Адмоўнае біномнае размеркаванне

Адмоўнае біномнае размеркаванне — дыскрэтнае размеркаванне імавернасцей, якое мадэлюе колькасць няўдач у шэрагу незалежных і аднолькава размеркаваных выпрабаванняў Бернулі перад тым, як адбудзецца пэўная, зададзеная параметрам $r$, колькасць поспехаў. Напрыклад, мы можам абазначыць выпаданне 6 на кубіку як поспех, а выпаданне кожнага іншага значэння як няўдачу, і паставіць пытанне, колькі няўдачных выпаданняў адбудзецца, перш чым мы пабачым трэці поспех ($r=3$). У такім выпадку размеркаванне імавернасцей колькасці няўдач будзе адмоўным біномным.

Фунцыя імавернасці Аранжавая лінія паказвае матэматычнае спадзяванне, роўнае 10 на кожным з гэтых графікаў. Зялёная лінія паказвае стандартнае адхіленне.
Абазначэнне	$\mathrm {NB} (r,\,p)$
Параметры	r > 0 — колькасць поспехаў да спынення эксперыменту, цэлы лік p ∈ [0,1] — імавернасць поспеху ў кожным выпрабаванні, рэчаісны лік
Носьбіт функцыі	k ∈ { 0, 1, 2, 3, … } — колькасць няўдач
Функцыя імавернасці	$k\mapsto {k+r-1 \choose k}\cdot (1-p)^{k}p^{r},$ з удзелам біномнага каэфіцыенту
Функцыя размеркавання	$k\mapsto I_{p}(r,\,k+1),$ — рэгулярызаваная няпоўная бэта-функцыя
Матэматычнае спадзяванне	${\frac {r(1-p)}{p}}$
Мода	${\begin{cases}\left\lfloor {\frac {(r-1)(1-p)}{p}}\right\rfloor &r>1\\0&r\leq 1\end{cases}}$
Дысперсія	${\frac {r(1-p)}{p^{2}}}$
Каэфіцыент асіметрыі	${\frac {2-p}{\sqrt {(1-p)r}}}$
Каэфіцыент эксцэсу	${\frac {6}{r}}+{\frac {p^{2}}{(1-p)r}}$
Утваральная функцыя момантаў	${\biggl (}{\frac {p}{1-(1-p)e^{t}}}{\biggr )}^{\!r}$ дзе $t<-\log(1-p)$
Характарыстычная функцыя	${\biggl (}{\frac {p}{1-(1-p)e^{i\,t}}}{\biggr )}^{\!r}$ дзе $t\in \mathbb {R}$
Імавернасная ўтваральная функцыя	${\biggl (}{\frac {p}{1-(1-p)z}}{\biggr )}^{\!r}$ дзе $|z|<{\frac {1}{p}}$
Інфармацыя Фішэра	${\frac {r}{p^{2}(1-p)}}$
Метад момантаў	$r={\frac {E[X]^{2}}{V[X]-E[X]}}$ $p=1-{\frac {E[X]}{V[X]}}$

У альтэрнатыўнай фармулёўцы мадэлюецца агульная колькасць выпрабаванняў, а не толькі няўдач.

Азначэнне

Няхай праводзіцца серыя незалежных выпрабаванняў Бернулі: кожнае выпрабаванне мае два магчымыя зыходы, званыя «поспехам» і «няўдачай». У кожным выпрабаванні імавернасць поспеху роўная $p$, а імавернасць няўдачы $1-p$. Выпрабаванні праводзяцца да той пары, пакуль не адбудзецца прадвызначаная колькасць $r$ поспехаў. Тады размеркаванне імавернасцей, якому падпарадкоўваецца колькасць няўдач сярод праведзеных выпрабаванняў, завецца адмоўным біномным размеркаваннем або размеркаваннем Паскаля, і адпаведная выпадковая велічыня абазначаецца як

$X\sim \operatorname {NB} (r,p).$

Функцыя імавернасці

Функцыя імавернасці адмоўнага біномнага размеркавання мае выгляд

$p_{X\sim \operatorname {NB} (r,p)}(k)\equiv \Pr(X=k)={\binom {k+r-1}{k}}(1-p)^{k}p^{r}.$

Значэнне ў дужках — гэта біномны каэфіцыент, роўны

${\binom {k+r-1}{k}}={\frac {(k+r-1)!}{(r-1)!\,(k)!}}={\frac {(k+r-1)(k+r-2)\dotsm (r)}{k!}},$

дзе $k$ няўдач выбіраюцца з $k+r-1$ выпрабавання, а не з $k+r$, бо апошняе выпрабаванне паспяховае і не можа быць няўдачай паводле азначэння.

Гэты біномны каэфіцыент можна запісаць як (абагульнены) біномны каэфіцыент з адмоўнай верхняй часткай, таму размеркаванне і завецца адмоўным біномным:

${\begin{aligned}&{\frac {(k+r-1)\dotsm (r)}{k!}}=(-1)^{k}{\frac {\overbrace {(-r)(-r-1)(-r-2)\dotsm (-r-k+1)} ^{k{\text{ množnikaŭ}}}}{k!}}=(-1)^{k}{\binom {-r}{{\phantom {-}}k}}.\end{aligned}}$

Сувязь з іншымі размеркаваннямі

Геаметрычнае размеркаванне

Геаметрычнае размеркаванне — асобны выпадак адмоўнага біномнага размеркавання, калі колькасць поспехаў $r$ роўная 1^:84.

Выпадковую велічыню з адмоўным біномным размеркаваннем можна ўявіць у выглядзе сумы $r$ незалежных выпадковых велічынь з геаметрычным размеркаваннем^:120.