Фактаргрупа
Фактаргрупа — канструкцыя, якая дае новую групу (фактаргрупу) па групе і яе нармальнай падгрупе.
Група, алгебра | ||||
Тэорыя груп
| ||||
Фактаргрупа групы па нармальнай падгрупе звычайна абазначаецца .
Вызначэнне
правіцьНяхай — група, і — яе нармальная падгрупа. Тады на класах сумежнасці у
можна ўвесці множанне:
Лёгка праверыць, што гэтае памнажэнне не залежыць ад выбару элементаў у класах сумежнасці, гэта значыць калі і , то . Гэтае множанне вызначае структуру групы на мностве класаў сумежнасці, а атрыманая група называецца фактаргрупай па .
Уласцівасці
правіць- Тэарэма аб гомамарфізме: Для любога гомамарфізма
- ,
- г. зн. фактаргрупа па ядру ізаморфна яе вобразу у .
- Адлюстраванне задае натуральны гомамарфізм .
- Парадак роўны індэксу падгрупы . У выпадку канечнай групы ён роўны .
- Калі абелева, нільпатэнтная, вырашальная, цыклічная або канечнаспароджаная, то і будзе мець тыя жа ўласцівасці.
- ізаморфная трывіяльнай групе ( ), ізаморфная .
Прыклады
правіць- Няхай , , тады ізаморфная .
- Няхай (група нявыраджаных верхнетрохвугольных матрыц), (група верхніх унітрохвугольных матрыц), тады ізоморфна групе дыяганальных матрыц.
Літаратура
правіць- Винберг Э. Б. Курс алгебры. — М.: «Факториал Пресс», 2002. — ISBN 5-88688-060-7.