Артаганальная групагрупа ўсіх лінейных пераўтварэнняў -мернай вектарнай прасторы над полем , якія захоўваюць фіксаваную невыраджаную квадратычную форму на (гэта значыць такіх лінейных пераўтварэнняў , што для любога ).

Група, алгебра
Rubik's cube.svg
Тэорыя груп

Абазначэнні і звязаныя вызначэнніПравіць

  • Элементы артаганальнай групы называюцца артаганальнымі (адносна  ) пераўтварэннямі  , а таксама аўтамарфізмамі формы   (дакладней, аўтамарфізмамі прасторы   адносна формы  ).
  • Абазначаецца  ,  ,   і т. п. Калі квадратычная форма не абазначана відавочна, то маецца на ўвазе форма, якая задаецца сумай квадратаў каардынат, г. зн. якая выражаецца адзінкавай матрыцай.
  • Над полем рэчаісных лікаў, артаганальная група незнакавызначай формы з сігнатурай (  плюсаў,   мінусаў) дзе  , абазначаецца O( , .

УласцівасціПравіць

  • У выпадку, калі характарыстыка асноўнага поля больш за два, то з   звязана невыраджаная сіметрычная білінейная форма   на  , якая выражаецца формулай
  •  
Тады артаганальная група складаецца ў дакладнасці з тых лінейных пераўтварэнняў прасторы  , якія захоўваюць  , і абазначаецца праз   або (калі ясна аб якім полі   і форме   ідзе гаворка) проста праз  .
  • Калі   — матрыца формы   ў нейкім базісе прасторы  , то артаганальная група можа быць атаясамлена з групай ўсіх такіх матрыц   з каэфіцыентамі ў  , што
  •  
    У прыватнасці, калі базіс такі, што   з'яўляецца сумай квадратаў каардынат (гэта значыць, матрыца   адзінкавая), то такія матрыцы   называюцца артаганальнымі.

Іншыя групыПравіць

Артаганальная група з'яўляецца падгрупай поўнай лінейнай групы GL( ). Элементы артаганальнай групы, вызначнік якіх роўны 1 (гэта ўласцівасць не залежыць ад базісу), утвараюць падгрупу — спецыяльную артаганальную групу  , якая абазначае гэтак жа як і артаганальную групу але з даданнем літары «S».  , па пабудове, з'яўляецца таксама падгрупай спецыяльнай лінейнай групы  .

Гл. таксамаПравіць