Падгрупа ― падмноства групы , якое само з'яўляецца групай адносна аперацыі, якая вызначаецца .

Група, алгебра
Rubik's cube.svg
Тэорыя груп

Падмноства групы з'яўляецца яе падгрупай тады і толькі тады, калі:

  • змяшчае адзінкавы элемент з
  • змяшчае здабытак любых двух элементаў з ,
  • змяшчае разам з усякім сваім элементам адваротны да яго элемент .

У выпадку канечных і, наогул, перыядычных груп праверка другой ўмовы з'яўляецца залішняй.

ПрыкладыПравіць

  • Падмноства групы  , якое складаецца з аднаго элемента 1, будзе, відавочна, падгрупай, і гэтая падгрупа называецца адзінкавай падгрупай групы  .
  • Сама   таксама з'яўляецца сваёй падгрупай.

Звязаныя азначэнніПравіць

  • Усякая падгрупа, якая адрозніваецца ад усёй групы, называецца сапраўднай падгрупай гэтай групы. Сапраўдная падгрупа некаторай бясконцай групы можа быць ізаморфнай самой групе.
  • Сама група   і адзінкавая падгрупа называюцца няўласнымі падгрупамі групы  , усе астатнія ― уласнымі.
  • Перасячэнне ўсіх падгруп групы  , якія змяшчаюць усе элементы некаторага непустога мноства  , называецца падгрупай, спароджанай мноствам  , і абазначаецца  .
  • Калі   складаецца з аднаго элемента  , то   называецца цыклічнай падгрупай элемента  .
  • Калі група   ізаморфная некаторай падгрупе   групы  , то кажуць, што група   можа быць ўкладзена ў групу  .

УласцівасціПравіць

  • Непустое мноства   з'яўляецца падгрупай групы   тады і толькі тады, калі для любых   выконваецца  
  • Тэарэтыка-множнае перасячэнне любых двух (і любога мноства) падгруп групы   з'яўляецца падгрупай групы  .
  • Тэарэтыка-множнае аб'яднанне падгруп, наогул кажучы, не абавязана з'яўляцца падгрупай. Аб'яднаннем падгруп   і   называецца падгрупа, спароджаная аб'яднаннем мностваў  .
  • Гамаморфны вобраз падгруп ― падгрупа.
  • Калі дадзеныя дзве групы і кожная з іх ізаморфная некаторай сапраўднай падгрупе іншай, то адсюль яшчэ не вынікае ізамарфізм саміх гэтых груп.

Гл. таксамаПравіць

ЛітаратураПравіць