Гласарый тэорыі груп

	Група, алгебра
Асноўныя паняцці
	Падгрупа; Нармальная падгрупа; Фактаргрупа ; (паў-)Прамы здабытак;
Тапалагічныя групы
	Група Лі; Артаганальная група O(n); Спецыяльная ўнітарная група SU(n); G2 F4 E6 E7 E8; Група Лорэнца; Група Пуанкарэ;

У гэтым артыкуле прыведзены асноўныя тэрміны, якія выкарыстоўваюцца ў тэорыі груп. Курсіў пазначае ўнутраную спасылку на дадзены гласарый. У канцы прыводзіцца табліца асноўных абазначэнняў, што прымяняюцца ў тэорыі груп.

Гэта старонка — гласарый. Гл. таксама галоўны артыкул: Тэорыя груп

# А Б В Г Д Е Ё Ж З І К Л М Н О П Р С Т У Ў Ф Х Ц Ч Ш Э Ю Я

P

$p$ -група: Група, усе элементы ў якой маюць парадак, роўны некаторай ступені простага ліку $p$ (не абавязкова аднолькавай ва ўсіх элементаў). Такія групы таксама называюцца прымарнамі групамі (глядзіце канечная $p$ -група).

А

Абелева група: Такое ж самае, што і камутатыўная група.
Абелеанізацыя: Фактаргрупа па камутанту, гэта значыць, для групы $G$ ― $G/[G,G]$ .
Абсалютна рэгулярная $p$ -група: Канечная $p$ -група, ў якой $|G\,:\,pG|<p^{p}$ , дзе $pG$ — падгрупа $G$ , утвораная $p$ -мі ступенямі яе элементаў.
Адытыўная група кольцы: Група, элементамі якой з'яўляюцца ўсе элементы дадзенага кольцы, а аперацыя супадае з аперацыяй дадавання ў кольцы.
Амаль- ${\mathcal {E}}$ -група: Для тэарэтыка-групавой уласцівасці ${\mathcal {E}}$ — група, якая валодае падгрупай канечнага індексу, які валодае ўласцівасцю ${\mathcal {E}}$ ; так кажуць пра амаль нільпатэнтныя, амаль вырашальныя, амаль поліцыклічныя групы.
Антыгомамарфізм груп: Адлюстраванне груп $f:(G,*)\to (H,\times )$ такое, што $f(a*b)=f(b)\times f(a)$ для адвольных $a$ і $b$ у $G$ (параўнайце з гомамарфізмам).
Арбіта: Для элемента $m$ мноства $M$ , на які група $G$ дзейнічае злева — мноства ўсіх дзеянняў над элементам: $Gm=\{gm\mid g\in G\}$ .

В

Вырашальная група: Група, якая валодае нармальным радам падгруп з абелевымі фактарамі. Найменшая з даўжынь такіх радоў называецца яе ступенню вырашальнасці.
Вырашальны радыкал: Падгрупа, спароджаная ўсіма вырашальнымі нармальнымі падгрупамі, абазначаецца $S(G)$ .

Г

Галаморф: Для зададзенай групы $(G,*)$ — група над парамі $\{(g,\varphi )\mid g\in G,\varphi \in \mathrm {Aut} G\}$ ( $\mathrm {Aut} G$ — група аўтамарфізмаў групы $G$ ) з групавой аперацыяй кампазіцыі $\odot$ , вызначанай як $(g_{1},\varphi _{1})\odot (g_{2},\varphi _{2})=(g_{1}*\varphi _{1}^{-1}(g_{2}),\varphi _{1}\circ \varphi _{2})$ .
Галоўны рад падгруп: Рад падгруп, у якім $G_{i}$ — максімальная нармальная ў $G$ падгрупа з $G_{i+1}$ , для ўсіх членаў рада.
Генетычны код групы: То жа самае, што і заданне групы.
Гомамарфізм груп: Адлюстраванне груп $f:(G,*)\to (H,\times )$ такое, што $f(a*b)=f(a)\times f(b)$ для адвольных a і b у G.
Група: Непарожняе мноства $G$ са зададзенай на ім асацыятыўнай бінарнай аперацыяй $*:G\times G\to G$ , пры якой у $G$ маецца нейтральны элемент $e$ , г. зн. для ўсіх $a\in G$ выконваецца $e*a=a*e=a$ , і для кожнага элемента $a\in G$ ёсць адваротны элемент $a^{-1}$ , такі, што $a*a^{-1}=a^{-1}*a=e$ .
Група Шміта: Ненільпатэнтная група, усе ўласныя падгрупы якой нільпатэнтны.
Група Мілера — Марэна: Неабелева група, усе ўласныя падгрупы якой абелевы.
Групавая алгебра: Для групы $G$ над полем $K$ — гэта вектарная прастора над $K$ , утваральнымі якой з'яўляюцца элементы $G$ , а множанне ўтваральных адпавядае множанню элементаў $G$ .

Д

Даўжыня раду падгруп: Лік $n$ у азначэнні раду падгруп.
Дзеянне групы: Група $G$ дзейнічае злева на мностве $M$ , калі зададзены гомамарфізм $\Phi \colon G\to S(M)$ , дзе $S(M)$ — сіметрычная група. Група $G$ дзейнічае справа на мностве $M$ , калі зададзены гомамарфізм $\rho :G^{op}\to S(M)$ , дзе $G^{op}$ — інверсная група групы $G$ .

З

Заданне групы: Азначэнне групы ўказаннем спараджальнага мноства $S$ і мноства суадносін паміж спараджальнымі $R$ , абазначаецца $\langle S\mid R\rangle$ . Таксама называецца генетычны код групы, прадстаўленне групы (ствараючы неадназначнасць з лінейным прадстаўленнем групы), копрадстаўленне групы.
Звышвырашальная група (англ.): Група, якая валодае нармальным радам падгруп з цыклічнымі фактарамі.

І

Ізамарфізм груп: Біектыўны гомамарфізм.
Ізаморфныя групы: Групы, паміж якімі існуе хаця б адзін ізамарфізм.
Інварыянтная падгрупа: То жа самае, што і нармальная падгрупа.
Інверсная група: Група, якая атрымліваецца пераменай месцамі аргументаў бінарнай аперацыі, г. зн. для $G$ з аперацыяй $\times$ — група $G^{op}$ з аперацыяй $*$ такой, што $a*b=b\times a$ для ўсіх элементаў $G$ .
Індэкс падгрупы: Лік сумежных класаў у кожным (правым або левым) з раскладаў групы па дадзенай падгрупе.
Індэксы раду падгруп: Індэксы $|G_{i+1}:G_{i}|$ у азначэнні субнармальнага раду падгруп.

К

Кампазіцыйны рад: Для групы $G$ — рад падгруп, у якім усе фактаргрупы $G_{i+1}/G_{i}$ — простыя групы.
Камутант: Падгрупа, спароджаная ўсімі камутатарамі групы, звычайна абазначаецца $[G,G]$ або $G'$ .
Камутатыўная група: Група з камутатыўнай бінарнай аперацыяй ( $\forall g,h\in G(g*h=h*g)$ ); таксама называецца абелевай групай.
Камутатар: Для элементаў $g,h\in G$ — элемент $[g,h]=ghg^{-1}h^{-1}$ .
Камутатар падгруп: Мноства ўсіх магчымых здабыткаў $\{[g,h]\mid g\in G,h\in H\}$ .
Камутуючыя элементы: Элементы, для якіх камутатар роўны адзінкаваму элементу групы, або, што эквівалентна, такія элементы $g,h\in G$ , для якіх $g*h=h*g$ .
Канечная група: Група з канечным лікам элементаў.
Канечная $p$ -група: $p$ -група канечнага парадку $p^{n}$ .
Канечна зададзеная група: Група, якая валодае канечным лікам утваральных і якая задаецца ў гэтых утваральных канечным лікам суадносін; таксама называецца канечна вызначаная група.
Канечнаспараджальная абелева група: Абелева група, якая мае канечную сістэму утваральных.
Канечнаспараджальная група: Група, якая мае канечную сістэму утваральных.
Клас нільпатэнтнасці: Для нільпатэнтнай групы — мінімальная з даўжынь цэнтральнага раду падгруп.
Клас спалучанасці: Для элемента $g\in G$ — мноства $\{hgh^{-1}|h\in G\}$ .
Клас сумежнасці: Для элемента $g\in G$ , левы сумежны клас па падгрупе $H$ — мноства $gH=\{gh|h\in H\}$ , правы сумежны клас па падгрупе $H$ — мноства $Hg=\{hg|h\in H\}$ .
Копрадстаўленне групы: То жа самае, што заданне групы.
Кручэнне: Падгрупа ўсіх элементаў канечнага парадку, прымяняецца для камутатыўных і нільпатэнтных груп, абазначаецца $\operatorname {Tor} G$ .

Л

Лакальная тэарэма: Для некаторай уласцівасці $P$ груп справядлівая некаторая лакальная тэарэма, калі ўсякая група, якая лакальна валодае гэтай уласцівасцю, сама валодае ёю. Напрыклад: лакальна абелева група з'яўляецца абелевай, але лакальна канечная група можа быць бясконцай.
Лакальная ўласцівасць: Группа $G$ валодае нейкай лакальнай уласцівасцю $P$ , калі любая канечнаспараджальная падгрупа з $G$ валодае гэтай уласцівасцю. Прыкладамі могуць служыць лакальная канечнасць, лакальная нільпатэнтнасць.

М

Максімальная падгрупа: Такая падгрупа, што не існуе іншых падгруп, якія яе змяшчаюць (і не супадаюць з самой групай).
Метабелева група: Група, камутант якой абелевы, ступень адрознення такой групы роўная 2.
Метанільпатэнтная група: Полінільпатэнтная група са ступенню адрознення роўнай 2.
Метацыклічная група: Група, якая валодае цыклічнай нармальнай падгрупай, фактаргрупа па якой таксама цыклічная. Усякая канечная група, парадак якой свабодны ад квадратаў (г. зн. не дзеліцца на квадрат якога-небудзь ліку), з'яўляецца метацыклічнай.
Мінімальная нармальная падгрупа: Найменшая (па ўключэнні) неадзінкавая (г. зн., якая складаецца не толькі з адзінкавага элемента) нармальная падгрупа.

Н

Нармалізатар: Для падгрупы $H$ у $G$ — гэта максімальная падгрупа $G$ , у якой $H$ нармальная. Іначай кажучы, нармалізатар ёсць стабілізатар $H$ пры дзеянні $G$ на мностве сваіх падгруп спалучэннямі, г. зн. $N(H)=\{g\in G\mid gHg^{-1}=H\}$ .
Нармальны дзельнік: То жа самае, што і нармальная падгрупа.
Нармальная падгрупа: $H$ ёсць нармальная падгрупа $G$ , калі для любога элемента $g\in G$ выканана $gH=Hg$ , г. зн. правыя і левыя класы сумежнасці $H$ у $G$ супадаюць. Іначай кажучы, калі $\forall g\in G\quad \forall h\in H\quad ghg^{-1}\in H$ . Таксама называецца інварыянтная падгрупа, нармальны дзельнік.
Нармальны рад падгруп: Рад падгруп, у якім $G_{i}$ нармальная ў $G$ , для ўсіх членаў раду.
Натуральны гомамарфізм: Гомамарфізм групы $G$ на фактаргрупу $G/H$ па нармальнай падгрупе $H$ , які ставіць у адпаведнасць кожнаму элементу $a$ групы сумежны клас $aH$ . Ядром гэтага гомамарфізму з'яўляецца падгрупа $H$ .
Нейтральны элемент: Элемент, які задаецца ў азначэнні групы, любое прымяненне якога пры бінарнай аперацыі пакідае іншы аргумент без змен.
Нільпатэнтная група: Група, якая валодае цэнтральным радам падгруп. Мінімальная з даўжынь такіх радоў называецца яе класам нільпатэнтнасці.
Норма групы: Сукупнасць элементаў групы, перестановачных з усімі падгрупамі, г. зн. перасячэнне нармалізатараў усіх яе падгруп.

П

Падгрупа: Падмноства $H$ групы $G$ , якое з'яўляецца групай адносна аперацыі, вызначанай у $G$ .
Падгрупа кручэння: То жа самае, што і кручэнне.
Падгрупа, спароджаная мноствам: Для адвольнага падмноства $S\subset G$ , $\langle S\rangle$ абазначае найменшую падгрупу $G$ , якая змяшчае $S$ .
Падгрупа Томпсана (англ.): Падгрупа, спароджаная ўсіма абелевымі падгрупамі; абазначаецца $J(G)$ .
Падгрупа Фіцінга (англ.): Падгрупа, спароджаная ўсіма нільпатэнтнымі нармальнымі падгрупамі; абазначаецца $F(G)$ .; Перасячэнне ўсіх максімальных падгруп, калі такія існуюць, альбо сама група $G$ у адваротным выпадку; абазначаецца $\Phi (G)$ .
Парадак групы: То жа самае, што і магутнасць мноства групы (для канечных груп — колькасць элементаў групы).
Парадак элемента: Для элемента $g\in G$ — мінімальны натуральны лік $m$ такі, што $g^{m}=e$ . У выпадку, калі такога $m$ не існуе, лічыцца, што $g$ мае бясконцы парадак.
Паўпрамы здабытак: Для груп $G$ і $H$ над гомамарфізмам $\phi :G\rightarrow {\mbox{Aut}}(H)$ (абазначаецца па-рознаму, ў тым ліку $G\rtimes _{\phi }H$ ) — мноства $G\times H$ , што мае аперацыю $*$ , для якой $(g_{1},h_{1})*(g_{2},h_{2})=(g_{1}\phi (h_{1})(g_{2}),h_{1}h_{2})$ для любых $g_{1},g_{2}\in G$ , $h_{1},h_{2}\in H$ .
Перастановачныя элементы: Пара элементаў $a,b\in G$ такіх, што $ab=ba$ .
Перыяд групы: Найменшае агульнае кратнае парадкаў элементаў дадзенай групы.
Перыядычная група: Група, кожны элемент якой мае канечны парадак.
Полінільпатэнтная група: Група, якая валодае канечным нармальны радам, фактары якога нільпатэнтныя.
Прадстаўленне групы: 1. Лінейнае прадстаўленне групы, гомамарфізм зададзенай групы ў групу нявыраджаных лінейных пераўтварэнняў вектарнай прасторы.; 2. То жа самае, што і заданне групы.
Прамы здабытак: Для груп $(G,\cdot )$ и $(H,*)$ — мноства пар $G\times H$ , якое мае аперацыю пакампанентнага множання: $(g_{1},h_{1})\times (g_{2},h_{2})=(g_{1}\cdot g_{2},h_{1}*h_{2})$ .
Простая група: Група, у якой няма нармальных падгруп, акрамя трывіальнай (той, якая складаецца толькі з адзінкавага элемента) і ўсей групы.
Прымарная група: Група, усе элементы ў якой маюць парадак, роўны некаторай ступені простага ліку $p$ (не абявязкова аднолькавай у ўсіх элементаў). Таксама кажуць пра канечную $p$ -групу.

Р

Расшырэнне групы: Група, якая змяшчае дадзеную групу ў якасці нармальнай падгрупы.
Рад падгруп: Канечная паслядоўнасць падгруп $G_{0},G_{1},...,G_{n}$ такая, што $G_{i}\leq G_{i+1}$ , для ўсіх $i\in \left\{0,...,n-1\right\},~G_{0}=1,~G_{n}=G$ . Такі рад запісваюць у выглядзе $1=G_{0}\leq G_{1}\leq \dots \leq G_{n}=G$ або ў выглядзе $G=G_{n}\geq G_{n-1}\geq \dots \geq G_{0}=1$ .
Рэгулярная $p$ -група: Канечная $p$ -група, для любой пары элементаў $a$ і $b$ якой знойдзецца элемент $u$ камутанта падгрупы, спароджанай гэтымі элементамі, такі, што $(ab)^{p}=a^{p}b^{p}u^{p}$ .

С

Свабодная група: Група, зададзеная некаторым мноствам і пры гэтым не мае ніякіх суадносін, акрамя суадносін, якія вызначаюць групу. Усе свабодныя групы, спараджальныя роўнамагутнымі мноствамі, ізаморфныя.
Свабодны здабытак: Група, зададзеная элементамі дадзеных груп без дадатковых суадносін паміж элементамі, акрамя суадносін, якія вызначаюць кожную з дадзеных груп.
Сілаўская падгрупа: $p$ -падгрупа ў $G$ , якая мае парадак $p^{n}$ , дзе $|G|=p^{n}s$ і найбольшы агульны дзельнік лікаў $p$ і $s$ роўны 1.
Сіметрычная група: Група ўсіх біекцый зададзенага канечнага мноства (г. зн., усіх перастановак) адносна аперацыі кампазіцыі.
Спараджальнае мноства групы: Такое падмноства групы, што кожны элемент групы можа быць запісаны як здабытак канечнага ліку элементаў мноства і іх адваротных.
Стабілізатар: Для элемента $p$ мноства $M$ , на якому дзейнічае група $G$ — падгрупа $\mathrm {St} _{G}(p)\subset G$ , усе элементы якой пакідаюць $p$ на месце: $g\cdot p=p$ .
Ступень вырашальнасці: Найменшая з даўжынь нармальных радоў падгруп з абелевымі фактарамі для дадзенай групы.
Суадносіны: Тоеснасць, якой задавальняюць утваральныя групы (пры заданні групы ўтваральнымі і суадносінамі).
Субнармальны рад падгруп: Рад падгруп, у якому падгрупа $G_{i}$ нармальная ў падгрупе $G_{i+1}$ , для ўсіх членаў раду.

Ф

Фактаргрупа: Для групы $G$ і яе нармальнай падгрупы $H$ — мноства класаў сумежнасці падгрупы $H$ з множаннем, якое вызначаецца наступным чынам: $(aH)*(bH)=(ab)H$ .
Фактары субнармальнага раду: Фактаргрупы $G_{i+1}/G_{i}$ у азначэнні субнармальнага раду падгруп.

Х

Характарыстычная падгрупа: Падгрупа, інварыянтная адносна ўсіх аўтамарфізмаў групы.
Холава падгрупа: Падгрупа, парадак якой узаемна просты з яе індэксам ва ўсей групе.

Ц

Цыклічная група: Група, якая складаецца з спараджальнага элемента і ўсіх яго целых ступеняў. Канечная ў выпадку, калі парадак спараджальнага элемента канечны.
Цэнтр групы: Максімальная група элементаў, камутуючых з кожным элементам групы: $\mathrm {Z} _{G}(G)=\{g\in G\mid \forall {h\in G}\,(gh=hg)\}$ . Своеасаблівая «мера абелевасці»: група абелева тады і толькі тады, калі яе цэнтр супадае са ўсей групай.
Цэнтралізатар: Максімальная падгрупа, кожны элемент якой камутуе з зададзеным элементам: $\mathrm {Z} _{G}(h)=\{g\in G\mid gh=hg\}$ .
Цэнтральны рад падгруп: нармальны рад падгруп, у якім $G_{i+1}/G_{i}\subseteq Z(G/G_{i})$ , для ўсіх членаў раду.

Э

Экспанента: Лікавая характарыстыка канечнай групы, роўная найменшаму агульнаму кратнаму парадкаў усіх элементаў групы, абазначаецца $\exp(G)$ .
Элементарная група: Група, якая з'яўляецца канечнай або абелевай, альбо атрымліваецца з канечных і абелевых груп паслядоўнасцю аперацый узяцця падгруп, эпіморфных вобразаў, прамых межаў і расшырэнняў.
Эпімарфізм груп: Эпімарфізмам называецца гомамарфізм $f:G\to H$ , калі адлюстраванне f сюр'ектыўнае.

Я

Ядро гомамарфізму: Правобраз нейтральнага элемента пры гомамарфізме. Ядро заўсёды ёсць нармальная падгрупа, а любая нармальная падгрупа ёсць ядро некаторага гомамарфізма.

Літаратура

Винберг Э. Б. Курс алгебры. — 3-е изд. — М.: Факториал Пресс, 2002. — 544 с. — 3 000 экз. — ISBN 5-88688-060-7.
Мельников О. В.; Ремесленников В. Н.; Романьков В. А.; Скорняков Л. А.; Шестаков И. П. Группы // Общая алгебра / Скорняков Л. А.. — М.: Наука, 1990. — Т. 1. — С. 66—290. — 592 с. — (Справочная математическая библиотека). — 30 000 экз. — ISBN 5-02-014426-6.