Нармальная падгрупа (таксама інварыянтная падгрупа) — падгрупа адмысловага тыпу, левы і правы сумежныя класы па якой супадаюць. Такія групы важныя, паколькі дазваляюць будаваць фактаргрупу.

Група, алгебра
Rubik's cube.svg
Тэорыя груп

АзначэнніПравіць

Падгрупа   групы   называецца нармальнай, калі яна інварыянтная адносна спалучэнняў, гэта значыць для любога элемента   з   і любога   з  , элемент   ляжыць у  :

   

Наступныя ўмовы нармальнасці падгрупы эквівалентныя:

  1. Для любога   з  ,  .
  2. Для любога   з  ,  .
  3. Мноствы левых і правых сумежных класаў   у   супадаюць.
  4. Для любога   из  ,  .
  5.   ізаморфныя аб'яднанню класаў спалучаных элементаў.

Умова (1) лагічна слабей, чым (2), а ўмова (3) лагічна слабей, чым (4). Таму ўмовы (1) і (3) часта выкарыстоўваюцца пры доказе нармальнасці падгрупы, а ўмовы (2) і (4) выкарыстоўваюцца для доказу следстваў нармальнасці.

ПрыкладыПравіць

  •   і   — заўсёды нармальныя падгрупы  . Яны называюцца трывіяльнымі. Калі іншых нармальных падгруп няма, то група   называецца простай.
  • Усе падгрупы   абелевай групы G нармальныя, так як  . Неабелева група, у якой любая падгрупа нармальная, называецца гамільтанавай.
  • Група паралельных пераносаў ў прасторы любой размернасці — нармальная падгрупа эўклідавай групы; напрыклад, у трохмернай прасторы паварот, зрух і паварот у адваротны бок прыводзіць да простага зруху.
  • У групе кубіка Рубіка падгрупа, якая складаецца з аперацый, якія дзейнічаюць толькі на вуглавыя элементы, нармальная, так як ніякае спалучанае пераўтварэнне не прымусіць такую ​​аперацыю дзейнічаць на краёвы, а не вуглавы элемент. Наадварот, падгрупа, якая складаецца толькі з паваротаў верхняй грані, не нармальная, так як спалучэнні дазваляюць перамясціць частцы верхняй грані ўніз.

УласцівасціПравіць

  • Нармальнасць захоўваецца пры сюр'ектыўных гомамарфізмах і узяцці зваротных вобразаў.
  • Ядро гомамарфізму — нармальная падгрупа.
  • Нармальнасць захоўваецца пры пабудове прамога здабытку.
  • Нармальная падгрупа нармальнай падгрупы не абавязаная быць нармальнай у групе, г. зн. нармальнасць не транзітыўная. Аднак характарыстычная падгрупа нармальнай падгрупы нармальная.
  • Кожная падгрупа індэкса 2 нармальная. Калі   — найменшы просты дзельнік парадку  , то любая падгрупа індэкса   нармальная.
  • Калі   — нармальная падгрупа ў  , то на мностве левых (правых) сумежных класаў   можна ўвесці групавую структуру па правілу
 
Атрыманае мноства называецца фактаргрупай   па  .
  • N нармальная тады і толькі тады, калі яна трывіяльна дзейнічае на левых сумежных класах  .

Гістарычныя фактыПравіць

Эварыст Галуа першым зразумеў важнасць нармальных падгруп.

Гл. таксамаПравіць

СпасылкіПравіць

  • Винберг Э. Б. Курс алгебры — м:Издательство «Факториал Пресс», 2002, ISBN 5-88688-060-7
  • Кострикин А.И. Введение в алгебру. Часть III. Основные структуры. — 3-е изд. — м: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 272 с. — ISBN 5-9221-0489-6.