пры вымярэнні лінейнай узаемасувязі паміж выпадковымі велічынямі. Вызначаецца квадратычнае адхіленне як квадратны корань з дысперсіі выпадковай велічыні.

Сярэднеквадратычнае адхіленне:

$\sigma ={\sqrt {{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\left(x_{i}-{\bar {x}}\right)^{2}}}.$

Статыстычнае стандартнае адхіленне — ацэнка сярэднеквадратычнага адхілення выпадковай велічыні x адносна яе матэматычнага спадзявання на аснове нязрушанай ацэнкі яе дысперсіі:

$s={\sqrt {{\frac {n}{n-1}}\sigma ^{2}}}={\sqrt {{\frac {1}{n-1}}\sum _{i=1}^{n}\left(x_{i}-{\bar {x}}\right)^{2}}},$

дзе $\sigma ^{2}$ — дысперсія; $x_{i}$ — i-ы элемент выбаркі; $n$ — аб'ём выбаркі; ${\bar {x}}$ — сярэдняе арыфметычнае выбаркі:

${\bar {x}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}={\frac {1}{n}}(x_{1}+\ldots +x_{n}).$

Варта адзначыць, што абедзве ацэнкі з'яўляюцца зрушанымі. У агульным выпадку нязрушаную ацэнку пабудаваць немагчыма. Але ацэнка на аснове ацэнкі нязрушанай дысперсіі з'яўляецца слушнаю.

Правіла трох сігм

Графік шчыльнасці імавернасці нармальнага размеркавання і працэнт пападання выпадковай велічыні на адрэзкі, роўныя сярэднеквадратычнаму адхіленню.

Правіла трох сігм (3σ) — практычна ўсе значэнні нармальна размеркаванай выпадковай велічыні ляжаць у прамежку $\left({\bar {x}}-3\sigma ;{\bar {x}}+3\sigma \right)$. Больш строга — прыблізна з 99,73 %-най імавернасцю значэнне нармальна размеркаванай выпадковай велічыні ляжыць у згаданым прамежку (пры ўмове, што велічыня ${\bar {x}}$ сапраўдная, а не атрыманая ў выніку апрацоўкі выбаркі).

Калі ж сапраўдная велічыня ${\bar {x}}$ невядома, то трэба карыстацца не $\sigma$, а s. Такім чынам, правіла трох сігм ператвараецца ў правіла трох s.

Вытлумачэнне велічыні квадратычнага адхілення

Вялікае значэнне квадратычнага адхілення паказвае вялікі роскід значэнняў у мностве адносна сярэдняга значэння; маленькае значэнне, адпаведна, паказвае, што значэнні ў мностве групуюцца вакол сярэдняга значэння.

У агульным сэнсе квадратычнае адхіленне можна лічыць мераю нявызначанасці. Напрыклад, у фізіцы квадратычнае адхіленне прымяняецца для вызначэння хібнасці паслядоўнасці вымярэнняў якой-небудзь велічыні.

Гл. таксама

• Дысперсія выпадковай велічыні
• Генеральная сукупнасць
• Выбарка
• Варыяцыя
• Абсалютнае адхіленне

Літаратура

• Квадратичное отклонение // Математическая энциклопедия / И. М. Виноградов (гл. ред.). — М.: Советская энциклопедия. — Т. 2.
• Вентцель Е. С. Глава 14. Обработка опытов // Теория вероятностей. — М.: Наука, 1969. — 576 с.
• Боровиков, В. STATISTICA. Искусство анализа данных на компьютере: Для профессионалов / В. Боровиков. — СПб.: Питер, 2003. — 688 с. — ISBN 5-272-00078-1..

Спасылкі

• Weisstein, Eric W. Standard Deviation (англ.) на старонцы Wolfram MathWorld.