Раўнамернае непарыўнае размеркаванне

Не блытаць з раўнамерным дыскрэтным размеркаваннем.

Раўнамернае непарыўнае размеркаванне — размеркаванне імавернасцей, характэрнае для выпадковай велічыні, якая прымае значэнні на некаторым прамежку $[a,b]$, і шчыльнасць імавернасці якой нязменная на ўсім гэтым прамежку. Для раўнамерна размеркаванай выпадковай велічыні, імавернасці якіх-кольвек двух прамежкаў у $[a,b]$ роўныя тады і толькі тады, калі яны маюць роўную даўжыню.

Раўнамернае непарыўнае размеркаванне

Шчыльнасць імавернасці
Функцыя размеркавання
Абазначэнне	${\mathcal {U}}_{[a,b]}$, $R[a,b]$:85
Параметры	$-\infty <a<b<\infty$
Носьбіт функцыі	$[a,b]$
Шчыльнасць імавернасці	${\begin{cases}{\frac {1}{b-a}},&x\in [a,b]\\0,&x\notin [a,b]\end{cases}}$
Функцыя размеркавання	${\begin{cases}0,&x<a\\{\frac {x-a}{b-a}},&x\in [a,b]\\1,&x>b\end{cases}}$
Матэматычнае спадзяванне	${\tfrac {1}{2}}(a+b)$
Медыяна	${\tfrac {1}{2}}(a+b)$
Мода	усе значэнні ў $(a,b)$
Дысперсія	${\tfrac {1}{12}}(b-a)^{2}$
Сярэдняе абсалютнае адхіленне	${\tfrac {1}{4}}(b-a)$
Каэфіцыент асіметрыі	$0$
Каэфіцыент эксцэсу	$-{\tfrac {6}{5}}$
Энтрапія	$\ln(b-a)$
Утваральная функцыя момантаў	${\begin{cases}{\frac {\mathrm {e} ^{tb}-\mathrm {e} ^{ta}}{t(b-a)}},&t\neq 0\\1,&t=0\end{cases}}$
Характарыстычная функцыя	${\begin{cases}{\frac {\mathrm {e} ^{\mathrm {i} tb}-\mathrm {e} ^{\mathrm {i} ta}}{\mathrm {i} t(b-a)}},&t\neq 0\\1,&t=0\end{cases}}$

Азначэнне

Шчыльнасць імавернасці

Шчыльнасць імавернасці раўнамернага непарыўнага размеркавання мае выгляд^:85

$f(x)={\begin{cases}{\frac {1}{b-a}},&a\leq x\leq b,\\[8pt]0,&x<a,\ \ x>b.\end{cases}}$

Значэнні $f(x)$ у межавых пунктах $a$ і $b$ звычайна няважныя, бо яны не ўплываюць ні на значэнне ${\textstyle \int _{c}^{d}f(x)dx}$ па якім-кольвек прамежку $[c,d],$ ні на ${\textstyle \int _{a}^{b}xf(x)dx,}$ ні на вышэйшыя моманты. Часам іх прымаюць роўнымі 0, а часам ${\tfrac {1}{b-a}}.$

Плошча пад графікам шчыльнасці заўсёды роўная 1, таму графік шчыльнасці раўнамернага непарыўнага размеркавання рысуюць у выглядзе прамавугольніка з даўжынёй $b-a$ і вышынёй ${\tfrac {1}{b-a}}$. Калі даўжыня прамежку павялічваецца, вышыня памяншаецца.

Функцыя размеркавання

Функцыя размеркавання раўнамернага непарыўнага размеркавання мае выгляд^:85

$F(x)={\begin{cases}0,&x<a,\\[8pt]{\frac {x-a}{b-a}},&a\leq x\leq b,\\[8pt]1,&x>b.\end{cases}}$

Характарыстыкі

Матэматычнае спадзяванне

Матэматычнае спадзяванне раўнамернага непарыўнага размеркаванне мае выгляд^:120-121

$\mathbb {E} [X]=\int _{-\infty }^{\infty }xf(x)dx=\int _{a}^{b}x{\frac {1}{b-a}}dx=$

$={\frac {1}{b-a}}{\frac {x^{2}}{2}}{\bigg \vert }_{a}^{b}={\frac {b^{2}-a^{2}}{2(b-a)}}={\frac {a+b}{2}}.$

Дысперсія

Дысперсію раўнамернага непарыўнага размеркавання можна знайсці па формуле^:120-121

$Var(X)=\mathbb {E} [X^{2}]-(\mathbb {E} [X])^{2}=\int _{a}^{b}x^{2}{\frac {1}{b-a}}dx-\left({\frac {a+b}{2}}\right)^{2}=$

$={\frac {b^{3}-a^{3}}{3(b-a)}}-\left({\frac {a+b}{2}}\right)^{2}={\frac {b^{2}+ab+a^{2}}{3}}-{\frac {a^{2}+2ab+b^{2}}{4}}={\frac {(b-a)^{2}}{12}}.$

Выкарыстанне

• Геаметрычная імавернасць — мадэль для задач, дзе часціца выпадкова кідаецца на мноства $\Omega \subset \mathbb {R} ^{n}$ і каардынаты падзення раўнамерна размеркаваныя па гэтым мностве.
• Прыбліжэнне ліку π метадам Монтэ-Карла праз генерацыю пары раўнамерна размеркаваных выпадковых велічынь.
• Метад ацэнкі ліку Эйлера шляхам генерацыі шэрагу раўнамерна размеркаваных выпадковых велічынь пакуль іх сума не перавысіць 1.