Матэматычнае спадзяванне

(Пасля перасылкі з Матэматычнае чаканне)

Матэматы́чнае спадзява́нне, таксама матэматычнае чаканне, сярэдняе значэнне, матспадзяванне выпадковай велічыні — лікавая характарыстыка выпадковай велічыні X. Абазначаецца або . Характарызуе размяшчэнне значэнняў велічыні і роўнае сярэдняму значэнню яе размеркавання. З закона вялікіх лікаў вынікае, што сярэдняе арыфметычнае значэнне велічыні пры павелічэнні колькасці выпрабаванняў прыбліжаецца да .

Паняцце матэматычнага спадзявання ўзнікла ў XVIII стагоддзі ў сувязі з тэорыяй азартных гульняў: калі выйгрышы гульца прымаюць значэнні , з імавернасцямі , дзе , то яго спадзяваны выйгрыш за гульню роўны (адсюль назва).

АзначэннеПравіць

Агульнае азначэнне праз інтэграл ЛебегаПравіць

Няхай зададзена прастора імавернасцей   і азначаная на ёй выпадковая велічыня  . То бок, па азначэнні,   — вымерная функцыя. Калі існуе інтэграл Лебега ад   па прасторы  , то ён завецца матэматычным спадзяваннем, або сярэднім (чаканым) значэннем і абазначаецца   або  .

 

Азначэнне праз функцыю размеркавання выпадковай велічыніПравіць

Калі   — функцыя размеркавання выпадковай велічыні, то яе матэматычнае спадзяванне вызначаецца інтэгралам Лебега — Стылцьеса:

 ,  .

Азначэнне для абсалютна непарыўнай выпадковай велічыні (праз шчыльнасць размеркавання)Правіць

Матэматычнае спадзяванне абсалютна непарыўнай выпадковай велічыні, размеркаванне якой вызначаецца шчыльнасцю  , роўнае

 .

Азначэнне для дыскрэтнай выпадковай велічыніПравіць

Калі   — дыскрэтная выпадковая велічыня, у якой размеркаванне

  ,  ,

тады непасрэдна з азначэння інтэграла Лебега вынікае, што

 .

Матэматычнае спадзяванне цэлалікавай выпадковай велічыніПравіць

  • Калі   — станоўчая цэлалікавая выпадковая велічыня, якая мае размеркаванне імавернасці
  ,  ,  ,

то яе матэматычнае спадзяванне можа быць выражана праз вытворчую функцыю паслядоўнасці  

 

Уласцівасці матэматычнага спадзяванняПравіць

  • Матэматычнае спадзяванне канстанты ёсць сама канстанта.
 
  — канстанта;
  • Матэматычнае спадзяванне лінейнае, то бок
 ,
дзе   — выпадковыя велічыні з канечным матспадзяваннем, а   — любыя канстанты;

У прыватнасці, матспадзяванне сумы (рознасці) выпадковых велічынь роўнае суме (рознасці) матспадзяванняў гэтых выпадковых велічынь.

  • Матэматычнае спадзяванне захоўвае няроўнасці, гэта значыць калі   амаль напэўна, і   — выпадковая велічыня з канечным матспадзяваннем, то матспадзяванне выпадковай велічыні   таксама канечнае, і больш за тое:
 .
  • Матспадзяванне не залежыць ад паводзін выпадковай велічыні на падзеі імавернасці нуль, то бок калі   амаль напэўна, то
 .
  • Матспадзяванне здабытку двух незалежных або некарэлюемых выпадковых велічынь   роўнае здабытку іх матспадзяванняў
 .

Няроўнасці, звязаныя з матспадзяваннемПравіць

Няроўнасць Маркава — для неадмоўнай выпадковай велічыні  , азначанай на прасторы імавернасцей   з канечным матспадзяваннем  , справядліва няроўнасць:

 , дзе  .

Няроўнасць Енсена для матспадзявання выпуклай функцыі ад выпадковай велічыні. Няхай   — прастора імавернасцей,   — азначаная на ёй выпадковая велічыня,   — выпуклая барэлеўская функцыя, такія што  , тады

 .

Тэарэмы, звязаныя з матспадзяваннемПравіць

ЛітаратураПравіць